张禾瑞高等代数第五章课件

1、 4 正定二次型,数学与计算科学学院,、正定二次型,则称f 为正定二次型.,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,2、正定性的判定,1）实二次型 正定,2）设实二次型,f 正定,证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取,则,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,经过非退化线性替换 XCY 化成,则，,3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.,任取一组不全为零的数 令,证明：设正定二次型,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.,同理，若 正定，则 正定.,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,秩 n （ 的正惯性指数）.,变成标准形,由2), 正定,即， 的正惯性指数pn秩 .,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,规范形为,5）正定二次型 的标准形为,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,。

2、167;5.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,解析几何中,选择适当角度,逆时针旋转坐标轴,(标准方程),中心与坐标原点重合的有心二次曲线,问题的引入:,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,代数观点下,作适当的非退化线性替换,只含平方项的多项式,二次齐次多项式,(标准形),2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,一、n元二次型,1、定义：设P为数域，,称为数域P上的一个n元二次型,n个文字 的二次齐次多项式,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,注意,2) 式 也可写成,1) 为了计算和讨论的方便,式中 的系数,写成,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,1） 约定中aij=aji，ij ，由 xixjxjxi，有,2、二次型的矩阵表示,2018/10/185.1 二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,则矩阵A称为二次型 的矩阵.,2018/1。

3、学院,二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型,它的矩阵是对角阵,平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？,任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成,?,2019/7/155.2 标准形,数学与计算科学学院,证明：,对二次型变量个数n作归纳法.,假定对n1元二次型结论成立.,一、二次型的标准形,过非退化线性替换化成平方和的形式.,1、（定理1）数域P上任一二次型都可经,下面考虑n元二次型,2019/7/155.2 标准形,数学与计算科学学院,2019/7/155.2 标准形,数学与计算科学学院,这里，,配方法,2019/7/155.2 标准形,数学与计算科学学院,它是非退化的，,且使,2019/7/155.2 标准形,数学与计算科学学院,使它变成平方和,于是，非退化线性替换,由归纳假设，对 有非退化线性替换,2019/7/155.2 标准形,数学与计算科学学院,就使 变成,2019/7/155.2 标准形,数学与计算科学学院,不为零.,由情。

4、及算法 课外学习5：代数元的多项式的共轭因子,惠州学院数学系,代数是搞清楚世界上数量关系的工具。
怀特黑德（19611947）当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。
- -柯普宁(前苏联哲学家)快乐地学习数学，优雅地欣赏数学。
匿名者,惠州学院数学系,2.1 一元多项式的定义和运算,一、内容分布,2.1.4 多项式的运算,二、教学目的,掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质.,三、重点、难点,一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。
,2.1.1 认识多项式,2.1.2 相等多项式,2.1.3 多项式的次数,2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则,2.1.6 多项式的运算性质,惠州学院数学系,2.1.1 认识多项式,多项式,令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式,2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那么这个系数可以省略不写。
,惠州学院数学系,2.1.2 相等多项式,定义,若是数环R上两个一元多项式 , f。

5、s,1777-1855）数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。
-麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879),惠州学院数学系,1.1 集合,内容分布 1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质 教学目的 掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法 重点、难点 集合概念、证明集合相等,惠州学院数学系,1.1.1 集合的描述性定义,表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西叫这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，表示元素. 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 ；或者说A包含a，记作Aa 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 ；或者说A不包含a，记作,例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4A， 而 .,惠州学院数学系,一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合. 如，前十个正整数的。

6、s,1777-1855）数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。
-麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879),惠州学院数学系,1.1 集合,内容分布 1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质 教学目的 掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法 重点、难点 集合概念、证明集合相等,惠州学院数学系,1.1.1 集合的描述性定义,表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西叫这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，表示元素. 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 ；或者说A包含a，记作Aa 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 ；或者说A不包含a，记作,例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4A， 而 .,惠州学院数学系,一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合. 如，前十个正整数的。

7、3 线性方程组有解的判别 2.教学目的: 会用消元法解线性方程组 3.重点难点: 线性方程组的消元解法,惠州学院数学系,前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性方程组：,在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法.,（1）,惠州学院数学系,例1 解线性方程组：,从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2倍，来消去这两个方程中的未知量,（2）,惠州学院数学系,得到：,为了计算的方便，把第一个方程乘以 -2 后，与第二 个方程交换，得：,惠州学院数学系,现在很容易求出方程组（2）的解. 从第一个方程 减去第三个方程的3倍，再从第二个方程减去第三 个方程，得,再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得：,这样我们就求出方程组的解.,惠州学院数学系,交换两个方程的位置； 用一个不等于零的数某一个方程； 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.,4.1.1 线性方程组的初等变换,线性方程的初等变换： 对方程组施行下面三种变换：,这三种变换叫作线性方程组的初等变换.,定理4.1.1 初等。

8、的乘法运算法则及其基本性质，并能熟练地对矩阵进行运算。
掌握转置矩阵及其运算性质。
掌握方阵的幂、方阵的多项式。
,三、重点、难点,矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。
,5.1.1 认识矩阵,矩阵的产生有丰富的背景: 线形方程组的系数矩阵, 矩阵的应用非常广泛.,设F是数域, 用F的元素 排成的m行n列的数表,5.1.2 矩阵的运算,定义1 (矩阵的数乘) 给定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为,A和B加法定义为:,A和B的乘法定义为,注意: 相加的两个矩阵必须同型, 结果也同型; 相乘的两个矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数, 试问: 结果的形状?,5.1.3 矩阵的运算性质,矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A，B，C 均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数）,(1) 加法交换律,(2) 加法结合律,(3) 零矩阵,(4) 负矩阵,(5) 数乘结合律,(6) 数乘分配律,(7) 乘法结合律,(8) 乘法分配律,注意: 矩阵的乘法不满足交换律,5.1.4 方阵的多项式,。