数理逻辑1.ppt

1、第一部分 数理逻辑,逻辑学 是一门研究思维形式和规律的科学。分为辩证逻辑和形式逻辑两种。思维的形式结构包括了概念判断和推理之间的结构和联系，其中概念是思维的基本单位，通过概念对事物是否具有某种属性进行肯定或否定的回答，就是判断。由一个或几个判断推出另一判断的思维形式就是推理。 数理逻辑 用数学方法研究推理的规律称为数理逻辑。所谓数学方法就是引用一套符号体系的方法，所以数理逻辑又称作符号逻辑。,http:/ 数理逻辑,现代数理逻辑 逻辑演算、逻辑演绎、模型论、证明论、递归函数论、公理化集合论等。 我们要介绍的是数理逻辑中最基本的内容：命题逻辑和谓词逻辑。即一般所谓的古典逻辑。 德国数学家莱布尼茨

2、Leibniz（现代逻辑的首席创始人）；布尔Boole （奠基人，逻辑的数学分析）；弗雷格（数论的基础）,第一章 命题逻辑的基本概念,命题逻辑也称命题演算或语句逻辑。它研究以“命题”为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系，研究什么是命题？如何表示命题？怎样由一组前提推导一些结论。,概念,判断,推理,1.1 命题与命题联结词,1.1.1命题 定义1.1：判断结果惟一的陈述句(或断言)称为命题(proposition)。 命题的取值称为真值。真值只有“真”和“假”两种，分别用“1”和“0”表示。 注意：命题的真值非真即假，只有两种取值，这样的系统为二值逻辑系统。,1.1 命题与命题联结词,例1

3、-1：命题示例。 (a):今天下雪 (b):3+3=6 (c):2是偶数而3是奇数 (d):陈胜起义那天，杭州下雨 (e):较大的偶数都可表为两个质数之和 (f):x+y4 (g):真好啊! (h):x=3 (i):你去哪里？ (j):我正在说谎。 注意：由定义知，一切没有判断内容的句子如命令，感叹句，疑问句，祈使句，二义性的陈述句等都不能作为命题。,1.1 命题与命题联结词,例1-2：下列句子哪些是命题，判断命题的真假。(1):2是素数 (2):北京是中国的首都(3):这个语句是假的(4):x+y0 (5):我喜欢踢足球(6):地球外的星球上也有人(7):明年国庆节是晴天(8):把门关上(9

4、):你要出去吗？(10):今天天气真好啊！,注意 命题一定是通过陈述句来表达；反之，并非一切的陈述句都一定是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境条件，实际情况，时间才能确定其真值。但其真值一定是唯一确定的。,1.1 命题与命题联结词,1.1 命题与命题联结词,命题可分为两种类型： 简单命题：若一个命题已不能分解成更简单的命题，则该命题叫简单命题或原子命题或本原命题（Simple proposition） 复合命题（Compound proposition）：可以分解为简单命题的命题，而且这些简单命题之间是通过关联词（如“或者”,“并且”,“不”，“如果 则”,“当且仅当”等）和

5、标点符号复合而构成一个复合命题。 例：呼市是内蒙古的首府当且仅当鸟会飞。,简单命题符号化,用小写英文字母 p, q, r, , pi, qi, ri (i=1,2,.)表示简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假例如，令 p： 是有理数，则 p 的真值为0，q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为1,1.1.2 命题联结词命题通常可以通过一些联结词复合而构成新的命题，这些联结词被称为命题联结词。用数学方法研究命题之间的逻辑关系时（也就是在命题演算中），这些联结词可以看作是运算符，因此也叫作逻辑运算符。常用的联结词有以下5个： 定义1.2（否定联结词）：设p是任一命题，复合命题“非p”（或“p的

6、否定”）称为p的否定式（Negation），记作p，“”为否定联结词。 p为真当且仅当p为假。如：p：2是素数，则p：2不是素数。,1.1 命题与命题联结词,1.1 命题与命题联结词,定义1.3（合取联结词）：设p q是任意两个命题，复合命题“p并且q”（或“p和q”）称为p与q的合取式（Conjunction），记作p q，“ ”为合取联结词。 p q为真当且仅当p，q同为真。例，p：2是素数，q：2是偶数。则p q：2是素数并且是偶数。,例1-3 将下列命题符号化.(1) 吴颖既用功又聪明.(2) 吴颖不仅用功而且聪明.(3) 吴颖虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5)

7、张辉与王丽是同学.,合取联结词的实例,解 令p:吴颖用功, q:吴颖聪明(1) pq(2) pq(3) pq(4) 设p:张辉是三好生, q:王丽是三好生 pq(5) p:张辉与王丽是同学(1)(3) 说明描述合取式的灵活性与多样性 (4)(5) 要求分清 “与” 所联结的成分,1.1 命题与命题联结词,定义1.4（析取联结词）：设p q是任意两个命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式（Disjunction），记作p q，“ ”为析取联结词。 p q为真当且仅当p，q至少一个为真。例，p：2是素数，q：2是奇数。则p q：2是素数或是奇数。,例1-4 将下列命题符号化 (1) 2 或

8、4 是素数. (2) 2 或 3 是素数. (3) 4 或 6 是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王小红生于 1975 年或 1976 年.,析取联结词的实例,解 (1) 令p:2是素数, q:4是素数, pq (2) 令p:2是素数, q:3是素数, pq (3) 令p:4是素数, q:6是素数, pq (4) 令p:小元元拿一个苹果, q:小元元拿一个梨(pq)(pq) (5) p:王小红生于 1975 年, q:王小红生于1976 年, (pq)(pq) 或 pq(1)(3) 为相容或 (4)(5) 为排斥或, 符号化时(5)可有两种形式，而(4)则不能,1.1

9、命题与命题联结词,定义1.5（蕴含联结词）：设p q是任意两个命题，复合命题“如果p则q” 称为p与q的蕴含式（Implication），记作pq，“”为 蕴含联结词，p称为蕴含式的前提，假设或前件，而q称为结论式后件。pq为假当且仅当p为真q为假。例，p：G是正方形，q：G的四边相等，则pq：如果G是正方形，则G的四边相等。 蕴含式pq可以用多种方式陈述： “若p，则q”; “p是q的充分条件”; “q是p的必要条件”; “q每当p”; “p仅当q”等。,(1) pq 的逻辑关系：q为 p 的必要条件 (2) “如果 p, 则 q” 有很多不同的表述方法：若p，就q只要p，就qp仅当q只有q

10、 才p除非q, 才p 或 除非q，否则非p， (3) 当 p 为假时，pq恒为真，称为空证明(4) 常出现的错误：不分充分与必要条件,给定命题pq，我们把qp，pq， qp分别叫作命题pq的逆命题，反命题和逆反命题。,例1-5 设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化 (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服. (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服. (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷. (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服. (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服. (6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷. (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服. (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候.,蕴涵联结词的实例,p

11、q,注意： pq 与 qp 等价（真值相同）,pq,pq,qp,qp,pq,qp,qp,1.1 命题与命题联结词,定义1.6（等价联结词）：设p，q是任意两个命题，复合命题“p当且仅当q”称为p与q的等价式(Equivalence)，记作pq，“”为等价联结词。 pq为真当且仅当p，q同为真假。例如，p：呼市是内蒙古首府，q：鸟会飞，则pq：呼市是内蒙古首府当且仅当鸟会飞。如果pq是真，则pq和qp是真，反之亦然，因此pq也读作“p是q的充要条件”或“p当且仅当q”。,1.1 命题与命题联结词,五个联结词的真值表,1.2.1：命题公式就像在代数学里引入变量一样，为了更广泛的应用命题演算，在数理

12、逻辑中也引入了命题变量。使得在研究时，只需考虑命题的真值，而不知晓命题的具体含义。 定义1.7：一个特定的命题是一个常值命题(Constant proposition)，它不是具有值“1”，就是具有值“0”。而一个任意的没有赋予具体内容的原子命题是一个变量命题，常称它为命题变项(或命题变元)(proposition Variable)。命题变项无具体的真值，它的值域是集合1，0。,1.2 公式的解释与真值表,1.2 公式的解释与真值表,定义1.8：合式公式（或命题公式，简称公式）(1) 单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是(3) 若A, B

13、是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是(4) 只有有限次地应用(1)(3) 形成的符号串才是合式公式。公式常用符号GH等表示。 例，( pq)，(p(p q) ，(pq) (r q) (p r)是命题公式(p q ) q)， (p q， ( pq (r， pq 不是命题公式,注意： 如果G是含有n个命题变元 p1, p2, ,pn的公式，通常记为G（p1, ,pn）或简记为G。 原子命题变元是最简单的（合式）公式，也叫原子（合式）公式。 合成公式没有真值，只有对其变元进行指派后才有真值。 合成公式无限多。,1.2 公式的解释与真值表,1.2 公式的解释与真值表,合式公式

14、的层次：(1).若公式A是一单个的命题变项，则称A为0层公式；(2).称A是n+1(n0)层公式只需满足下列情况只一：a). A=B，B是n层公式；b). A=BC，其中B，C分别为i层和j层公式,且n=max(i, j)；c). A=BC，其中B，C的层次同b；d). A=BC，其中B，C的层次同b；e). A=BC，其中B，C的层次同b；例如 公式 A=p, B=p, C=pq, D=(pq)r, E=(pq) r) (rs)分别为0层，1层，2层，3层，4层公式.,1.2 公式的解释与真值表,1.2.2：公式的解释与真值表公式本身没有真值，只有在对其所有命题变元指定真值后才变成一个具有真

15、值的命题。 定义1.9：设p1, p2, , pn是出现在公式A中的全部命题变项, 给p1, p2, , pn各指定一个真值, 称为对A的一个赋值或解释. 若使A为1, 则称这组值为A的成真赋值; 若使A为0, 则称这组值为A的成假赋值.,定义1.9几点说明： A中仅出现 p1, p2, , pn，给A赋值=12n是指p1=1, p2=2, , pn=n, i=0或1, i之间不加标点符号A中仅出现 p, q, r, , 给A赋值123是指p=1, q=2 , r=3 含n个命题变项的公式有2n个赋值.如 000, 010, 101, 110是(pq)r的成真赋值001, 011, 100,

16、111是成假赋值.,公式赋值,定义1.10：公式G在其所有可能的解释下所取真值的表，称作G的真值表(1ruth)。 构造真值表的步骤: (1) 找出公式中所含的全部命题变项p1, p2, , pn(若无下角标则按字母顺序排列), 列出2n个全部赋值, 从000开始, 按二进制加法, 每次加1, 直至111为止. (2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次. (3) 对每个赋值依次计算各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值为止.,真值表,1.2 公式的解释与真值表,例1.4：5个联结词的真值表(1：1，0：0),1.2 公式的解释与真值表,例1.5：设公式G= (pq) r )(pq)，其中p

17、，q，r是G的命题变元，则其真值表如下：,1.2 公式的解释与真值表,1.2.3：一些特殊的公式例1.6：考虑：G1= (pq) p；G2=(pq) p；G3= (p q) (pq)公式G1对所有可能的解释都具有“真”值，G3对所有解释都具有“假”值，公式G2则具有“真”和“假”值。,1.2 公式的解释与真值表,1.重言式： 定义1.11：(1). 公式G称为永真公式（重言式），如果在它的所有解释下都为“真”；(2). 公式G称为可满足的，如果它不是永假的；(3). 公式G称为永假公式（矛盾式）, 如果在它的所有解释下都为“假”;有时也称永假公式为不可满足公式。 注意：(1). 重言式的否定是

18、矛盾式，矛盾式的否定是重言式，所以研究其一就可以了；,1.2 公式的解释与真值表,(2). 重言式的合取，析取，蕴含，等价等都是重言式；(3). 重言式中有许多非常有用的恒等式叫永真蕴含式。对任意的公式，判定其是否为永真公式，永假公式，可满足公式的问题称为给定公式的判定问题。由于一个命题公式的解释的数目是有穷的，所以命题逻辑的判定问题是可解的，即命题的永真，永假性是可判定的。其判定方法有真值表法和公式推演法。,1.2 公式的解释与真值表,例1.7： 判定公式： (1).(pq) ( pq); (2). (pq)p) q； (3). p(q r)。,第二章 命题逻辑等值演算,2.1 等值式与等值

19、演算 等值式与基本等值式 真值表法与等值演算法 2.2 范式 析取范式与合取范式 主析取范式与主合取范式,等值式,等值式:若等价式AB是重言式, 则称A与B等值, 记作 AB, 并称AB是等值式 (2) A与B等值当且仅当A与B在所有可能赋值下的真值都相 同, 即A与B有相同的真值表 (3) n个命题变项的真值表共有 个, 故每个命题公式都有 无穷多个等值的命题公式 (4) 可能有哑元出现. 在B中出现, 但不在A中出现的命题变项称作A的哑元. 同样,在A中出现, 但不在B中出现的命题变项称作B的哑元. 哑元的值不影响命题公式的真值.,2. 1 等值式与等值演算,真值表法,例1 判断 (pq)

20、 与 pq 是否等值 解,结论: (pq) (pq),定理1：对于公式G和H， GH的充分必要条件是公式G H是重言式。证明：必要性：假定GH，则G和H在其任意解释I下，或同为真或同为假，由“”的意义知， G H在任意解释I下，其真值为真，即G H为重言式；充分性：假设公式G H是重言式，I是它的任意解释，在I下， G H为真，因此，G，H或同为真或同为假，由于I的任意性，故有GH。,2. 1 等值式与等值演算,注意与不同： (1). ：逻辑等价关系， G H不是命题公式； (2). ：逻辑联结词， G H是命题公式； (3).计算机不能判断G，H是否逻辑等价，而可计算G H是否为重言式。,2

21、. 1 等值式与等值演算,基本等值式（p，q，r为任意命题，1为真命题，0为假命题）：,2. 1 等值式与等值演算,2. 1 等值式与等值演算,3.等值式的传递性： 若AB， BC，则AC。 证明：AB， BC，即AB， BC为重言式，对任意的解释I，A和B，B和C的真值相同，则A和C的真值相同。A C为重言式，即AC；,2. 1 等值式与等值演算,4：代入规则和替换规则当一个公式是永真式或永假式时，其公式的真值与其命题变元的真值的变化无关。因此，当用其他公式来取代公式中的命题变元时，不会改变公式的永真性和永假性 定理2(代入定理) ：设G(p1, ,pn)是一个命题公式，其中p1, ,pn是

22、命题变元，G1(p1, ,pn), Gn(p1, ,pn)为任意的命题公式，此时若G是永真公式或永假公式，则用G1取代p1,Gn取代pn后，得到的新的命题公式G(G1,Gn) G(p1, ,pn)也是一个永真公式或永假公式。,2. 1 等值式与等值演算,例2：设G(p, q) = (pq) p；用H(p, q) =(p q)；S(p, q) =(p q)代入G验证代入定理。定理3(替换定理) ：设G1是G的子公式，H1是任意的命题公式，在G中凡出现G1处都以H1替换后得到的新的命题公式H，若G1H1，则GH。,2. 1 等值式与等值演算,例3 证明 p(qr) (pq)r 证 p(qr) p(

23、qr) （蕴涵等值式） (pq)r （结合律） (pq)r （德摩根律） (pq) r （蕴涵等值式）,2. 1 等值式与等值演算,2. 1 等值式与等值演算,等值演算不能直接证明两个公式不等值. 证明两个公式不 等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真, 另一个成假. 例4 证明: p(qr) (pq) r 方法一 真值表法 方法二 观察法. 容易看出000使左边成真, 使右边成假. 方法三 先用等值演算化简公式, 再观察.,例5 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) 解 q(pq) q(pq) （蕴涵等值式） q(pq) （德摩根律） p(qq) （交换律，结合律） p0 （矛

24、盾律） 0 （零律） 该式为矛盾式. (2) (pq)(qp),2. 1 等值式与等值演算,2.2：范式,1：范式对于给定公式的判定问题，可用真值表方法加以解释，但当公式中命题变元的数目较大时，计算量较大，每增加一个命题变元，真值表的行数要翻倍，计算量加倍，此外，对于同一问题，可以从不同的角度去考虑，产生不同的但又等价的命题公式，即同一个命题可以有不同的表达形式。这样给命题演算带来了一定的困难，因此，有必要使命题公式规范化，为此，引入了范式的概念。,2.2：范式,定义1：(1)：命题变元或命题变元的否定称为文字；(2)：有限个文字的析取式称为简单析取式(基本和)， 如 p, q, pq, pq

25、r, 有限个文字的合取式称为简单合取式(基本积)；如 p, q, pq, pqr, (3)：由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式(Disjunctive Normal 0rom)，由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式(Conjunctive Normal 0rom)。,简单合取式与简单析取式,定理4 简单合取式为永假式的充要条件是:它同时含有某个命题变元及其否定. 证明:充分性:因为对于任何命题变元p，pp为0，所以若pp在简单合取式中出现，它必是永假式.必要性:假设某个简单合取式为用假式0，但该简单合取式中不同时包含任何命题变元及其否定，对这简单合取式中各命题变元指派真值，而各带

26、否定的命题变元指派真值F，则使简单合取式去真值1，这与原假设矛盾.命题得证.,定理5 简单析取式为永真式的充要条件是：它同时含有某个命题变元及其否定. 证明:充分性:因为对于任何命题变元p，pp为0，所以若pp在简单合取式中出现，它必是永假式.必要性:假设某个简单合取式为用假式0，但该简单合取式中不同时包含任何命题变元及其否定，对这简单合取式中各命题变元指派真值1，而各带否定的命题变元指派真值0，则使简单合取式去真值1，这与原假设矛盾.命题得证.,简单合取式与简单析取式,2.2：范式,例如， ：p，p ；：pq r；：pqr；：(pq)(pq)；：(pq)(pq)； 性质：(1)：一个文字既是

27、一个析取范式又是一个合取范式；(2)：一个析取范式为矛盾式，当且仅当它的每个简单合取式是矛盾式；(3)一个合取范式为重言式，当且仅当它的每个简单析取式是重言式。,2.2：范式,定理6：任一命题公式都存在着与之等价的析取范式和合取范式。 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, ABABAB(AB)(AB) (2) 否定联结词的内移或消去 A A(AB)AB(AB)AB,(3) 使用分配律A(BC)(AB)(AC) 求合取范式 A(BC) (AB)(AC) 求析取范式例1 求(pq)r 的析取范式与合取范式 解 (pq)r (pq)r (pq)r 析取范式 (pr)(qr) 合取范式 注

28、意: 公式的析取范式与合取范式不惟一.,2.2：范式,2.2：范式,主析取范式和主合取范式范式虽然为命题公式提供了一种统一的表达形式，但这种表达形式却并不是唯一的。如公式(pq)(pr)与之等价的公式有：p(qr)，(pp)(qr) ，p(qq)(qr)，p(pr)(qr),等，这种不唯一的表达形式给研究问题带来了不便，因此有必要引进更为标准的范式。 定义：(1)包含A中所有命题变元或其否定一次仅一次的简单合取式，称为极小项；(2)包含A中所有命题变元或其否定一次仅一次的简单析取式，称为极大项；(3)由有限个极小项组成的析取范式称为主析取范式； (4)由有限个极大项组成的合取范式称为主合取范式

29、。,2.2：范式,1.极小项和极大项的性质对于两个命题变元p，q来说，由于每个p，q可以取命题变元自身和其否定，所以其对应的极小项和极大项分别有四项：pq， pq，pq，pq；pq， pq, pq， pq。其真值表如下：一般来说，对于n个命题变元，则应有 个不同的极小项和 个不同的极大项。,2.2：范式,性质： (1)：没有两个不同的极小项是等价的，且每个极小项只有一组真值指派使该极小项的真值为真，因此可给极小项编码，使极小项为“1”的那组真值指派为对应的极小项编码；如极小项pqr只有在p，q，r分别取真值0，0，0时才为真，所以有时又可用 ( )来表示，又如pqr也可用( )来表示。,2.2

30、：范式,(2)：没有两个不同的极大项是等价的，且每个极大项只有一组真值指派，使该极大项的真值为假。因此可给极大项编码，使极大项为“0”的那组真值指派为对应的极大项的编码，如极大项pqr只有在p，q，r分别取真值1，1，1时才为假，所以有时又可用 来表示。,2.2：范式,三个命题变元的真值取值与极小项和极大项的对应对位关系表：,2.2：范式,(3)：任意两极小项的合取必假，任意两个极大项的析取必为真。极大项的否定是极小项，极小项的否定是极大项，即(4)：所有极小项的析取为永真公式，所有极大项的合取是永假公式，即,2.2：范式,2.主析取范式和主合取范式的存在性和唯一性 定理7：任何命题公式的主析

31、取范式和主合取范式存在且唯一，即任何命题公式都有且仅有一个与之等价的主合取范式和主析取范式。 （1）、真值表技术 例2：求命题公式(pq)r)(pq)的主析取范式。 例3：求命题公式(pq)r的主合取范式。,2.2：范式,利用真值表技术求主析取范式和主合取范式的方法： ：选出公式的真值结果为真的所有行，在这样的行中，找到其每一个解释所对应的极小项，将这些极小项析取即可得到相应的主析取范式； ：选出公式的真值结果为假的所有行，在这样的行中，找到其每一个解释所对应的极大项，将这些极大项合取即可得到相应的主合取范式。,2.2：范式,（2）、等值演算法 唯一性：设任一命题公式A有两个主析取范式B和C，

32、则因为AB， AC，所以BC，若B，C是A的(在不计极小项的顺序的情况下)不同的主析取范式，则必有在存在极小项mi，mi只存在于B，C之一中，不妨设mi在B中,而不在C中，因此i之二进制表示B的一个真值解释，而对于C则为真值为假的解释，这与BC矛盾，所以B和C相同，同理主合取范式也是唯一的。 例4：利用公式的等值演算求G=(pq)r的主析取范式和主合取范式,2.2：范式,3：主合取范式和主析取范式之间的转换真值表技术和等值演算方式在求主析取范式和主合取范式各有其优点，在公式中的命题变元较少时时，利用真值表技术更为简单。当命题变元较多时，一般采用等值演算法，而在等值演算中，有时求主析取范式更为方

33、便，而有时求主合取范式更为方便。但两者之间必然有相应的关系。,2.2：范式,(1)：已知公式G的主析取范式求公式G的主合取范式的步骤如下：a：求G的主析取范式，即G的主析取范式中没有出现过的极小项的析取b：G(G)即是G的主合取范式即：若 为G的主析取范式，则为G的主析取范式，其中 后剩下的极小项。则 为G的主合取范式。,2.2：范式,(2)：已知公式G的主合取范式，求G的主析取范式的步骤如下： a：求G的主合取范式，即G的主合取范式中没有出现过的极大项的合取 b： G(G)即是G的主析取范式， 即，若 为G的主合取范式，则为G的主合取范式。其中后剩下的极大项。 则为G的主析取范式,2.2：范

34、式,例5：设G=(pq)(pr)(qr),求其对应的主析取范式和主合取范式 性质： (1)：如果命题公式是永真公式它的主析取范式包含所有极小项，此时主合取范式不含有任何极大项，为空，记1； (2)：如果命题公式是它的主合取范式包含所有极大项，此时主析取范式不含有任何极小项，为空，记0； (3)：两个命题公式A，B，AB当且仅当A与B有相同的真值表，又当且仅当A与B有相同的主析取范式(主合取范式)。(真值表和主范式是描述命题公式标准形式的两种不同的等价形式)。,4、主范式的应用,求公式的成真或成假赋值； 判断公式的类型； 证明等值式成立：分别求出两个给定的公式的主范式,若主范式相同，则给定的两公

35、式是等价的.,例6 判断公式A=(pq)pq是否永假式?解：A(pq)pq(pq)pq(ppq)(qpq)0故公式G是永假的.,4主范式的应用,例7 求证(pq) (pr) p(q r)证明： (pq) (pr)(p q) (p r) (p q(r r) (p (q q) r) (p qr) (p qr) (p qr) (p qr) M4 M5 M4 M6M4 M5 M6p(q r)p (q r)(p q) (p r)M4 M5 M6两公式具有相同的主合取范式,故两公式等值。,4主范式的应用,第三章：命题逻辑的推理理论,3.1：推理的基本概念和推理形式推理也称论证，它是指从前提出发推出结论的思

36、维过程，而前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题形式。 定义3.1：设A1，A2，An，B是命题公式，若对于A1，A2，An，B中出现的命题变元的任意一组赋值，或者A1A2An为假，或者当A1A2An为真，B也为真，则称由前提A1，A2，An推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论.。,3：命题逻辑的推理理论,定理3.1：命题公式A1，A2，An推出结论B的推理正确或公式B是前提条件A1，A2，An的有效的结论，当且仅当(A1A2An) B为重言式。=：逻辑蕴含关系， A=B不是命题公式，计算机判断A=B办不到；：蕴含联结词，A B是命题公式，计算机可判断A

37、 B为永真公式。因此我们可以用蕴含式来描述推理。我们将由A1，A2，An推理B，用蕴含式表示为： (A1A2An B)将由A1，A2，An正确推理出B，用蕴含式表示为： A1A2An=B,3：命题逻辑的推理理论,2. A1A2AkB若推理正确, 记为A1 A2 Ak B 3. 前提： A1, A2, , Ak结论： B,推理的形式结构1. A1, A2, , Ak B若推理正确, 记为A1,A2,An B,3：命题逻辑的推理理论,3.2：判断结论有效的方法 1.真值表法；2.等价演算法；3.主析取范式法 1.真值表法设p1，p2，pn是出现在前提A1，A2，An和结论B中的一切命题变元，如果将

38、p1，p2，pn中所有可能的介绍及A1，A2，An，B的对应真值结果都在一个表中，根据“”的定义，则有如下判断方法：,3：命题逻辑的推理理论,(1)对所有A1，A2，An都具有真值1的行(表示前提为真的行)，如果在每个这样的行中，B也具有真值1，则B是A1，A2，An的有效的结论； (2)对所有B具有真值为0的行(表示结论为假的行)，如果在每一个这样的行中， A1，A2，An中至少有一个公式的真值为0(前提也为假)。则B是A1，A2，An的有效的结论。,3：命题逻辑的推理理论,例1.：判断下列B是否为前提A1，A2的有效的结论。(1). B：q; A1：p，A2：pq；(2). B：p; A1

39、：pq ，A2：q；(3). B：q; A1： p，A2：pq； 2.等价演算法 直接用等价演算来判断推理的形式结构是否是重言式。 例2：下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影。所以，她去游泳了。,3：命题逻辑的推理理论,3.主析取范式法 将推理的形式结构转化为主析取范式，但仍判断其是否为重言式。 例3：若下午气温超过30，则王小燕必去游泳。若她去游泳，她就不去看电影了。所以，若王小燕没去看电影，下午气温超过了30 。 以上方法，当形式结构比较复杂，特别是所含的命题变元较多时，一般很不方便，下面介绍构造证明法。,推理定理：(一些重要的永真蕴含式) 1.A=(AB) 附加律 2.AB=A 化简

40、律 3.(AB) A =B 假言真理 4 .(AB) B =A 拒取式 5.(A B) B =A 析取三段论 6 .(AB) (BC) =AC 假言三段论 7 .(AB) (BC) =AC 等价三段论 8 .(AB)(CD)(AC) =(BD) 构造性二难 (AB)(AB)(AA) =B构造性二难(特殊形式) 9 .(AB)(CD)(BD) =(AC)破坏性二难,3.2 自然推理系统P,定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成：(1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I).(3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I

41、).(4) 推理规则集，记作 R(I). 记I=, 其中是 I 的形式语言系统, 是 I 的形式演算系统. 形式系统一般分为两类： 自然推理系统: 无公理, 即AX(I)= 公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理,自然推理系统P,定义3.3 自然推理系统 P 定义如下: 1. 字母表(1) 命题变项符号：p, q, r, , pi, qi, ri, (2) 联结词符号：, , , , (3) 括号与逗号：(, ), ， 2. 合式公式（同定义1.6） 3. 推理规则: (1)(12)(1) P规则 (前提引入规则):在证明的任何步骤都可以引入前提.(2) T规则(结论引入规则):

42、在证明的任何步骤所得的结论都有可以作为后继证明的前提.(3) 置换规则:在证明的任何步骤,命题公式中的子公式都可以用等值的公式置换,得到公式序列中又一个公式.,推理规则,(4) 假言推理规则(6) 化简规则(8) 假言三段论规则,(5) 附加规则(7) 拒取式规则(9) 析取三段论规则,推理规则,(10) 构造性二难推理规则 (11) 破坏性二难推理规则(12) 合取引入规则,在自然推理系统P中构造证明,设前提A1, A2, Ak,结论B及公式序列C1, C2, Cl. 如果每 一个Ci(1il)是某个Aj, 或者可由序列中前面的公式应用推理 规则得到, 并且Cl =B, 则称这个公式序列是由

43、A1, A2, Ak推 出B的证明例2 构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期四，我明天就有课. 若我明天有课，今天必备课. 我今天没备课. 所以，明天不是星期一、也不是星期四. 解 (1) 设命题并符号化 设 p：明天是星期一，q：明天是星期四，r：我明天有课，s：我今天备课,直接证明法,(2) 写出证明的形式结构前提：(pq)r, rs, s结论：pq (3) 证明 rs 前提引入 s 前提引入 r 拒取式 (pq)r 前提引入 (pq) 拒取式 pq 置换,附加前提证明法,附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式 欲证前提：A1, A2, , Ak结论：CB 等价地证明前提：A1, A2,

44、, Ak, C结论：B 理由：(A1A2Ak)(CB) ( A1A2Ak)(CB) ( A1A2AkC)B (A1A2AkC)B,附加前提证明法实例,例3 构造下面推理的证明2是素数或合数. 若2是素数，则 是无理数. 若 是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数. 解 用附加前提证明法构造证明(1) 设 p：2是素数，q：2是合数，r： 是无理数，s：4是素数(2) 推理的形式结构前提：pq, pr, rs结论：sq,附加前提证明法实例,(3) 证明 s 附加前提引入 pr 前提引入 rs 前提引入 ps 假言三段论 p 拒取式 pq 前提引入 q 析取三段论,归谬法（反证法

45、）,归谬法 (反证法) 欲证前提：A1, A2, , Ak 结论：B 做法在前提中加入B，推出矛盾. 理由A1A2AkB (A1A2Ak)B (A1A2AkB) (A1A2AkB)0 A1A2AkB0,归谬法实例,例4 前提：(pq)r, rs, s, p 结论：q 证明 用归缪法 q 结论否定引入 rs 前提引入 s 前提引入 r 拒取式 (pq)r 前提引入 (pq) 析取三段论 pq 置换 p 析取三段论 p 前提引入pp 合取,第三章 小结,主要内容 推理的形式结构 判断推理是否正确的方法真值表法 等值演算法主析取范式法 推理定律 自然推理系统P 构造推理证明的方法直接证明法附加前提证明法归谬法(反证法),