整数规划实例

1、,第五章 整数规划,1 引 言整数规划是一类要求变量取整数值的数学规划，可分成线性和非线性两类。根据变量的取值性质，又可以分为全整数规划，混合整数规划，0-1整数规划等。,整数规划是数学规划中一个较弱的分支，目前只能解中等规模的线性整数规划问题，而非线性整数规划问题，还没有好的办法。,例5-1：一登山队员做登山准备，他需要携带的物品有：食品，氧气，冰镐，绳索，帐篷，照相机和通讯设备，每种物品的重要性系数和重量如下：假定登山队员可携带最大重量为25公斤。,解：如果令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登山队员不携带。

2、整数规划,数学规划问题中有很多决策变量都只能取整数，如人员数量、机器设备台数、服装件数、汽车辆数等如果规划问题中的决策变量xi(i=1,2,n),要求取整数值，则称这个模型为整数规划模型,2,求背包中装入每种物品各多少件，使背包中物品总价值最高。,3,1.背包问题,一只背包最大装载重量为50公斤。现有三种物品，每种物品数量无限。每种物品每件的重量、价格如下表：,4,设三种物品的件数各为x1，x2，x3件，总价值为z。 max z=17x1+72x2+35x3 s.t. 10x1+41x2+20x350x1，x2，x30 ，x1，x2，x3为整数 这是一个整数规划问题（Integer Programmin。

3、1,第五章 整数规划,整数规划模型及其与线性规划的区别 整数规划的求解分支定界法、割平面法 0-1整数规划模型与求解 指派问题模型与求解 整数规划的应用建模,2,一、整数规划的一般形式,例1 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表：,问两种货物各托运多少箱，可使获得的利润为最大？,第一节 整数规划问题的提出,3,1.整数规划的一般形式,解：设托运甲、乙两种货物x1，x2箱，用数学式可表示为：,xj部分或全部为整数,4,（1）求解方法方面,2.IP问题与LP问题的区别,在例1中， IP问题,实际上，此IP问。

4、第二章 整 数 规 划,1整数规划的基本概念 2分枝定界法解整数规划 3规划 4. 指派问题的解法,第一节 概 述,人们探讨某些线性规划问题，有时必须把全部或部分决策变量限制为整数。这样的线性规划问题，通常称为整数规划。作为线性规划的特殊情况，整数规划也有最小化和最大化之别。此外，整数规划还可以分成纯整数规划和混整数规划。二者的区别在于：前者的决策变量必定全部取整数。而后者的决策变量只是部分取整数。,例1 某医药公司现有两个制药厂A1和A2，三个销售店B1、B2 和 B3。公司打算由两个拟建的制药厂A3 和 A4 中选择一个，来兴建新。

5、,数学建模,14:03,第三部分 整数规划,应用实例分析整数规划问题的几种求解方法分枝界定法隐枚举法匈牙利法蒙特卡洛法实验准备,14:03,例1 整数规划问题,某厂拟购进甲、乙两类机床生产新产品。已知甲、乙机床进价分别为2万元和3万元；安装占地面积分别为4m2和2m2；投后的收益分别为300元/日和200元/日。厂方目前仅有资金14万元，安装面积18m2。,为使收益最大，厂方应购进甲、乙机床各多少台？,实例一 整数规划问题,设设应购进甲、乙机床台数分别为x1和x2，工厂的收益为z。,整数规划 (IP),1.模型建立,s . t .,实例一 整数规划问题,format shor。

6、实用运筹学运用Excel建模和求解,第6章整数规划,本章内容要点,整数规划的基本概念整数规划问题的建模与应用,本章节内容,6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点6.2 整数规划电子表格模型6.3 0-1整数规划6.4 整数规划应用举例,本章主要内容框架图,6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点,在许多实际问题中，决策变量必须为整数。例如当决策变量是分配的人数、购买的设备数、投入的车辆数、是否投资等时，它们一般必须为非负整数才有意义。在这种情况下，常需要应用整数规划进行优化。整数规划（Integer Programming，简称IP），是要求全部或部。

7、线性规划模型,第一节 线性规划模型,一、线性规划及其数学模型,1线性规划问题,在生产管理和经营活动中，经常提出一类问题，既如何合理地,利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效益。,问题拟定生产计划,问题提出 某公司生产炊事用具需要两种资源劳动力和原材,料，某公司计划生产三种不同产品，生产管理部门提供的数据如下：,每天可供应原材料为千克，每天可使用的劳动力为小,时，问如何安排生产计划，才能是公司总收益最大？,模型建立 设每天生产、三种产品的件数分别为,最大利润为,则该问题就是在条件,下，求利润,的最大。

8、大学数学实验,Experiments in Mathematics,整数规划 (Integer Programming),整数规划问题一般形式,整数线性规划(ILP) 目标和约束均为线性函数整数非线性规划(INLP) 目标或约束中存在非线性函数,纯(全)整数规划(PIP) 决策变量均为整数混合整数规划(MIP) 决策变量有整数，也有实数,0-1规划 决策变量只取0或1,若要求决策变量x的分量xi中至少有一个只取整数，则该模型称为整数规划。,取消整数规划中决策变量为整数的限制（松弛），对应的连续优化问题称为原问题的松弛问题,整数规划问题对应的松弛问题,下界（对Min问题） 上界（对Max问题）,基。

9、第四章 整数规划与分配问题,数学模型割平面法分枝定界法0-1整数规划分配问题,整数规划,Integer Linear Programming,简述,LP虽然用途广泛，但经常地，客观上要求 L.P.最优解中不能含有非整数值（如股票的购买之解答），整数规划就是专门用来求解这类问题的有效工具重点掌握：0-1 规划灵活应用、分枝定界法。,提出问题,某厂生产A1，A2两种品牌电视，用B1，B2两种原料，具体数据如下，求如何安排生产使利润最大,整数规划,数学模型,若所有 xj 的解为整数，称为纯整数规划pure integer linear programming若部分 xj 的解为整数，称为混合整数规。

10、第3节 割平面法割平面法是通过生成一系列的平面割掉非整数部分来得到最优整数解的方法。目前，割平面法有分数割平面法，原始割平面法，对偶整数割平面法，混合割平面法等。我们介绍Gomory割平面法（纯整数规划割平面法），它是由R.E.Gomory提出来的，现已是求解整数规划最主要的方法之一。,用例子说明割平面法基本思想。 例5-8 求下列问题： Max Z=2x1+ 3x2 s.t.2x1+4x2 25x1 8 2x2 10 x1,x2 0,且取整数值,化成标准问题 Max Z=2x1+ 3x2 s.t.2x1+4x2 + x3 =25x1 + x4 =8 2x2 + x5 =10xj 0,且取整数值,松驰问题(P) Max Z=2x1+ 3x2 s.t.2x1+4。

11、1,整数规划解法,(一)、整数规划的解：可行域为其相应线性规划问题的可行域的子集,例1、,LP:X=(4.8,0) maxZ=96 ILP:X=(4,1) maxZ=90,2,(1)、四舍五入法 可估近似解，例中X=(4,0), Z=80 80 Z* 96 0Z*- 8016,(2)、穷举法 当100个01变量，计算机，几亿年,3,分枝定界法割平面法隐枚举法,(二)、常用方法,4,(三)、分枝定界法,基本思路,(B)为(A)的松弛问题。,5,6,maxZ=40X1 + 90X2,例：,7,解：先解(1)的松弛问题,选X1分枝,8,选(2)继续分枝,9,10,分枝定界法一般步骤：,(1)、(A), 先解(A)的松弛问题(B),(2)、 (B)无可行解(A)无可行解。 (B)最优解符。

12、整数规划,作业讲解,工厂商品调拨(平衡运输问题) 数学模型 决策变量：每个工厂运往调拨站的货物数量目标函数：运费最小,约束条件: s.t.,工厂的运量和等于产量,非负约束,调拨站的运量和等于销量,不平衡运输问题 数学模型 决策变量：每个产地运往销售地的货物数量目标函数：运费最小,约束条件,产地的运量和等于产量,非负约束,销地的运量和小于等于销量,客户定销问题 数学模型,决策变量:每个工厂销售给客户的产品数量,目标函数:工厂的获利最大,约束条件：,工厂的出售货物数量等于产量,出售4000件给客户1,出售3000件给客户2,至少1000件给客户3,。

13、1,第五章 整数规划,1. 整数规划的数学模型 2. 指派问题 3. 0-1整数规划 4. 分支定界法 5. 割平面法,2,1.整数规划的数学模型,整数规划中不考虑整数条件对应的规划问题该整数规划的 松弛问题。,人们探讨某些线性规划问题，有时必须把全部或部分决策变量限制为整数。这样的线性规划问题，通常称为 整数规划。,3,1.1整数线性规划一般形式：,中部分或全部取整数,4,1.2 整数线性规划的几种类型,0-1型整数线性规划 纯整数线性规划 混合整数线性规划,5,例1：某医药公司现有两个制药厂A1和A2，三个销售点B1、B2 和 B3。由于供不应求，公司打算由两。

14、1,整数规划,1整数规划的图解法 2整数规划的计算机求解 3整数规划的应用 4整数规划的分枝定界法,2,整数规划,求整数解的线性规划问题，不是用四舍五入法或去尾法对线性规划的非整数解加以处理都能解决的，而要用整数规划的方法加以解决。在整数规划中，如果所有的变量都为非负整数，则称为纯整数规划问题；如果有一部分变量为负整数，则称之为混合整数规划问题。在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这样的变量我们称之为0-1变量。在纯整数规划和混合整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变量，则称之为0-1规划。,3,1整数规划的图解。

15、整数规划,整数规划的概念,全部或部分变量取整的线规称整数规划。 MAXZ=CX AX=b, X0 (X全部或部分取整),整数规划的分类,纯整数规划:全部变量取整 混合整数规划:部分变量取整 0-1型整数规划:部分或全部变量只能取0或1,整数规划举例,每件产品A1和A2需经过B1,B2,B3三道工序加工,资料如表。问如何生产利润最大。,Maxz=25X1+40X2 0.3X1+0.7X2250 0.2X1+0.1X2100 0.3X1+0.5X2150 X1,X2,取非负整数,纯整数规划,整数规划举例,某君有资金B。7个可行项目可选,项目i投资额Ci,纯收益Ri。附加条件:选项目1必选项目2,反之不一定.项目3,4至少选1个.项目5,6。

16、3.1 整数规划问题的提出 3.2 分枝定界法 3.3 0-1型整数规划 3.4 指派问题,整数规划,3.1 整数规划问题的提出,在求解线性规划问题时，得到的最优解可能是分数或小数，但许多实际问题要求得到的解为整数才行。这种要求线性规划有整数解的问题,称为整数规划(Integer Programming)或简称IP。,是不是可通过把不考虑整数要求求得的最优解经过“化整”得到满足整数要求的最优解呢？,它和线性规划问题的区别在于条件(5)。,此例可解得x1=4.8,x2=0，凑整为x1=5,x2=0，这就破坏了条件(2)，因而不是可行解；如截断小数变为x1=4,x2=0，这当然满足所有约。

17、整数规划（下）,纯整数规划：全部决策变量取整数值；混合整数规划：部分决策变量取整数值；0-1规划：决策变量取0或1。 等等,二、整数规划,2.3.2 整数规划求解方法（匈牙利法）,例： 有一份说明书，要分别译成英、日、德、俄四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因个人专长不同，他们完成翻译不同文字所需的时间如表所示。应如何分配，使四个人分别完成这四项任务总的时间为最小。,2.3.2 匈牙利法（用于求解指派问题）,2.3 整数规划求解方法,2.3.2 匈牙利法（用于求解指派问题）,2.3 整数规划求解方法,指派问题解（最优指派）：使得指。

18、生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小,整数线性规划及0-1规划,例1 原料下料问题,按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大,(钢管下料) 做100套钢架，用长为2.9m,2.1m,1.5m的元钢各一根，已知原料长为7.4m，问如何下料，所用最省？,问题分析：每一种下料方式用了多少根钢材，合理的下料方式是剩余料头的长度不能超过最短原料需求(1.5m)，可首先利用lingo搜索出全部的下料方式，然后从中筛选出符合条件的方式：,模型建立：设xi为按第i种方式下料的根数，i=1,8，建立如下模型：,x1,x8,说明：(1)目标函数。

19、整 数 规 划,整数规划,整数规划问题与模型 整数规划算法 计算软件 应用案例,运筹学课件,整数规划,整数规划问题,实例特点模型分类,运筹学课件,整数规划,应用案例,投资组合问题旅游售货员问题背包问题,整数规划,投资组合问题,背 景实 例模 型,整数规划,背景,证券投资：把一定的资金投入到合适的有价证券上以规避风险并获得最大的利润 项目投资：财团或银行把资金投入到若干项目中以获得中长期的收益最大。,整数规划,案例,某财团有 万元的资金，经出其考察选中 个投资项目，每个项目只能投资一个。其中第 个项目需投资金额为 万元，预计5年后。