1、模块2 点、直线、平面的投影,2.1 点的投影 2.2 直线的投影 2.3 平面的投影 2.4 直线与平面平行、两平面平行 2.5 直线与平面的交点、两平面的交线,采用多面投影。,1、点的投影规律过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,2.1 点的投影,a,一、两投影面体系的建立,V,X,O,水平投影面 H 正面投影面 V 投 影 轴 OX,二、两投影面体系中点的投影,点A的水平投影 a 点A的正面投影 a,A,Z,Y,X,三、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置,四、两面投影图的画法,五、两面投影图的性质,1) aaOX 2)
2、 aax =Aa , aax =Aa,点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧面投影面（简称侧面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,空间点A在三个投影面上的投影,注意： 空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:, aaOX轴, aax=,aax=,aay=,a,y,Y,Z,az,a,X,Y,ay,O,a,ax,ay,a,aaOZ
3、轴,=y,=Aa（A到V面的距离）,aaz,=x,=Aa（A到W面的距离）,aay,=z,=Aa （A到H面的距离）,aaz,X,Z,Y,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,特殊点的投影,两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,B点在A点之前、之右、之下。,b,a,a,a,b,b,X,Y,Y,Z,o,( ),a c,c,重影点,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影
4、面的重影点。,a,a,c,被挡住的投影加( ),A、C为H面的重影点,例题 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之 右8毫米，求点A的投影。,两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,1）直线对一个投影面的投影特性,1、直线的投影特性,直线垂直于投影面 投影重合为一点积 聚 性,直线平行于投影面 投影反映线段实长ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB.cos,2.2 直线的投影,2）直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线
5、（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置, 投影面平行线,X,Z,水平线,实长, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实际大小。, 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。,投影特性：,总结：两平一斜,判断下列直线是什么位置的直线？,侧平线,正平线,与H面的夹角: 与V面的角: 与W面的夹角:,实长,实长,直线与投影面夹角的表示法：,如何辨认投影面平行线？,当直线的投影有两个平行于投影轴，第三个投 影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面平行线，且一定平行于其投
6、影为倾斜线的那个投影面。,例：已知空间点A，试作线段AB，长度为15，并使其平行V面，与H面倾角30（只需一解）。,反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影，,投影特性： 在其垂直的投影面上有积聚性。,总结：两线一点,(2)投影面垂直线,如何辨认投影面垂直线 ？,直线的投影中只要有一个投影积聚为一点，则该直线一定是投影面垂直线，且一定垂直于其投影积聚为一点的那个投影面 。,例：如下图所示，已知正垂线AB的点A的投影，直线AB长度为10毫米，试作直线AB的三面投影（只需一解）。, 一般位置直线,三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影
7、面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。,投影特性,如何辨认一般位置直线 ？,直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判定该直线为一般位置直线。,例：分析正三棱锥棱线SA、SB、AC与投影面的相对位置？,棱线SA:,一般位置直线！,棱线SB:,侧平线！,棱线AC:,侧垂线！,2、直线上的点,若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。,点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：,AC:CB=ac:cb= ac : cb= ac : cb,定比定理,例：判断点C是否在线段AB上。,在,不在,a,b,不在,应用定比定理,例：已知点K在线段AB上，求点K正
8、面投影。,解法一： （应用第三投影）,解法二： （应用定比定理）,a,b,3、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉（异面）。,1）两直线平行,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,2）两直线相交,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。,交点是两直线的共有点,a,c,V,X,b,H,D,a,c,d,k,C,A,k,K,
9、d,b,O,B,c,d,k,k,d,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,如何判定两直线是否相交 ？,1）如果两直线均为一般位置线时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否符合点的投影规律即可判定。,2）当两直线中有一条直线为投影面平行线时，则需观察两直线在该投影面上的投影是否相交且交点是否符合点的投影规律才能确定；,例：判断直线AB、CD的相对位置。,c,d,a,b,c,d,相交吗？,不相交！,为什么？,交点不符合空间一个点的投影特性。,判断方法？, 应用定比定理, 利用侧面投影,为什么？,两直线相交吗？,不相交！,交点不符合一个点的投影规律！,3）两直线交叉,1
10、(2),投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,2.3 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性, 平面对一个投影面的投影特性, 平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,ADOa?,AaBa?,铅垂面,侧平面,c,c
11、, 投影面垂直面,a,b,c,a,b,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。,投影特性, 投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。, 一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性：,a,c,b,c,a,a,b,c,b,例：正垂面ABC与H面的夹角为45，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求ABC的正面投影及侧面投影。,例：分析正三棱各棱面与投影面的相对位置？,底
12、面ABC ?,水平面,棱面SAB ?,一般平面,棱面SAC ?,侧垂面,三、平面上的直线和点,位于平面上的直线应满足的条件：, 平面上取任意直线,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,例：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。,n,m,n,m,c,a,b,c,a,b, 平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,首先面上取线,d,d,b,c
13、,k,a,d,a,d,b,c,k,b,例：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一:,解法二:,d,e,例：在ABC内取一点M，并使其到H面V面的距离均为10mm。,正平线,例：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,唯一解,c,b,a,m,a,b,c,m,n,d,d,2.4 直线与平面平行、两平面平行,一、直线与平面平行 几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。 二、平面与平面平行 几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。,一、
14、直线与平面平行,若一直线平行于给定平面的一直线，则该直线与平面平行,例题试判断直线AB是否平行于定平面,结论：直线AB不平行于定平面,例题试过点K作水平线AB平行于CDE平面,二、两平面平行,若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行。,例题 试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,例题已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面 。,例题试判断两平面是否平行。,结论：因为PH平行SH，所以两平面平行,2.5 直线与平面的交点、两平面的交线,直线与平面、平面与平面不平行必相交。直线与平面相交于一点，交点在平面上又在直线上。两平面相交有交线
15、，为两平面共有线。,一、直线与平面相交,直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。,二、平面与平面相交,两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有,三、直线与特殊位置平面相交,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。,判断直线的可见性,特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。,( ),求铅垂线EF与一般位置平面ABC的交点并判别其可见性。,k,四、一般位置平面与特殊位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。,一般位置平面与特殊位置平面相交,判断平面的可见性,结 果,判断平面
16、的可见性,五、直线与一般位置平面相交,1,2,以正垂面为辅助平面求线面交点,QV,步骤： 1过EF作正垂平面Q。,2求Q平面与ABC的交线。,3求交线与EF的交点K。,示意图,过MN作正垂面Q,以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图,1,2,以铅垂面为辅助平面求线面交点。,PH,步骤： 1过EF作铅垂平面P。,2求P平面与ABC的交线。,3求交线与EF的交点K。,示意图,过MN作铅垂面P,以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图,f,e,e,直线EF与 ABC相交，判别可见性。,利用重影点判别可见性,1,2,4,3,（ ）,( ),直线EF与平面 ABC相交，判别可见性示意图,利用重影点。 判别可见性,六、两一般位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。,两一般位置平面相交，求交线步骤：1用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。,求两平面的交线,2连接两个共有点，画出交线KE。,示意图,两一般位置平面相交求交线的方法 示意图,利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。,利用重影点判别可见性,两平面相交，判别可见性,( ),( ),
