1、二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 2y ax 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 2y ax c 的性质：上加下减。3. 2y a x h的性质：左加右减。4. 2y a x h k 的性质：a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 0 0， y 轴0x 时， y 随 x 的增大而增大； 0x 时， y 随x 的增大而减小； 0x 时， y 有最小值 0 0a 向下 0 0， y 轴0x 时， y 随 x 的增大而减小； 0x 时， y 随x 的增大而增大； 0x 时， y 有最大值 0 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
2、0a 向上 0 c， y 轴0x 时， y 随 x 的增大而增大； 0x 时， y 随x 的增大而减小； 0x 时， y 有最小值 c 0a 向下 0 c， y 轴 0x 时， y 随 x 的增大而减小； 0x 时， y 随x 的增大而增大； 0x 时， y 有最大值 c a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 0h ， X=h x h 时， y随 x 的增大而增大； x h 时， y随 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 0 0a 向下 0h ， X=h x h 时， y随 x 的增大而减小； x h 时， y随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0
3、 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 h k， X=h x h 时， y随 x 的增大而增大； x h 时， y随 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k 0a 向下 h k， X=h x h 时， y随 x 的增大而减小； x h 时， y随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k 二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 2y a x h k ，确定其顶点坐标 h k， ； 保持抛物线 2y ax 的形状不变，将其顶点平移到 h k， 处，具体平移方法如下：向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (
4、h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k |个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax 2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上 “ h值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： cbxaxy 2 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位， cbxaxy 2 变成mcbxaxy 2 （或 mcbxaxy 2 ） cbxaxy 2 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， cbxaxy 2 变成cmxbmxay )()( 2 （或 cmxbmxay )()( 2 ）三、二次函数 2y a x h k
5、 与 2y ax bx c 的比较从解析式上看， 2y a x h k 与 2y ax bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 242 4b ac by a xa a，其中242 4b ac bh ka a， 四、二次函数 2y ax bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 2y ax bx c 化为顶点式 2( )y a x h k ， 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0 c， 、以及 0 c， 关于对称轴对称的点 2h c， 、与 x 轴的交点 1 0x ， ， 2
6、 0x ， （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） . 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点 . 五、二次函数 2y ax bx c的性质1. 当 0a 时，抛物线开口向上，对称轴为 2bx a ，顶点坐标为242 4b ac ba a，当2bxa 时， y 随x 的增大而减小； 当2bxa 时， y 随x 的增大而增大； 当2bxa时， y 有最小值244ac ba2. 当 0a 时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为242 4b ac ba a， 当2bxa时， y 随 x 的增大而增大；当2bxa时， y 随 x 的增
7、大而减小；当2bxa时， y有最大值244ac ba六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： 2y ax bx c （ a ， b， c 为常数， 0a ） ；2. 顶点式： 2( )y a x h k （ a ， h ， k 为常数， 0a ） ；3. 两根式： 1 2( )( )y a x x x x （ 0a ， 1x ， 2x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） . 注意： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 2 4 0b ac 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 .
8、 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 2y ax bx c 中， a 作为二次项系数，显然 0a 当 0a 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； 当 0a 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴 在 0a 的前提下，当 0b 时， 02ba ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；当 0b 时， 02ba，即抛物线的对称
9、轴就是 y 轴；当 0b 时， 02ba，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧 在 0a 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 0b 时， 02ba，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；当 0b 时， 02ba，即抛物线的对称轴就是 y 轴；当 0b 时， 02ba ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定：对称轴 abx 2 在 y 轴左边则 0ab ，在 y 轴的右侧则 0ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项 c 当 0c 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 0c 时，
10、抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 0c 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置总之，只要 a b c， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式， 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便 一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交
11、点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称2y a x b x c关于 x 轴对称后，得到的解析式是 2y ax bx c ；2y a x h k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 2y a x h k ；2. 关于 y 轴对称2y a x b x c关于 y轴对称后，得到的解析式是 2y ax bx c ；2y a x h k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 2y a x h k ；3. 关于原点对称2y a x b x c关于原点对称后，得到的解析
12、式是 2y ax bx c ；2y a x h k关于原点对称后，得到的解析式是2y a x h k；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）2y a x b x c关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca ；2y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是 2y a x h k 5. 关于点 m n， 对称2y a x h k 关于点 m n， 对称后，得到的解析式是 22 2y a x h m n k根据对称的性质， 显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化， 因此 a永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时， 可以依据题意或方便运算的原则，
13、选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线） 的顶点坐标及开口方向， 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图像参考：十一、y=2(x-4) 2-3y=2(x-4) 2y=2x 2y=x 22y=2x 2y=x 2y=-2x 2y= -x 2y= -x 22y=2 x2 -4y=2 x 2 +2y=2 x 2y=3(x+4) 2y=3(x-2) 2y=3x 2y=-2(x+3) 2y=-2(x-3) 2y=-2x 2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例 1】 求作函数 6421 2 xxy 的图象【解】 )128(216421
14、22 xxxxy2-4)(214-4)(21 2222 xx以 4x 为中间值，取 x 的一些值，列表如下：x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y 25 0 23 -2 23 0 25 【例 2】 求作函数 342 xxy 的图象。【解】 )34(34 22 xxxxy7)2(7)2( 22 xx先画出图角在对称轴 2x 的右边部分，列表【点评】 画二次函数图象步骤：(1) 配方； (2) 列表；(3) 描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。二、一元二次函数性质【例 3】 求函数 962 xxy 的最小值及图象的对称轴和顶
15、点坐标，并求它的单调区间。【解】 7)3(79626 222 xxxxxy由配方结果可知：顶点坐标为 )73( ， ，对称轴为 3x ；01 当 3x 时， 7miny函数在区间 3( ， 上是减函数，在区间 )3 ， 上是增函数。【例 4】 求函数 135 2 xxy 图象的顶点坐标、对称轴、最值。103)5(232ab， 2029)5(431)5(444 22abacx -2 -1 0 1 2 y 7 6 5 4 3 函数图象的顶点坐标为 )2029,103( ，对称轴为2029x05 当 103x 时，函数取得最大值 2029mazy函数在区间 103,( 上是增函数，在区间 ),3 上
16、是减函数。【点评】 要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：(1) 配方法；如例 3 (2) 公式法： 适用于不容易配方题目 ( 二次项系数为负数或分数 ) 如例 4， 可避免出错。任何一个函数都可配方成如下形式： )0(44)2(22 aabacabxay【二次函数题型总结】1. 关于二次函数的概念例 1 如果函数 1)3( 232 mxxmy mm 是二次函数， 那么 m的值为 。例 2 抛物线 422 xxy 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。2. 关于二次函数的性质及图象例 3 函数 )0(2 acbxaxy 的图象如图所示，则 a、 b、 c， ， cba
17、 ， cba 的符号为 ，例 4 已知 a b c=0 9a 3b c=0,则二次函数 y=ax2 bx c 的图像的顶点可能在（ ）（ A） 第一或第二象限 （ B）第三或第四象限 （ C）第一或第四象限 （ D）第二或第三象限3. 确定二次函数的解析式例 5 已知：函数 cbxaxy 2 的图象如图：那么函数解析式为（ ）（ A） 322 xxy （ B） 322 xxy（ C） 322 xxy （ D） 322 xxy-1 O X=1 Y X 3 o -1 3 y x 4. 一次函数图像与二次函数图像综合考查例 6 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a 0),
18、 它们在同一坐标系中的大致图象是( ). 例 7 如图： ABC是边长为 4 的等边三角形， AB在 X 轴上，点 C在第一象限， AC与 Y轴交于点 D， 点 A的坐标为 （ -1 ， 0）（ 1） 求 B、 C、 D三点的坐标； （ 2） 抛物线 cbxaxy 2经过 B、 C、 D三点，求它的解析式；642-65 10DOCA B【练习题】一、选择题1. 二次函数 2 4 7y x x 的顶点坐标是 ( )A.(2, 11) B. （ 2， 7） C. （ 2， 11） D. （ 2， 3）2. 把抛物线 22y x 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22( 1)y x B
19、. 22( 1)y x C. 22 1y x D. 22 1y x3. 函数 2y kx k 和 ( 0)ky kx在同一直角坐标系中图象可能是图中的 ( ) 4. 已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象如图所示 , 则下列结论 : a,b 同号 ; 当 1x 和 3x 时 , 函数值相等 ; 4 0a b 当 2y 时 , x 的值只能取 0. 其中正确的个数是 ( ) A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个5. 已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的顶点坐标（ -1 ， -3.2 ）及部分图象 ( 如图 ),由图象可知关于 x 的一元二次方程 2
20、 0ax bx c 的两个根分别是 1 21.3x x和（ ） . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数 2y ax bx c的图象如图所示，则点 ( , )ac bc 在（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D 第四象限7. 方程 2 22x xx的正根的个数为（ ）A.0 个 B.1 个 C.2 个 . 3 个8. 已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0), 与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 2 2y x x B. 2 2y x xC. 2 2y x x 或 2 2y x x D. 2 2y x x 或 2 2y x x二、填空题
21、9二次函数 2 3y x bx 的对称轴是 2x ，则 b _。10 已知抛物线 y=-2（ x+3） 2+5， 如果 y 随 x 的增大而减小， 那么 x 的取值范围是 _. 11一个函数具有下列性质：图象过点（ 1， 2） ，当 x 0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可） 。12抛物线 22( 2) 6y x 的顶点为 C，已知直线 3y kx 过点 C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。13. 二次函数 22 4 1y x x 的图象是由 22y x bx c 的图象向左平移 1 个单位 , 再向下平移 2 个单位得到
22、的 , 则 b= ,c= 。14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在线段 AB上离中心M处 5 米的地方，桥的高度是 ( 取 3.14). 三、解答题：15. 已知二次函数图象的对称轴是 3 0x , 图象经过 (1,-6), 且与 y 轴的交点为 (0, 52 ). (1) 求这个二次函数的解析式 ; (2) 当 x 为何值时 , 这个函数的函数值为 0? (3) 当 x 在什么范围内变化时 , 这个函数的函数值 y 随 x 的增大而增大 ? 第 15 题图16. 某种爆竹点燃后， 其上升高度 h（ 米） 和时间 t（ 秒） 符合关系式 20 12h v t
23、 gt（ 0t 2） ，其中重力加速度 g 以 10 米 / 秒 2 计算这种爆竹点燃后以 v0=20 米 / 秒的初速度上升，（ 1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？（ 2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由 . 17. 如图，抛物线 2y x bx c 经过直线 3y x 与坐标轴的两个交点 A、 B，此抛物线与 x 轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D. （ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）点 P为抛物线上的一个动点，求使 APCS ： ACDS 5 ： 4 的点 P的坐标。一，选择题、1 A 2 C 3 A 4
24、 B 5 D 6 B 7 C 8 C 二、填空题、9 4b 10 x -3 11 如 22 4, 2 4y x y x 等（答案不唯一）12 1 13 -8 7 14 15 三、解答题15 (1) 设抛物线的解析式为 2 bx cy ax , 由题意可得解得 1 5, 3,2 2a b c 所以 21 532 2y x x(2) 1x 或 -5 (2) 3x16 （ 1）由已知得， 2115 20 102t t ，解得 1 23, 1t t 当 3t 时不合题意，舍去。32652baa b cc所以当爆竹点燃后 1 秒离地 15 米 （ 2）由题意得， 25 20h t t 25( 2) 20
25、t ，可知顶点的横坐标 2t ，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的 1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升17 （ 1） 直线 3y x 与坐标轴的交点 A（ 3， 0） ， B（ 0， 3） 则 9 3 03b cc 解得 23bc所以此抛物线解析式为 2 2 3y x x （ 2）抛物线的顶点 D（ 1， 4） ，与 x 轴的另一个交点 C（ 1， 0） . 设 P 2( , 2 3)a a a ，则 21 1( 4 2 3) : ( 4 4) 5: 42 2a a .化简得 2 2 3 5a a当 2 2 3a a 0 时， 2 2 3 5a a 得 4, 2a a P（ 4， 5）或 P（ 2， 5）当 2 2 3a a 0 时， 2 2 3 5a a 即 2 2 2 0a a ，此方程无解综上所述，满足条件的点的坐标为（ 4， 5）或（ 2， 5）
