1、整数规划,整数规划的概念,全部或部分变量取整的线规称整数规划。 MAXZ=CX AX=b, X0 (X全部或部分取整),整数规划的分类,纯整数规划:全部变量取整 混合整数规划:部分变量取整 0-1型整数规划:部分或全部变量只能取0或1,整数规划举例,每件产品A1和A2需经过B1,B2,B3三道工序加工,资料如表。问如何生产利润最大。,Maxz=25X1+40X2 0.3X1+0.7X2250 0.2X1+0.1X2100 0.3X1+0.5X2150 X1,X2,取非负整数,纯整数规划,整数规划举例,某君有资金B。7个可行项目可选,项目i投资额Ci,纯收益Ri。附加条件:选项目1必选项目2,反
2、之不一定.项目3,4至少选1个.项目5,6,7恰好选两个.如何投资纯收益最大。,引入决策变量Xi,MAXZ=RiXi,投资限制 CiXiB,附加条件,X1X2,X3+X41,X5+X6+X7=2,0-1型整数规划,整数规划举例,某厂原有A1,A2供应B1至B4物资,现要建A3,A4中的一个满足缺口。各地年需要量及单位运价如表。问应该建A3还是A4。,A3年运营成本1200 A4年运营成本1500,引入0-1决策变量y,X31+X32+X33+X34=200y X41+X42+X43+X44=200(1-y),X11+X12+X13+X14=400 X21+X22+X23+X24=600,X11
3、+X21+X31+X41=350 X12+X22+X32+X42=400,X13+X23+X33+X43=300 X14+X24+X34+X44=150,当y=1, X41,X42,X43,X44 都是零,A4消失。 当y=0, X31,X32,X33,X34 都是零,A3消失。,给出其他产销地平衡方程。,Minz=CijXij +1200y+1500(1-y),问目标函数中A3和A4的年运营成本如何加,混合整数规划,整数规划的松弛问题,在整数规划中，去掉整数要求，得到原整数规划的松弛问题。 松弛问题的最优解要优于原整数规划最优解。 原整数规划可行解必定也是松弛问题可行解，反之不成立。,求整数
4、规划的方法,直觉上，松弛问题的最优解，和整数规划的最优解应该离的不远。 那么求松弛问题最优解，并在附近寻找整数最优解是否可行呢？,这可以快速的找到满意解，但不一定能找到最优解。,看下面的实例,整数规划的实例,MAXZ=X1+ 4X2 -2X1+3X23X1+2X28 Xi取非负整数,松弛最优 (2.6,2.7),(2,2) (3,2) 可行,但均非最优,均不可行(2,3) (3,3),最优解(4,2)不在松弛最优解附近,最优解 (4,2),整数规划的实例,MAXZ=X1+ 4X2 -2X1+3X23X1+2X28 Xi取非负整数,先求整数规划的松弛最优解，然后或圆整或在附近找，未必能找到最优解
5、。只能保证快速找到满意解。如果要求不高，可以这样做。,整数规划的实例,MAXZ=X1+ 4X2 -2X1+3X23X1+2X28 Xi取非负整数,求整数规划的常用方法： 纯整数规划:割平面法 混合整数规划:分支定界法,遗憾的是它们的求解效率都不高，同时以上方法都要利用松弛问题的最优解。但并不是直接利用。,纯整数规划的割平面法,割平面法解题思路： 先求出松弛最优解，如图中点A。 再找到切割直线,既去掉松弛最优解，又保留所有整数解。 在新的可行域中重复，反复切割，直到求得整数最优解。,A,切割直线,割一次就去掉一块(但不去掉任何整数解),最后总可以使最优整数解露头，并最终通过求解松弛问题得到整数最
6、优解。如图,B,第一次切割后的松弛最优解B,第二次切割后的松弛最优解C,C,两次切割后点C露了出来。此时C既是松弛最优解，也是原问题的整数最优解。求解结束。,再次强调切割方程要满足的条件：既割掉松弛最优解，同时又不割掉任何一个整数解。,割平面法实例,Maxz=X1+X2-X1+X21X1+ Xi取非负整数,割平面法用于解纯整数规划,不论决策、松弛或剩余变量都必须满足整数要求。,约束的系数不全是整数，直接引入松弛变量无法保证松弛变量也满足整数要求。必须对约束圆整。,约束条件系数的圆整,对割平面法非常重要。,1/3,4/3,X2,割平面法实例,Maxz=X1+X2-X1+X21X1+ Xi取非负整
7、数,1/3,4/3,X2,圆整约束条件 不等式左右两侧乘3,3,4,割平面法实例,Maxz=X1+X2-X1+X2X1+ Xi取非负整数,X2,再引入松弛变量 标准化,3,4,1,=1,+X3,+X4,=,割平面法实例,Maxz=X1+X2 -X1+X2+X3=1 3X1+X2+X4=4 Xi取非负整数,完成圆整，标准化的准备工作开始求解 先去掉整数要求,求松弛最优解,割平面法实例,松弛最优解（3/4,7/4,0,0）,将第一行还原为方程有,Maxz=X1+X2 -X1+X2+X3=1 3X1+X2+X4=4 Xi取非负整数,非整数解。需添加切割线。,割平面法实例,Maxz=X1+X2 -X1
8、+X2+X3=1 3X1+X2+X4=4 Xi取非负整数,松弛最优解（3/4,7/4,0,0）,3/4= X1-1/4X3+1/4X4,3/4=X1+(-1+3/4)X3+1/4X4,把方程中所有系数拆成整数和真分数。,割平面法实例,Maxz=X1+X2 -X1+X2+X3=1 3X1+X2+X4=4 Xi取非负整数,松弛最优解（3/4,7/4,0,0）,移项将整数和分数分开 整系数居左,分数系数居右,X3-X1=-3/4+(3/4X3+1/4X4),3/4= X1-1/4X3+1/4X4,3/4=X1+(-1+3/4)X3+1/4X4,割平面法实例,Maxz=X1+X2 -X1+X2+X3=
9、1 3X1+X2+X4=4 Xi取非负整数,松弛最优解（3/4,7/4,0,0）,以上都是恒等变形，因此原问题任一整数可行解都应满足该等式。,X3-X1=-3/4+(3/4X3+1/4X4),割平面法实例,Maxz=X1+X2 -X1+X2+X3=1 3X1+X2+X4=4 Xi取非负整数,松弛最优解（3/4,7/4,0,0）,当各变量取任意非负整数时,等式左侧取值只可能为-2,-1,0,1,2,3等整数值,等式右侧自然也是整数。 经观察,等式右侧只可能取0,1,2等非负整数。,X3-X1=-3/4+(3/4X3+1/4X4),割平面法实例,Maxz=X1+X2 -X1+X2+X3=1 3X1
10、+X2+X4=4 Xi取非负整数,松弛最优解（3/4,7/4,0,0）,因为等式右侧只能取0,1,2等非负整数，必有：,(3/4X3+1/4X4),或,X3-X1=-3/4+(3/4X3+1/4X4),3/4,0,-,+,割平面法实例,Maxz=X1+X2 -X1+X2+X3=1 3X1+X2+X4=4 Xi取非负整数,松弛最优解（3/4,7/4,0,0）,X3-X1=-3/4+(3/4X3+1/4X4),因为等式右侧只能取0,1,2等非负整数，必有：,或,3/4(3/4X3+1/4X4),割平面法实例,Maxz=X1+X2 -X1+X2+X3=1 3X1+X2+X4=4 Xi取非负整数,松弛
11、最优解（3/4,7/4,0,0）,这就是我们要找的割平面方程,X3-X1=-3/4+(3/4X3+1/4X4),或,3/4(3/4X3+1/4X4),因为两边的差必为整数，因此所加松弛变量也必为整数。,割平面方程可不必圆整,割平面法实例,Maxz=X1+X2 -X1+X2+X3=1 3X1+X2+X4=4 Xi取非负整数,松弛最优解（3/4,7/4,0,0）,割平面方程 满足两个性质,它割掉了松弛最优解,松弛最优解不满足它。 它没割掉任何整数解。因为我们就是让各变量取任意非负整数解，才得到割平面方程的。,3/4(3/4X3+1/4X4),割平面法实例,Maxz=X1+X2 -X1+X2+X3=
12、1 3X1+X2+X4=4 Xi取非负整数,3/4(3/4X3+1/4X4),添加割线的步骤归纳如下,针对X1行添加割线,要拆出X1行各系数的真分数。,可得其割线方程,如表所示,0 0,即为红字所示割线方程。,添加割线的练习,最优解非整数解，针对第一行添加割线,拆出真分数系数,得到割线方程,0 5/6X3+2/3X4,这毫无意义，因此割线方程只针对非整数解所在行添加。,添加割线的练习,针对第二行添加割线,拆出真分数系数,得到割线方程,1/2 1/3X3+2/3X4,添加割线的练习,当有多个非整数解时,可针对任意行添加割线。但通常选取常数项b的真分数最大者。,第1,2,3行小b拆出的真分数分别为
13、6/7,2/7,3/7 因此应针对第一行添加割线。,6/7 1/7X3+2/7X5,回到割平面法实例,割平面法实例,Maxz=X1+X2 -X1+X2+X3=1 3X1+X2+X4=4 Xi取非负整数,现在对原最优表添加约束条件:割平面方程 因为原表已经最优，因此考虑用对偶单纯形法。,3/4X3+1/4X4 3/4,割平面法实例,Maxz=X1+X2 -X1+X2+X3=1 3X1+X2+X4=4 Xi取非负整数,3/4X3+1/4X4 3/4,先将割线的，变为,-3/4X3-1/4X4- 3/4,加松弛变量标准化,-3/4X3-1/4X4+X5=- 3/4,将割线加入原最优表,割平面法实例,
14、Maxz=X1+X2 -X1+X2+X3=1 3X1+X2+X4=4 Xi取非负整数,-3/4X3-1/4X4+X5- 3/4,割平面法实例,Maxz=X1+X2 -X1+X2+X3=1 3X1+X2+X4=4 Xi取非负整数,-3/4X3-1/4X4+X5- 3/4,割平面法经常遇到收敛速度很慢的情况，因此一般不单独使用。而是和下边要介绍的分支定界法结合使用。,分支定界法:基本思想,分支定界法同样需要借助求解松弛最优解来求出整数最优解。 求解松弛最优解，对不满足整数要求的解，给出分支问题。 求解分支问题松弛最优解。 重复1、2，直到给出整数最优解。 在此过程中对没用的分支问题要剪枝。,分支定
15、界法实例,Maxz=40X1+90X2 9X1+7X256 7X1+ 20 X2 70 Xi取非负整数,松弛最优解(4.81,1.82), z*=356,分支定界法实例,Maxz=40X1+90X2 9X1+7X256 7X1+ 20 X2 70 Xi取非负整数,松弛最优解(4.81,1.82), z*=356,松弛最优解不满足整数要求,选任一非整分量分支。,分支定界法实例,Maxz=40X1+90X2 9X1+7X256 7X1+ 20 X2 70 Xi取非负整数,松弛最优解(4.81,1.82), z*=356,选X1=4.81分支为X14,X15两个子问题。,Maxz=40X1+90X2
16、 9X1+7X256 7X1+ 20 X2 70 X14 Xi取非负整数,Maxz=40X1+90X2 9X1+7X256 7X1+ 20 X2 70 X15 Xi取非负整数,X14,X15,0-1型整数规划,引入0-1型决策变量的目的：选择。 常见的选择问题： 投资项目的选择 约束条件的选择,投资项目的选择,某君有资金B。7个可行项目可选,项目i投资额Ci,纯收益Ri。规定:项目1、2、3至多选2个项目4、5至少选1个.6,7至少选1个.问如何投资纯收益最大。,引入决策变量Xi,MAXZ=RiXi,投资限制 CiXiB,规定,X1+X2+X32,X4+X51,X6+X71,纯收益最大,约束条
17、件的选择,对2个型约束条件2选1,则要引入0-1型变量，选择性放大右端项。举例如下,对型约束条件，若要其不起作用，可放大其右端项。举例如下：,5X1+4X224,+M,若要上边约束条件不起作用,可放大其右端项。,5X1+4X224 7X1+3X245,再引入0-1型决策变量选择性放大右端项,+M,+M,首先引入大M放大右端项,y,(1-y),约束条件的选择,对2个型约束条件2选1,则要引入0-1型变量，选择性放大右端项。举例如下,5X1+4X224 7X1+3X245,+M,+M,y,(1-y),对m个型约束条件m选n(mn),也需引入0-1型变量。以3选2为例说明如下：,5X1+4X224
18、7X1+3X245 3X1+4X230,首先引入大M 放大右端项,+M,+M,+M,约束条件的选择,对2个型约束条件2选1,则要引入0-1型变量，选择性放大右端项。举例如下,5X1+4X224 7X1+3X245,+M,+M,y,(1-y),对m个型约束条件m选n(mn),也需引入0-1型变量。以3选2为例说明如下：,5X1+4X224 7X1+3X245 3X1+4X230,+M,+M,+M,再引入0-1型变量 选择性放大,y1,y2,y3,yi=0或1,约束条件的选择,对2个型约束条件2选1,则要引入0-1型变量，选择性放大右端项。举例如下,5X1+4X224 7X1+3X245,+M,+
19、M,y,(1-y),对m个型约束条件m选n(mn),也需引入0-1型变量。以3选2为例说明如下：,5X1+4X224 7X1+3X245 3X1+4X230,+M,+M,+M,y1,y2,y3,显然哪个约束条件的yi取值为0，哪个约束条件就成为有效条件,约束条件的选择,对2个型约束条件2选1,则要引入0-1型变量，选择性放大右端项。举例如下,5X1+4X224 7X1+3X245,+M,+M,y,(1-y),对m个型约束条件m选n(mn),也需引入0-1型变量。以3选2为例说明如下：,5X1+4X224 7X1+3X245 3X1+4X230,+M,+M,+M,y1,y2,y3,3选2,则需两
20、个yi取0,一个yi取1。于是有,约束条件的选择,对2个型约束条件2选1,则要引入0-1型变量，选择性放大右端项。举例如下,5X1+4X224 7X1+3X245,+M,+M,y,(1-y),对m个型约束条件m选n(mn),也需引入0-1型变量。以3选2为例说明如下：,5X1+4X224 7X1+3X245 3X1+4X230,+M,+M,+M,y1,y2,y3,y1+ y2+ y3=1=3-2,yi=0或1,显然若要m选n则有,约束条件的选择,对2个型约束条件2选1,则要引入0-1型变量，选择性放大右端项。举例如下,5X1+4X224 7X1+3X245,+M,+M,y,(1-y),对m个型
21、约束条件m选n(mn),也需引入0-1型变量。以3选2为例说明如下：,5X1+4X224 7X1+3X245 3X1+4X230,+M,+M,+M,y1,y2,ym,y1+ y2+ ym=m-n,yi=0或1,显然若要m选n则有,生产方式的选择,某产品有3种生产方式，每种方式的总成本均由固定成本和可变成本构成。即 Ci=Cfi+Cvi*Xi(i=1,2,3) 其中Xi为采用第i种方式生产时的产量。 设决策变量为X=(X1，X2，X3) 约束条件为AX=b,问如何选择生产方式可使总成本最低。,生产方式的选择,Minz=y1(Cf1+Cv1X1)+y2(Cf2+Cv2X2)+y3(Cf3+Cv3X
22、3),引入0-1变量,生产成本最低,AX=b,可行么？,X=(X1，X2，X3) ，Xi为第i种方式的产量 Ci=Cfi+Cvi*Xi(i=1,2,3)，约束条件AX=b选择生产方式使总成本最低。,生产方式的选择,Minz=y1(Cf1+Cv1X1)+y2(Cf2+Cv2X2)+y3(Cf3+Cv3X3),引入0-1变量,生产成本最低,AX=b,首先这不是线性规划,X=(X1，X2，X3) ，Xi为第i种方式的产量 Ci=Cfi+Cvi*Xi(i=1,2,3)，约束条件AX=b选择生产方式使总成本最低。,生产方式的选择,Minz=y1(Cf1+Cv1X1)+y2(Cf2+Cv2X2)+y3(C
23、f3+Cv3X3),引入0-1变量,生产成本最低,AX=b,其次没有建立yi和xi之间的联系。yi不论取0或1，对Xi均无影响。,X=(X1，X2，X3) ，Xi为第i种方式的产量 Ci=Cfi+Cvi*Xi(i=1,2,3)，约束条件AX=b选择生产方式使总成本最低。,生产方式的选择,Minz=y1(Cf1+Cv1X1)+y2(Cf2+Cv2X2)+y3(Cf3+Cv3X3),引入0-1变量,生产成本最低,AX=b,仍需引入0-1变量，但需改造目标函数，并建立yi和Xi的联系。,X=(X1，X2，X3) ，Xi为第i种方式的产量 Ci=Cfi+Cvi*Xi(i=1,2,3)，约束条件AX=b
24、选择生产方式使总成本最低。,生产方式的选择,首先改造目标函数，使之成为线性函数。,X=(X1，X2，X3) ，Xi为第i种方式的产量 Ci=Cfi+Cvi*Xi(i=1,2,3)，约束条件AX=b选择生产方式使总成本最低。,生产方式的选择,X1y1M ， X2y2M ，X3y3M,其次建立yi和xi之间的联系，这需要引入3个约束条件，会是什么？,亦即,选择了某种生产方式,才允许它有产量。,X=(X1，X2，X3) ，Xi为第i种方式的产量 Ci=Cfi+Cvi*Xi(i=1,2,3)，约束条件AX=b选择生产方式使总成本最低。,0-1变量技巧归纳,共生关系:A=B。A和B同时存在(不存在)。
25、依存关系:AB。有A才能考虑B。或有B必有A,反之不然。或B依存于A。 型约束条件m选n： 各约束条件右端项“+yiM” yi=m-n,生产方式选择实例,首先要选择生产什么产品，才能计入相关固定成本。为此需引入0-1变量。同时注意到产品的选择和其产量间有依存关系。,用三种资源ABC生产三种产品 ,每种产品的单位资源消耗，资源总量，单位可变成本CV,固定成本CF,及单价如表所示。 如何生产利润最大？,i=1,2,3,Xi：产品i产量,利润最大,MAXZ=4X1+5X2+6X3-100y1-150y2-200y3,依存关系,X1y1M X2y2M X3y3M,资源约束,2X1+4X2+8X3500
26、 2X1+3X2+4X3300X1+2X2+3X3100,0-1型整数规划的隐枚举法,Maxz=3X1-2X2+5X3 X1+2X2-X3 2 X1+4X2+X34 X1+ X2 3 4X1 +X36 Xi取0或1,0,0,0,0,0,这些解每两个1组,需分别计算它们的Z值和约束条件取值。以判断是否可行，以及优劣。,5,-1,1,0,1,-2,3,3,8,0,2,1,5,1,6,Maxz=3X1-2X2+5X3 X1+2X2-X3 2 X1+4X2+X34 X1+ X2 3 4X1 +X36 Xi取0或1,0,0,0,0,0,显然最后一个可行解即为最优解 （1,0,1）,5,-1,1,0,1,
27、-2,3,3,8,0,2,1,5,1,6,Maxz=3X1-2X2+5X3 X1+2X2-X3 2 X1+4X2+X34 X1+ X2 3 4X1 +X36 Xi取0或1,0,0,0,0,0,通常对MAX问题可对Xi按系数从小到大排序，对MIN问题则从大到小排序，可加速求解过程,5,-1,1,0,1,-2,3,3,8,0,2,1,5,1,6,Maxz=3X1-2X2+5X3 X1+2X2-X3 2 X1+4X2+X34 X1+ X2 3 4X1 +X36 Xi取0或1,0,0,0,0,0,对Xi按系数从小到大重新排序有,5,-1,1,0,1,-2,3,3,8,0,2,1,5,1,6,Maxz=
28、-2X2+3X1+5X3 2X2+X1-X3 2 4X2+X1+X34X2 +X1 34X1+X36 Xi取0或1,0,0,0,0,0,5,-1,1,0,1,3,8,-2,3,0,2,1,5,1,6,可见最优解为 (X2,X1,X3)=(0,1,1) 亦即 (X1,X2,X3)=(1,0,1),最优解确实被更快的找到,指派问题：实例,由甲,乙,丙,丁4人完成4项任务A,B,C,D。每人耗时如表所示。若限定1人1事，1事1人。问如何分配可使总用时最少。,指派问题：实例,表中数字若为费用，则为如何指派任务使总费用最少。,问题给出了费用矩阵,欲使总费用最少,这可以看作是运输问题。,指派问题：实例,1
29、人1事,1事1人。 每人只能做1件事,因此每人产量可理解为1。 每事只需1个人,因此每件事情的需求量也是1。,1 1 1 1,1 1 1 1,下面给出实例的规划模型。,可更直观说明为何可看做运输问题。,实例模型,其次引入0-1变量,1 1 1 1,1 1 1 1,首先定义表中数字为Cij：i人做j事的时间(费用)。,例如X12=1，X13=0,1 1 1 1,1 1 1 1,Cij:i人做j事的时间(费用),1人1事 X11+X12+X13+X14=1 X21+X22+X23+X24=1 X31+X32+X33+X34=1 X41+X42+X43+X44=1,总耗时最小,1事1人 X11+X2
30、1+X31+X41=1 X12+X22+X32+X42=1 X13+X23+X33+X43=1 X14+X24+X34+X44=1,MINZ=CijXij,总费用最小,产地条件,销地条件,典型运输问题,指派问题的一般提法,指派m人做m件事，1人1事，1事1人。人事一一对应。使总耗时(费用)最小。 这是一类特殊的运输问题。可用表上作业法求解。 作为运输问题的特例，所有运输问题具备的特性，指派问题也都具备。 指派问题有更简便的求法:匈牙利法。,指派问题的一个特例,显然最优解是 甲-A 乙-B 丙-C 丁-E,指派问题的一个特例,表中0的特点 每行一个0，对应每人只完成1项任务。 每列一个0，对应每
31、个任务只由1人完成。,我们称符合以上特点的零，为独立的零：每行每列，有且仅有1个0。,指派问题的一个特例,表中0的特点 每行一个0，对应每人只完成1项任务。 每列一个0，对应每个任务只由1人完成。,求解指派问题的核心就是设法人为造出，并找到一组独立的零。,独立零的例子,11,0,还是独立零么？,求解指派问题的方法,回顾运输问题的特性： 单位运价表任一行(列)，加减任一常数，最优解不变。 作为运输问题的特例，指派问题也具备同样的性质。 求解指派问题的方法：对各行，各列加减适当的常数，造出独立的零。,造独立零的基本步骤,减去每行最小元素，使每行都有零。 减去每列最小元素，使每列都有零。 找出其中独
32、立的零： 在行里找单独的零，同时划掉同列的零 在列里找单独的零，同时划掉同行的零,这是因为从行来看，1人只能完成1项任务从列来看，1项任务只能由1人完成,这要求我们只保留单独的零，亦即在每行以及每列，只保留1个0。,求解实例:造独立零,2 15 13 4 10 4 14 159 14 16 137 8 11 9,首先在每行减去最小元素，使每行都有零元素。,-2 -4 -9 -7,求解实例:造独立零,2 15 13 4 10 4 14 159 14 16 137 8 11 9,然后在每列减去最小元素，使每列都有零元素。,-2 -4 -9 -7,0 13 11 26 0 10 110 5 7 40
33、 1 4 2,-4 -2,求解实例:造独立零,然后在每列减去最小元素，使每列都有零元素。,-4 -2,求解实例:造独立零,在行列都造出0之后，开始找独立的0,-4 -2,求解实例:造独立零,先在行里找独立0，同时划掉同列0； 再在列里找独立0，同时划掉同行0。,-4 -2,求解实例:造独立零,已经得到最优解，问题求解结束。,-4 -2,求解实例:造独立零,但通常求解过程不这么顺利，见下例。,-4 -2,求解实例2,首先还是减去每行最小元素，使每行都有零元素。,-7 -6 -7 -6 -4,求解实例2,然后在各列减最小元素，以使各列出现零元素。现在该步可省。进行下一步，找独立零。,-7 -6 -
34、7 -6 -4,求解实例2,-7 -6 -7 -6 -4,找独立零的顺序： 先在行里找独立零，划掉同列零。 再在列里找独立零，划掉同行零。,求解实例2,-7 -6 -7 -6 -4,此时独立零的个数不足5个，转用匈牙利法增加独立零的个数。,求解实例2,-7 -6 -7 -6 -4,P127倒数第7行,匈牙利法的独立零元素定理:系数矩阵中独立零的最多个数等于能覆盖所有零元素的最少直线数。,求解实例2,下一步要用最少直线覆盖所有零元素,方法如下: 对无 行打 对行所有 列打 对列所有 行打 重复 ,到不能打 对无行,和列用直线覆盖。,求解实例2,下一步在未被覆盖元素中设法增加新的独立零元素： 找未
35、覆盖的最小元素 在行减该元素 在列加该元素,求解实例2,下一步在未被覆盖元素中设法增加新的独立零元素： 找未覆盖的最小元素 在行减该元素 在列加该元素,-2,+2,-2,在第三行“-2”,可增加0元素，但为保住第三行已有0元素,需在第一列“+2”。同理为保住第五行0元素，需对第5行“-2”。,求解实例2,下一步在未被覆盖元素中设法增加新的独立零元素： 找未覆盖的最小元素 在行减该元素 在列加该元素,-2,+2,-2,其结果就是在所有行“-2”，列“+2”。,求解实例2,-2,+2,-2,迭代时先给出变动部分，再给出未变动部分，不易混乱。,求解实例2,-2,+2,-2,先给出“-2”行，,求解实
36、例2,-2,+2,-2,先给出“-2”行，,再给出“+2”列,求解实例2,-2,+2,-2,先给出“-2”行，,最后给出未变动部分。,再给出“+2”列,求解实例2,-2,+2,-2,先给出“-2”行，,最后给出未变动部分。,再给出“+2”列,求解实例2,-2,+2,-2,对新矩阵再次找独立零元素。,最后剩下4个对称0,于是最优解有两组。,求解实例2,对新矩阵再次找独立零元素。,最后剩下4个对称0,于是最优解有两组。,匈牙利法的口诀,当遇到独立零少于行(列)数的情况，则需转入匈牙利法，其中最麻烦的就是打，划直线的过程。,这个过程的口诀是：来到全串行，一口肉串一口饼。最后撑死不会吃的行家。,下面结
37、合实例2说明口诀。,回顾实例2,对无 行打 对行所有 列打 对列所有 行打 重复 ,到不能打 对无的行,和列用直线覆盖。,来到全串行(无 行),一口肉串 ，,一口饼 ，,最后撑死不会吃的行家。划掉无的行。,补充P128(4),指派问题的进一步讨论,原问题为求最大值的问题。 类似运输问题，可用MAXCij-Cij处理 一个人可以完成多项任务 类似分身术,需将此人分成若干相同的人。 任务数和人数不等 类似运输问题，添加虚拟的人或任务，单位运价定为0。 某人不能做某事：将单位运价定为M。,应用举例,现有三个工程队完成5个工程，每个工程队可承建2个工程。表中数字为各工程队承建工程的纯利润。问如何分配可
38、使总获利最大。,应用举例,首先将该问题转化为最小值问题。用MAXCij-Cij =17-Cij 来处理系数矩阵。,应用举例,首先将该问题转化为最小值问题。用MAXCij-Cij =17-Cij 来处理系数矩阵。,应用举例,再将每个工程队分成两个相同的队。,应用举例,再将每个工程队分成两个相同的队。,由于人多任务少,因此需添加假任务,单位运价定为0。,应用举例,再将每个工程队分成两个相同的队。,由于人多任务少,因此需添加假任务,单位运价定为0。,应用举例,至此转化结束,若甲此时因故不能承建工程A,则需将相应系数设为M。在表中为13。,应用举例,至此转化结束,若甲此时因故不能承建工程A,则需将相应系数设为M。在表中为13。,
