点、直线、平面的投影.ppt

1、第2章 点、直线、平面的投影, 2.1 投影法及其分类, 2.2 点的投影, 2.3 直线的投影, 2.4 平面的投影, 2.5 直线与平面及两平面的 相对位置, 本章小结,结束放映,平行投影法,中心投影法,2.1 投影法及其分类,投影法,投射线,物体,投影面,投影,投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法投影法。,投射中心,斜投影法,正投影法,中心投影法,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差。,投影特性,物体位置改变，投影大小也改变。,平行投影法,投影特性,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。,工程图样多数采用正投影法绘

2、制。,投影法,中心投影法,平行投影法,正投影法,斜投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,投影法小结,返回首页？,继续下一节？,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,1. 点在一个投影面上的投影,a,2.2 点的投影,2. 点的三面投影,投影面, 正面投影面（V 面）, 水平投影面（H 面）, 侧面投影面（W 面）,投影轴, OX轴 V 面与H 面的交线, OZ轴 V 面与W 面的交线, OY轴 H 面与W 面的交线,三个投影面互相垂直,空间点A在三个投影面上的投影,注意：空间点用大写字母表示，点的

3、投影用小写字母表示。,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,Z,点的投影规律:, aaOX轴, aax=,aax=,aay=,az,Y,aaOZ轴,=y,=Aa（A到V面的距离）,aaz,=x,=Aa（A到W面的距离）,aay,=z,=Aa（A到H面的距离）,aaz,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,3.两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,B点在A点之前、之右、之下。,b,a,a,a,b,b,X

4、,Y,Y,Z,O, 在图上直观判断, 利用点的坐标判断,( ),重影点：,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,被挡住的投影加( ),返回首页？,继续下一节？,2.3 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,1) 直线对一个投影面的投影特性,1. 直线的投影特性,直线垂直于投影面投影重合为一点 积 聚 性,直线平行于投影面投影反映线段实长 ab=AB,直线倾斜于投影面投影比空间线段短 ab=ABcos,2) 直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行

5、于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。, 投影面平行线,水平线,实长,在其平行的那个投影面 上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面 倾角的实大。,另两个投影面上的投影 平行于相应的投影轴， 其到相应投影轴距离反 映直线与它所平行的投 影面之间的距离。,投影特性：,判断下列直线是什么位置的直线？,侧平线,正平线,与H面的夹角: 与V面的角:与W面的夹角:,实长,实长,直线与投影面夹角的表示法：,反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。, 投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影

6、，, 在其垂直的投影面 上，,投影有积聚性。,投影特性:, 一般位置直线,三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。,投影特性：,2. 直线与点的相对位置, 若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影 上。, 点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相 同的比例。即：,AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb,定比定理,例1：判断点C是否在线段AB上。,在,不在,a,b,c,不在,应用定比定理,例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一：（应用第三投影）,解法二：（应用定比定理）,a

7、,a,b,b,k,a,b,3. 两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）、垂直。,1) 两直线平行,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,2) 两直线相交,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。,交点是两直线的共有点,c,d,k,k,d,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,例：判断直线AB、CD的相对

8、位置。,相交吗？,不相交！,为什么？,交点不符合空间一个点的投影特性。,判断方法？, 应用定比定理, 利用侧面投影,3) 两直线交叉,为什么？,两直线相交吗？,不相交！,交点不符合一个点的投影规律！,投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,4) 两直线垂直（垂直相交或垂直交叉）,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面因 BCAB, 同时BCBb所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab

9、,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,d,例：过C点作直线与AB垂直相交。,d,返回首页？,继续下一节？,2.4 平面的投影,1. 平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,2. 平面的投影特性,投影特性：,平面平行投影面投影就把实形现,平面垂直投影面投影积聚成直线,平面倾斜投影面投影类似原平面,实形性,类似性,积聚性,1) 平面对一个投影面的投影特性,2) 平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投

10、影面,与三个投影面都倾斜, 投影面垂直面,为什么？,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影为类似形。, 投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。, 一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性：,a,c,b,c,a,例：正垂面ABC与H面的夹角为45，已知其水 平投影及顶点B的正面投影，求ABC的正 面投影及侧面投影。,思考：此题有几个解？,3. 平面上的直线和点,

11、位于平面上的直线应满足的条件：,1) 平面上取任意直线, 若一直线过平面上的两 点，则此直线必在该平 面上。, 若一直线过平面上的一 点且平行于该平面上的 另一直线，则此直线在 该平面上。,d,例：已知平面由直线AB、AC所确定，在 平面内任作一条直线。,解法一：,解法二：,有无数解！,例：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距离为10mm。,n,m,n,m,唯一解！,2) 平面上取点,先找出过此点而又在平面上的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,d,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,首先面

12、上取线,b,c,k,k,b,例：已知AC为正平线，补全平行四边 形ABCD的水平投影。,解法一：,解法二：,c,d,e,例：在ABC内取一点M，并使其到H面和V面的距离均为10mm。,b,c,X,b,c,a,a,O,返回首页？,继续下一节？,2.5 直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,1. 平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,1) 直线与平面平行,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例：过点M作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,d,d,正平线,例：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。,唯一解,n,n,d,d,2) 两平面平行, 若一平面上的两相交直线分

13、别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。, 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,k,k,由于ek不平行于ac,故两平面不平行。,例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行， 已知ABCDEFMH,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,2. 相交问题,1)直线与平面相交,要讨论的问题：, 求直线与平面的交点。, 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K

14、点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,作图,用线上取点法,k,1(2),1(2),k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k2为不可见。,作图,用面上取点法,2) 两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,(1) 求两平面的交线,方法：, 确定两平面的两个共有

15、点。, 确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,(2) 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。, 求交线, 判别可见性,作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例：求两平面的交线 MN并判别可见性。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),例：求两平面的交

16、线 MN并判别可见性。,空间及投影分析, 求交线, 判别可见性,作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。,空间及投影分析,平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。, 求交线, 判别可见性,点在MC上，点在FH上，点在前，点在后，故mc 可见。,作图,a,b,d(e),e,b,d,h(f),c,f,c,h,空间及投影分析,平面DEFH是一铅垂面，它的水平

17、投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。, 求交线, 判别可见性,点在MC上，点在FH上，点在前，点在后，故mc 可见。,作图,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于 def 的外面，说明点N位于 DEF所确定的平面内，但不位于 DEF这个图形内。所以 ABC和 DEF的交线应为MK。,互交,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于 def 的外面，说明点N位于 DEF所确定的平面内，但不位于 DEF这个图形内。所以 ABC和 DEF的交线应为MK。,互交,

18、3. 垂直问题,1) 直线与平面垂直,若直线垂直于平面，则直线的正面投影一定垂直于平面上的正平线的正面投影，直线的水平投影一定垂直于平面上的水平线的水平投影。,例：过点M作直线MN垂直于ABC所确定的平面,n,d,e,m,a,b,c,根据直线与平面垂直时的投影特性，所作直线的正面投影应垂直于ABC上的正平线的正面投影，水平投影应垂直于ABC上的水平线的水平投影。因此，作图时应首先在ABC内作一条正平线和一条水平线。,分析：,例：过点A作平面垂直于直线MN 。,b,c,分析：,根据直线与平面垂直的几何条件，所作平面内应包含两条相交直线与MN垂直，假设它们是相交于点A的一条正平线和一条水平线，则该

19、正平线的正面投影应垂直于mn，水平线的水平投影应垂直于mn。,2) 平面与平面垂直,若一平面通过另一平面的垂线，则两平面相互垂直。,绘制相互垂直平面的两种方法：, 使一平面包含另一平面的一条垂线。, 使一平面垂直于另一平面内的一条直线。,例：过点M作一平面垂直于ABC所确定的平面。,d,e,n,分析：,假设所作平面由相交于点M的两条直线构成，根据两平面垂直的几何条件，使其中一条为ABC的垂线即可。,返回首页？,继续下一节？,本章小结,点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线 与平面的投影特性。,重点掌握：,点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。,1. 直线上的点,(1) 点的投影在

20、直线的同名投影上。,(2) 点的投影必分线段的投影成定比定比定理。,(3) 判断方法:,2. 两直线的相对位置,1) 平行,同名投影互相平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,2) 相交,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,3) 交叉（异面）,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,4) 垂直,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,3. 点与平面的相对位置,面上取点的方法:

21、,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,4. 直线与平面的相对位置,1) 直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。,2) 直线与平面相交, 投影面垂直线与一般位置平面求交点， 利用交点的共有性和直线的积聚性，采 取平面上取点的方法求解。, 一般位置直线与特殊位置平面求交点， 利用交点的共有性和平面的积聚性，采 用直线上取点的方法求解。,3) 直线与平面垂直,若直线垂直于平面，则直线的正面投影一定垂直于平面上的正平线的正面投影，直线的水平投影一定垂直于平面上的水平线的水平投影。,5. 两平面的相对位置,1) 两平面平行, 若一平面上的两相交 直线分别平行于另一 平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。, 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有 积聚性的那组投影必 相互平行。,2) 两平面相交, 两特殊位置平面相交，分 析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有 点，根据交线的投影特性 画出交线的投影。, 一般位置平面与特殊位置 平面相交，可利用特殊位 置平面的积聚性找出两平 面的两个共有点，求出交 线。,3) 两平面垂直,一平面通过另一平面的垂线 。,绘制两平面互相垂直的方法：, 使一平面包含另一平面的一条垂线。, 使一平面垂直于另一平面内的一条直线。,END,