1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1） 【2015 年福建，文 1，5 分】若 （ ， 是虚数单位） ，则 的值分别等于（ 1i23iiab,Ri,ab）（A）3,-2 （B ）3,2 （C）3,-3 （D ）-1,4【答案】A【解析】由已知得 ，故 ， ，故选 A32iiab32b（2） 【2015 年福建，文 2，5 分】若集合 ， ，则 等于（ ）Mx0,12NMN（A） （B） （C） （D ）01 0,1【答案】D【
2、解析】由交集定义得 ，故选 D0,N（3） 【2015 年福建，文 3，5 分】下列函数为奇函数的是（ ）（A）（B ）（C ） （D ）yxxyecosyxxye【答案】D【解析】函数 和 是非奇非偶函数； 是偶函数； 是奇函数，故选xyecosxeD（4） 【2015 年福建，文 4，5 分】阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序若输入 的值为x1，则输出 的值为（ ）（A）2 （B）7 （C）8 （D）128【答案】C【解析】该程序表示分段函数 ，则 ，故选 C29xy198f（5） 【2015 年福建，文 5，5 分】若直线 过点 ，则 的最小值等于（ ）0,yab1,ab（A）2 （
3、B）3 （C）4 （D） 5【答案】C【解析】由已知得 ，则 ，因此 ，所以 ，1ab12abab0,ab2ab故 ，当 ，即 时取等号，故选 C42（6） 【2015 年福建，文 6，5 分】若 ，且 为第四象限角，则 的值等于（ ）5sin13tan（A） （ B） （C） （D ）125 512512【答案】D【解析】由 ，且 为第四象限角，则 ，则 ，故选 Dsin13cosin3sintaco（7） 【2015 年福建，文 7，5 分】设 ， ， 若 ，则实数 的值等于（ ）1,2a,1bakbk（A） （B） （C） （D ） 253532【答案】A2【解析】由已知得 ，因为 ，则
4、 ，因此 ，解得 ，1,2,1,2ckk bc0120k32k故选 A（8） 【2015 年福建，文 8，5 分】如图，矩形 中，点 在 轴上，点 的坐标为 且点ABCDxB,C与点 在函数 的图像上若在矩形 内随机取一点，则该点取自D102xf ACD阴影部分的概率等于（ ）（A） （B） （C） （D ）16143812【答案】B【解析】由已知得 ， ， ， ，则矩形 面积为 ，阴影部分面积为,0,2C,D0,1FABD36，132故该点取自阴影部分的概率等于 故选 B 31264（9） 【2015 年福建，文 9，5 分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）（A） （B
5、） （C） （D ）8214215【答案】C【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为 2 的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为 1,2，直角腰长为 1，斜腰为 底面积为 ，侧面积为则其表面23积为 ，所以该几何体的表面积为 ，故选 C242812（10） 【2015 年福建，文 10，5 分】变量 满足约束条件 ，若,xy0xym的2zxy最大值为 2，则实数 等于（ ）m（A）-2 （B） -1 （C ）1 （D ）2【答案】C【解析】将目标函数变形为 ，当 取最大值，则直线纵截距最小，故当 时，不满足题意；当2yxz 0m时，画出可行域，如图所示， 其中 显然 不是最优
6、解，故只能0m ,21Bm,O是最优解，代入目标函数得 ，解得 ，故选 C2,1B 41（11） 【2015 年福建，文 11，5 分】已知椭圆 的右焦点为 短轴的一个端点为 ，2:0xyEabFM直线 交椭圆 于 两点若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆:340lxy,AB4FBMl45的离心率的取值范围是（ ）E（A） （ B） （C ） （D ）,230,43,123,14【答案】A【解析】设左焦点为 ，连接 ， ，则四边形 是平行四边形，故 ，所以F1AF1BFA1AFB，14a x1234 1234234123BOC3所以 ，设 ，则 ，故 ，从而 ， ， ，所以椭圆 的2a0,
7、Mb451b21ac203c3cE离心率的取值范围是 ，故选 A3,2（12） 【2015 年福建，文 12，5 分】 “对任意 ， ”是“ ”的（ ）0,2xsincokx1k（A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当 ， ，构造函数 ，则 故 在1ksincosin2kxxsin2kfxxcos210fkxfx单调递增，故 ，则 ；当 时，不等式0,2x02ffco等价于 ，构造函数 ，则 ，故 在sincokx1sin2x1sin2gxxcos210gxgx递增，故 ，则 综上所述， “对任意 ，0,2x0gco,
8、”是“ ”的必要不充分条件，故选 Bsickx1k第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在答题卡的相应位置（13） 【2015 年福建，文 13，5 分】某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为 【答案】25【解析】由题意得抽样比例为 ，故应抽取的男生人数为 419021502（14） 【2015 年福建，文 14，5 分】若 中， ， ， ，则 等于 ABC34A75CB【答案】 2【解析】由题意得 由正弦定理得 ，则 ，所以1
9、86BsiniBsinA32C（15） 【2015 年福建，文 15，5 分】若函数 满足 ，且 在 单调2xafR1fxffx,m递增，则实数 的最小值等于 m【答案】1【解析】由 得函数 关于 对称，故 ，则 ，由复合函数单调性得1fxffx112xf在fx递增，故 ，所以实数 的最小值等于 1,1m（16） 【2015 年福建，文 16，5 分】若 是函数 的两个不同的零点，且,ab20,fxpq这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于 ,2ab pq【答案】9【解析】由韦达定理得 ， ，则 ，当 适当排序后成等比数列时， 必为等比abpq0,ab,2a2中
10、项，故 ， ，当适当排序后成等差数列时， 必不是等差中项，当 是等差中项时，4q a4，解得 ， ；当 是等差中项时， ，解得 ， ，综上所述，42a1a4ba82a41b，所以 5bp9pq三、解答题：本大题共 6 题，共 74 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （17） 【2015 年福建，文 17，12 分】等差数列 中， ， n24715（1）求数列 的通项公式；na（2）设 ，求 的值2b12310bb解：（1）设等差数列 的公差为 由已知得 ，解得 nd11365add13ad所以 1na（2）由（1）可得 所以2nb231023102310 22310b 115（18）
11、【2015 年福建，文 18，12 分】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示组号 分组 频数1 4,522 683 ,774 83（1）现从融合指数在 和 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合,57,8指数在 的概率；7,8（2）根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数解：解法一：（1）融合指数在 内的“省级卫视新闻台”记为 ， ， ；融合指数在 内
12、的“省级卫视新闻台”记, 1A234,5为， 从融合指数在 和 内的“省级卫视新闻台 ”中随机抽取 2 家的所有基本事件是：1B24,57,8，,A， ， ， ， ， ， ， ， ，共 101323,1,AB12,21,B2,31,AB32,12,B个其中，至少有 1 家融合指数在 内的基本事件是： ， ， ， ，23A1,， ， ， ， ，共 9 个所以所求的概率 12,B2,2,31,32,A90P（2）这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 874.5.6.5.6.5022解法二：（1）融合指数在 内的“省级卫视新闻台”记为 ， ， ；融合指数在 内的“省级卫视新闻台”记7,
13、81234,为， 从融合指数在 和 内的“省级卫视新闻台 ”中随机抽取 2 家的所有基本事件是：1B24,57,8，,A， ， ， ， ， ， ， ， ，共 101323,1,AB12,21,AB2,31,AB32,12,B个其5中，没有 1 家融合指数在 内的基本事件是： ，共 1 个所以所求的概率 7,812,B190P（2）同解法一（19） 【2015 年福建，文 19，12 分】已知点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线 上，F:0Eypx2,AmE且 3AF（1）求抛物线 的方程；E（2）已知点 ，延长 交抛物线 于点 ，证明：以点 为圆心且与直线1,0GABF相G切的圆，必与直线 相切
14、B解：解法一：（1）由抛物线的定义得 因为 ，即 ，解得 ，2pF3F23p2p所以抛物线 的方程为 E4yx（2）因为点 在抛物线 上，所以 ，由抛物线的对称性，不妨设 2,Am2:m2,A由 ， 可得直线 的方程为 由 ，得 ，,1,0FAF21yx214yx50x解得 或 ，从而 又 ，所以 ，2x,2B,0G03GAk，013GBk所以 ，从而 ，这表明点 到直线 ， 的距离相等，0GABkAFBFB故以 为圆心且与直线 相切的圆必与直线 相切FG解法二：（1）同解法一（2）设以点 为圆心且与直线 相切的圆的半径为 因为点 在抛物线 上，所以Gr2,Am2:4Eyx，由抛物线的对称性，
15、不妨设 由 ， 可得直线 的方程为2m2,A1,0FAF由 ，得 ，解得 或 ，从而 又1yx214yx50xx21,B，1,0G故直线 的方程为 ，从而 A320xy248917r又直线 的方程为 ，所以点 到直线 的距离 B2FGB2428917rr这表明以点 为圆心且与直线 相切的圆必与直线 相切FGA（20） 【2015 年福建，文 20，12 分】如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点，BOCO,AB垂直于圆 所在的平面，且 PO1P（1）若 为线段 的中点，求证 平面 ；DACCD（2）求三棱锥 体积的最大值；B（3）若 ，点 在线段 上，求 的最小值2EE解：解法一：（1）
16、在 中，因为 ， 为 的中点，所以 又 垂直于圆 所在的平面，所OAACOPO以 因为 ，所以 平面 PAPP（2）因为点 在圆 上，所以当 时， 到 的距离最大，且最大值为 1CCB6又 ，所以 面积的最大值为 又因为三棱锥 的高 ，2ABABC12PABC1O故三棱锥 体积的最大值为 P3（3）在 中， ， ，所以 同理 ，O190PO21PB2所以 在三棱锥 中，将侧面 绕 旋转至平面 ，BCAC BCP使之与平面 共面，如图所示当 ， ， 共线时， 取得最小值AECEO又因为 ， ，所以 垂直平分 ，即 为 中点从而PB ，亦即 的最小值为 262E26解法二：（1） （2）同解法一（
17、3）在 中， ， ，所以 ， 同理 POB190POB45OPB212PC所以 ，所以 在三棱锥 中，将侧面 绕 旋转至平面 ，C6CACBB使之与平面 共面，如图所示当 ， ， 共线时， 取得最小值所以在 中，AEEO由余弦定理得： 2 32cos4560122从而 所以 的最小值为 63OO6（21） 【2015 年福建，文 21，12 分】已知函数 2103sinco10s2xxfx（1）求函数 的最小正周期；fx（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再向下平移 （ ）个单位长度后得到函数 的6agx图象，且函数 的最大值为 2g（i）求函数 的解析式；x（ii）证明：存在无穷多个互
18、不相同的正整数 ，使得 0x0gx解：（1） 2103sinco10s53sincos51sin52 6xfx 所以函数 的最小正周期 fT（2） （i）将 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象，再向下平移 （ ）个单60siyxa0位长度后得到 的图象又已知函数 的最大值为 2，所以 ，10sin5gxag152解得 所以 13ai8x（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数 ，使得 ，就是要证明存在无穷多个互不相同的0x0x正整数 ，使得 ，即 由 知，存在 ，使得 0x0sin4sin5320304sin5由正弦函数的性质可知，当 时，均有 因为 的周期为 ，0,x4sin5xsi
19、nyx2所以当 时，均有 02,xkkZ因为对任意的整数 ， ，00022213所以对任意的正整数 ，都存在正整数 ，使得 k ,kxk4sin5kx7亦即存在无穷多个互不相同的正整数 ，使得 0x0gx（22） 【2015 年福建，文 22，14 分】已知函数 21lnf（1）求函数 的单调递增区间；fx（2）证明：当 时， ；11fx（3）确定实数 的所有可能取值，使得存在 ，当 时，恒有 k01x0,x1fxk解：（1） ， 由 得 解得 2fxx,f21052故 的单调递增区间是 150,（2）令 ， 则有 当 时， ，所以 在Fxfx,21xF,FxFx上单调递减，故当 时， ，即当 时， 1,10x1f（3）由（2）知，当 时，不存在 满足题意k0当 时，对于 ，有 ，则 ，从而不存在 满足题意kx1fk1fxk0x当 时，令 ， ，则有 1Gkx,21kGxk由 得， 解得 ， 0x210x2140kx 224当 时， ，故 在 内单调递增21,2,从而当 时， ，即 ，综上， 的取值范围是 fkk,1
