1、数理逻辑,数理逻辑：用数学的方法研究逻辑问题。 逻辑演算：命题逻辑演算、谓词逻辑演算。 公理集合论 证明论 模型论 递归论,1.1 命题,命题：可以区分真假的陈述句。 今天是星期一。 南京是江苏的省会。 今天天气真好啊！ 禁止抽烟！ 你有笔吗？,1.2 联结词与真值表,原子命题：不能再分解的命题。 今天是星期一。 南京是江苏的省会。 他在跑步或打球。,1.2 联结词与真值表,否定(非）： 含义：不 如果p表示“今天是星期一”，则p表示“今天不是星期一”。,1.2 联结词与真值表,合取词： 含义：并且 如果p表示“今天是星期一”， q表示“今天是晴天”， 则pq表示“今天是星期一并且今天是晴天”
2、。,1.2 联结词与真值表,析取词： 含义：或者 如果p表示“小王在跑步”，q表示“小李在打球”，则pq表示“小王在跑步或者小李在打球”。,1.2 联结词与真值表,不可兼或:小王现在在操场或者教室，用r表示。p表示“小王在操场”，q表示“小王在教室”,pq并没有完全刻划上述命题,r应该为： (pq)(pq),1.2 联结词与真值表,蕴含词： 含义：如果.那么. 如果p表示“我有空”，q表示“我去图书馆”，则pq表示“如果我有空,那么我就去图书馆”。,1.2 联结词与真值表,蕴含怪论： 如果今天是星期一，那么南航位于北京。,1.2 联结词与真值表,等值词： 含义：当且仅当，同真假，同或 如果p表
3、示“今天天气好”，q表示“小李上街去”，则pq表示“当且仅当今天天气好，小李上街去”。,1.2 联结词与真值表,联结词的优先顺序：、 用命题符号及联结词来表示下列命题： p：今天下雨。q：我进城去。r：我有时间。 如果今天不下雨，并且我有时间，我就进城去。 如果今天下雨，我就不进城去。 只有当今天不下雨，我才进城去。,1.2 联结词与真值表,解释：对命题逻辑公式中的每个命题符号指定真假值，称之为该公式的一个解释。,1.2 联结词与真值表,永真式：如果一个公式在所有解释下取值都为真，称之为永真式。 永假式：如果一个公式在所有解释下取值都为假，称之为永假式。,1.2 联结词与真值表,同真假式：如果
4、两个公式在所有解释下的真假值都相同，称这两个公式是同真假式。,1.2 联结词与真值表,一些同真假式 交换律：pq 与 qp 结合律：p(qr) 与 (pq)r 德摩根律：(qr) 与 qr 吸收律：p(pq) 与 p 逆否律：pq 与 qp pq 与pq pq 与 (pq) (qp) (pq) 与 pq,命题逻辑自然推理系统PN,PN中的符号： 命题变元：p,q,r,pi,qi,ri 联结词：、 辅助符号：(，),命题逻辑自然推理系统PN,PN中的合式公式： 单个命题变元是合式公式 如果A,B是合式公式，则A,(AB), (AB),(AB),(AB)也是合式公式。 只有通过在有限步内得到的符号
5、串才是合式公式。 可以按优先级、省略括号 判断下列符号串是否为合式公式 pq, pq, pq, pq, pq,命题逻辑自然推理系统PN,一些约定： A，B，Ai，Bi表示合式公式。 ， ，i，i 表示合式公式的集合。 A 表示可以变形为A。(或者说可以推出A。) A，B 表示 A并且 B。 A 表示 A A表示 并且A 注：以上各符号不在PN中，是元语言，而不是对象语言。,命题逻辑自然推理系统PN,系统PN的推理规则： 1.A1，A2 .An Ai (i=1,2,.,n) () 2.如果()且A，则A ()(传递律) 3.如果A，则,A (0)(单调律) 4.如果,AB,B，则A ()(反证律
6、) 5.AB，AB (-) 6.如果,AB，则AB (+) 注意区分符号、和 (书上用）。,命题逻辑自然推理系统PN,7. ABA，B （-） 8. A，BAB （+） 9.如果AC且BC，则ABC （-） 10.AAB，BA （+） 11.AB，AB 以及 AB,BA （-） 12.如果,AB且,BA，则AB （+）,命题逻辑自然推理系统PN,系统PN的证明： A的一个证明指下述的序列1A1，2A2，.nAn，其中 nAn就是A iAi是由前面的推理形式及推理规则得到。,PN系统的展开,pf:1. AA (),Th2: A BA （肯定后件律）,pf: 1.A,B A () 2.A BA (
7、1,+),Th1: AA,PN系统的展开,AB，BC,A AB AB，BC,A A AB,A B AB，BC,A B AB，BC,A BC BC,B C AB，BC,A C AB，BC AC,pf:,() () (-) (1,2,3,) () (-) (4,5,6,) (7,+),Th3: AB，BC AC （传递律）,PN系统的展开,A,A,B A A,A,B A A,A,B A,A A,A B,pf:,() () (合并) (3,),Th4: 作业,Th6: 作业 Th7: 作业,Th5: A，A B （矛盾推出一切）,PN系统的展开,A,A A,A A A,:,() (1,),() (1
8、,Th8) (1,2,) () (3,4,),Th8: AA （传递律）,PN系统的展开,A A A A ,A A ,A ,A B,B ,A B,B A,pf:,() (-) (1,2,) () (已知) (3,4,5,) (6,),Th9:如果,AB,B,则 A (+,归缪律),PN系统的展开,A1 . A2 . . A3 . . B1 . . B2 . B3 . B4 B5,(已知或假设) (已知或假设) (已知或假设) A1,A2,A3 B1 A1,A2,A3 B2 A1,A2 B3 A1,A2 B4 A1 B5,斜形证明：,PN系统的展开,Th2: A BA （肯定后件律）,斜形证明：
9、,A (已知) A (),A (已知)B (H)假设A () BA (2,3,+),Th1: AA,PN系统的展开,AB (已知)BC (已知). A (H). AB (). B (3,4,-) . BC (). C (5,6,-)AC (3,7,+),AB,BC,A AB AB,BC,A B AB,BC,A BC AB,BC,A C AB,BC AC,Th3: AB，BC AC （传递律）,PN系统的展开, (已知) . A (H) . . . . . . . B AB (2,6,+),A B AB (+),斜形证明：+,PN系统的展开,A（BC） (已知)AB (已知). A (H). B
10、C(1,3,-). B (2,3,-). C (4,5,-)AC (3,6,+),A(BC),ABC A,AB B B,BC C A(BC),AB,ABC A(BC),AB,AB A(BC),AB,AC A(BC),AB AC,Th4: A（BC），ABAC,PN系统的展开,A (已知)A (已知). B (H)假设. A (). A ()B (3,4,5,),A,A,B A A,A,B A A,A B,Th5: A，A B （矛盾推出一切）,PN系统的展开,A (已知). A (已知). B (Th5) AB (3,6,+),A,A B (Th5) A AB (1,+),Th6: A AB,
11、PN系统的展开,A (已知). A (已知). B (Th5) AB (3,6,+),A,A B (Th5) A AB (1,+),Th7: A AB,PN系统的展开, (已知) . A (H) . . . B . . . B A (2,4,6,),A B,A B A (),斜形证明：,PN系统的展开,Th8: AA （传递律）,:,:,A (已知)A (H)A () A (1,2,3,),A (已知)A (H)A (2,Th8,)A () A (2,3,4,),PN系统的展开,Th10: AB，B A,AB (已知). B (已知). . A (H). . B (1,3,-). A (2,3
12、,4,+),PN系统的展开,Th11: AB BA,AB (已知). B (H). A (1,2,TH10) BA (2,3,+),AB (已知). B (H). . A (H). . B (1,3,-). A (2,3,4,+) BA (2,5,+),PN系统的展开,Th12: AB，BA,AB (已知). B (已知). . A (H). . B (1,3,-). A (2,3,4,),PN系统的展开,Th13: AB BA,AB (已知). B (H). A (1,2,TH12) AB，BA BA (2,3,+),PN系统的展开,Th14: AB，B A,AB (已知). B (已知).
13、 . A (H). . B (1,3,-). A (2,3,4,+),PN系统的展开,Th15: AB BA,AB (已知). B (H). A (1,2,TH14) BA (2,3,+),PN系统的展开,Th16: AB，B A,AB (已知). B (已知). . A (H). . B (1,3,-). A (2,3,4,),PN系统的展开,Th17: AB BA,AB (已知). B (H). A (1,2,TH16) BA (2,3,+),PN系统的展开,Th18: AA A,AA (已知). A (H). A (1,2,-) A (2,3,),PN系统的展开,Th19: AA A,A
14、A (已知). A (H). A (1,2,-) A (2,3,+),PN系统的展开,Th20: AB，AB A,AB (已知). AB (已知) . . A (H) . . B (1,3,-) . . B (2,3,-) A (3,4,5,+),PN系统的展开,Th21: AB，AB B,AB (已知). AB (已知) . . B (H) . . A (1,3,Th10) . . A (2,3,Th16) B (3,4,5,),PN系统的展开,Th22: (AB) A, B,(AB) (已知) . A (H) . AB (否定前件律) A (1,2,3,),(AB) (已知) . B (H
15、) . AB (肯定后件律) B (1,2,3,),PN系统的展开,Th23: 如果，AC且，BC，则，ABC (-),如果AC且BC，则ABC （-）,PN系统的展开,Th24: ABBA,AB (已知) A (1,-) B (1,-) BA (2,3,+),BA (已知) A (1,-) B (1,-) AB (2,3,+),PN系统的展开,Th24: (AB)CA(BC),(AB)C (已知) AB (1,-) C (1,-) B (2,-) A (2,-) BC (4,3,+) A(BC) (5,6,+),PN系统的展开,Th24: AB (AB),AB (已知) A,B (1,-)
16、. AB (H) . B (1,3,-) (AB) (4,2,3,+),(AB) (已知) A (1,TH22) B (1,TH22) B (-) AB (2,4,+),PN的可靠性： 如果A ，则A是永真式。 PN的完备性： 如果A是永真式，则A。,命题逻辑的可靠性与完备性,命题逻辑的可靠性与完备性,证明PN中的公式A是永真式： 1 证明A。（可用斜形证明） 2 用真值表验证。 证明PN中的公式A不是永真式： 用真值表验证。,第三章 谓词与量词,命题逻辑的局限性： 所有的整数都是有理数。p 2是整数。q 2是有理数。r 在命题逻辑中，分别用p,q,r来表示上述命题。 一方面，我们希望有p,q
17、 r 另一方面，在PN中p,q r不成立。,第三章 谓词与量词,命题的分解： 所有的整数都是有理数。 x(P(x)Q(x),第三章 谓词与量词,命题的分解： 所有的整数都是有理数。x(P(x)Q(x) 2是整数。P(2) 2是有理数。Q(2) 在谓词逻辑推理系统中有 x(P(x)Q(x)，P(2) Q(2),第三章 谓词与量词,谓词：表示个体的性质或个体之间的关系。 一元谓词： P(x):可以表示x是整数。 二元谓词： P(x,y):可以表示xy。 三元谓词： P(x,y,z):可以表示xyz。,第三章 谓词与量词,量词： ：所有，每一。(All,Any) ：存在。(Exist) 量词的辖域：
18、量词所管辖的公式。 x(P(x,y)yQ(x,y)xyQ(x,y) x(P(x,y)yQ(x,y)xyQ(x,y) x(P(x,y)yQ(x,y)xyQ(x,y) x(P(x,y)yQ(x,y)xyQ(x,y) x(P(x,y)yQ(x,y)xyQ(x,y),第三章 谓词与量词,约束变元与自由变元： 如果x出现在x或x的辖域中，则称该x是约束出现，否则称该x为自由出现。xP(x,y)yQ(x,y)xyR(x,y),第三章 谓词与量词,个体常元：表示固定的个体。 a：表示小王。 P(x):x是教师。 P(a):小王是教师。 函数符号：表示个体域上的n元函数。P(x):x是教师。f(x):x的父亲
19、。P(f(x):x的父亲是教师。,第三章 谓词与量词,用符号来表示下述命题： P(x):x是素数。Q(x):x是偶数。 R(x,y):xy。E(x,y):x=y。 1.有的数既是素数又是偶数。 2.任何大于2的素数都不是偶数。 3.无论x是多大的素数，还有比x更大的素数。 4.没有比2大的偶数是素数。 5.没有最大的素数。 6.有且只有一个偶数是素数。,第三章 谓词与量词,命题分解后引进的符号： 个体常元 个体变元（包含约束出现的和自由出现的） 函数符号 谓词符号 量词,第三章 谓词与量词,谓词逻辑公式的解释（模型）： 指定一个集合作为论域。 将每个常元指定为论域中的一个元素。 将n元函数符号
20、指定为论域上的n元函数。 将n元谓词符号指定为论域上的n元关系。 将自由出现的变元指定为论域中的一个元素。,第三章 谓词与量词,谓词逻辑公式的解释： xP(x) 论域：1,2,3,4, P(x):x0x(P(x)Q(x) 论域：1,2,3,4, P(x):x是整数，Q(x)：x是有理数,第三章 谓词与量词,谓词逻辑公式的真假值 对于有限论域U=a1an xB(x)为真 iff B(a1)为真且B(a2)为真B(an)为真 iff B(a1)B(a2)B(an)为真xB(x)为真 iff B(a1)为真或B(a2)为真B(an)为真 iff B(a1)B(a2)B(an)为真,第三章 谓词与量词
21、,谓词逻辑公式的真假值： xP(x) 论域：1,2,3,4, P(x):x0x(P(x)Q(x) 论域：1,2,3,4, P(x):x是整数，Q(x)：x是有理数,第三章 谓词与量词,永真式：如果一个公式在所有解释下取值都为真，称之为永真式。 x(R(x)R(x)永假式：如果一个公式在所有解释下取值都为假，称之为永假式。 x(R(x)R(x),第三章 谓词与量词,同真假式：如果两个公式在所有解释下的真假值都相同，称这两个公式是同真假式。 一些同真假式 xA(x)与 xA(x) xA(x)与 xA(x) xA(x)xB(x)与 x(A(x)B(x) xA(x)xB(x)与 x(A(x)B(x),
22、4.1 谓词逻辑自然推理系统FN,FN中的符号： 个体词：a,b,c,ai,bi,ci 谓词：F,G,H,Fi,Gi,Hi 约束变元：x,y,z,xi,yi,zi 量词：， 联结词：、 辅助符号：(，),4.1 谓词逻辑自然推理系统FN,FN中的合式公式： 如果A是n元谓词符号，a1,a2.an是个体词，则A(a1,a2.an)是合式公式 如果A,B是合式公式，则(A),(AB), (AB),(AB),(AB)也是合式公式。 A(a)是合式公式，a在其中出现，x不在其中出现，则xA(x)与 xA(x)是合式公式 只有通过在有限步内得到的才是合式公式。 判断下列符号串是否为合式公式 P(x),x
23、Q(x), xF(x,a),4.1 谓词逻辑自然推理系统FN,系统FN的推理规则： 1.A1，A2 .An Ai (i=1,2,.,n) () 2.如果()且A，则A ()(传递律) 3.如果A，则,A (0)(单调律) 4.如果,AB,B，则A ()(反证律) 5.AB，AB (-) 6.如果,AB，则AB (+),4.1 谓词逻辑自然推理系统FN,系统FN的推理规则： 7.ABA，B （-） 8.A，BAB （+） 9.如果AC且BC，则ABC （-） 10.AAB，BA （+） 11.AB，AB 以及 AB,BA （-） 12.如果,AB且,BA，则AB （+）,4.1 谓词逻辑自然推理
24、系统FN,系统FN的推理规则： 13 xA(x)A(a) （-）（消去律） 14 如果A(a) 且a不在中出现，则xA(x) （+）（引入律） 15 ,A(a) B 且a不在和B中出现，则,xA(x) B （-）（消去律） 16 A(a) xA(x),A(x)是由A(a)中的a的部分出现替换为x而得 (+)（引入律）,4.1 谓词逻辑自然推理系统FN,系统FN的推理规则： 14 如果A(a) 且a不在中出现，则xA(x) （+）（引入律） =p,p:今天学校放假。a:小王 A(a):小王没到学校上课。 如果pA(a)，则pxA(x) =p(a),p(a):小王今天生病。 A(a):小王没到学校
25、上课。 如果p(a)A(a)，则不一定有p(a)xA(x),4.1 谓词逻辑自然推理系统FN,系统FN的推理规则： 15 ,A(a) B 且a不在和B中出现，则,xA(x) B （-）（消去律） =,A(a):小王没到学校上课。 B:今天没有全部出勤。 如果A(a)B，则xA(x) B =,A(a):小王没到学校上课。 B(a):今天小王生病。 如果A(a)B(a)，则不一定有xA(x)B(a),4.1 谓词逻辑自然推理系统FN, . . A(a) 取a1 xA(x) (4,+),. A(a) (H)取a1 . xA(x) (4,+),系统FN的推理规则： 14 如果A(a) 且a不在中出现，
26、则xA(x) （+）（引入律）,4.1 谓词逻辑自然推理系统FN,xA(x) (已知） A(a) (1,-),系统FN的推理规则： 15 ,A(a) B 且a不在和B中出现，则,xA(x) B （-）（消去律）,4.1 谓词逻辑自然推理系统FN,A(a)(H)取a1,4. B .xA(x) (已知) .B (2,4,-),xA(x) (已知) . A(a) (H)取a1,4 . . . BB (2,4,-),系统FN的推理规则： 15 ,A(a) B 且a不在和B中出现，则,xA(x) B （-）（消去律）,4.2 FN系统的展开,Th2: xA(x)yA(y),xA(x) (已知) A(a)
27、 (1,-)取a1 yA(y) (2,+),yA(y) (已知) A(a) (1,-)取a1 xA(x) (2,+),4.2 FN系统的展开,Th3: xA(x)yA(y),xA(x) (已知)A(a) (H)取ayA(y)yA(y) (2,+) yA(y) (2,3,-),或,A(a) (H)取ayA(y)yA(y) (1,+) xA(x) (已知) yA(y) (1,2,-),4.2 FN系统的展开,Th14: x(A(x)B(x),x(B(x)C(x) x(A(x)C(x),x(A(x)B(x) (已知)x(B(x)C(x) (已知)A(a)B(a) (1,-)B(a)C(a) (2,-
28、)A(a)C(a) (3,4传递律)x(A(x)C(x) (5,+),取a1,2,4.2 FN系统的展开,Th15: AxB(x)x(AB(x) xA,AxB(x) (已知) AB(a) (1,-)取a1 x(AB(x) (2,+),AxB(x) (已知)A (H)xB(x) (1,2,-)B(a) (3,-)取a1AB(a) (4,+)x(AB(x) (5,+),4.2 FN系统的展开,Th15: AxB(x)x(AB(x) xA,AxB(x) (已知)A (H)xB(x) (1,2,-)B(a) (3,-)取a1 AB(a) (4,+) x(AB(x) (5,+),4.2 FN系统的展开,
29、Th15: AxB(x)x(AB(x) xA,AxB(x) (已知)(AB(a) (H)取a1A,B(a) (2,(AB)A,B)xB(x) (3,+)xB(x) (4,xB(x)xB(x)xB(x) (1,3,-)xB(x) (6,xB(x)xB(x) AB(a) (2,5,) x(AB(x) (5,+),4.2 FN系统的展开,Th15: AxB(x)x(AB(x) xA,AxB(x) (已知)(AB(a) (H)取a1A,B(a) (2,(AB)A,B)xB(x) (1,3,-)B(a) (3,-) AB(a) (2,5,) x(AB(x) (5,+),4.2 FN系统的展开,Th15:
30、 AxB(x)x(AB(x) xA,x(AB(x) (已知) AB(a) (1,-)取a1 AxB(x) (2,+),4.2 FN系统的展开,Th15: AxB(x)x(AB(x) xA,x(AB(x) (已知) AB(a) (1,-)取a1(AxB(x) (H)A,xB(x) (3,(AB)A,B)xB(x) (4,xB(x)xB(x)B(a) (3,2,-)B(a) (5,-) AxB(x) (3,6,7, ),4.2 FN系统的展开,Th15: AxB(x)x(AB(x) xA,x(AB(x) (已知) AB(a) (1,-)取a1A (H)B(a) (3,2,-)xB(x) (4,+)
31、 AxB(x) (3,5,+),4.2 FN系统的展开,Th16: AxB(x)x(AB(x) xA,AxB(x) (已知)A (H)xB(x) (1,2,-)B(a) (3, -) AB(a) (1,-) x(AB(x) (3,2,+),4.2 FN系统的展开,Th16: AxB(x)x(AB(x) xA,AxB(x) (已知)A (H)xB(x) (1,2,-)B(a) (H) 取a1xB(x) (3,2,+)xB(x) (5,TH)B(a) (4,6,3,) AB(a) (1,-) x(AB(x) (3,2,+),4.2 FN系统的展开,Th16: AxB(x)x(AB(x) xA,Ax
32、B(x) (已知)A (H)xB(x) (1,2,-)B(a) (H) 取a1,2B(a) (4,)B(a) (4,5, -) AB(a) (2,6 +) x(AB(x) (7,+),4.2 FN系统的展开,Th16: AxB(x)x(AB(x) xA,AxB(x) (已知)x(AB(x) (H)x(AB(x) (2,TH)(AB(a) (3,-)取a1,2A,B(a) (5,TH)xB(x) (3,2,+)xB(x) (6,TH)xB(x) (1,5,-) x(AB(x) (2,7,8,),4.2 FN系统的展开,Th16: AxB(x)x(AB(x) xA,x(AB(x) (已知)AB(a) (H) 取a1A (H)B(a) (2,3,-)xB(x) (5,+)xB(x) (6,TH)AxB(x) (1,5,+) AxB(x) (2,7,-),
