1、2018/10/8,数学与计算科学学院,第五章 二次型,5.1 二次型的矩阵表示,5.2 标准形,5.3 唯一性,5.4 正定二次型,章小结与习题,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,一、正定二次型,二、正定矩阵,三、n元实二次型的分类,5.4 正定二次型,四、小结,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,、正定二次型,则称f 为正定二次型.,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,2、正定性的判定,1）实二次型 正定,2）设实二次型,f 正定,证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取,则,2018/10/85. 4 正定二
2、次型,数学与计算科学学院,经过非退化线性替换 XCY 化成,则，,3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.,任取一组不全为零的数 令,证明：设正定二次型,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.,同理，若 正定，则 正定.,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,秩 n （ 的正惯性指数）.,变成标准形,由2), 正定,即， 的正惯性指数pn秩 .,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,规范形为,5）正定二次型 的标准形为,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,二、正定
3、矩阵,1、定义 设A为实对称矩阵，若二次型,正定二次型的规范形为,是正定的，则称A为正定矩阵.,2、正定矩阵的判定,2) 实对称矩阵A正定,1）实对称矩阵A正定 A与单位矩阵E合同.,A与E合同,即存在可逆矩阵C，使,可见，正定矩阵是可逆矩阵.,存在可逆矩阵C，使,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,3）实对称矩阵A正定 A与任一正对角矩阵合同.,即，D与E合同.,为任一正对角矩阵，则,若,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,例1、设 A 为 n 阶正定矩阵，证明,（5）若 B 亦是正定矩阵，则 AB 也是正定矩阵；,（2） 是正定矩阵；,（1）
4、 是正定矩阵；,（3） 是正定矩阵；,（4） 是正定矩阵（m为任意整数）；,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,证：,（1）由于 A 正定，则存在可逆矩阵 P，使,于是有，,故， 正定.,（2）由于A 正定，对 都有,因此有,令,故， 正定.,即， 与单位矩阵E合同.,则Q可逆，且,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,，由（1）（2）即得 正定.,当 m2k 时，,即， 与单位矩阵E合同，所以 正定.,（4）由于 A 正定，知 为 n 阶可逆对称矩阵 ，,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,（5）由于A、B正定，对 都有,
5、因此有,故，AB 正定.,当 m2k1 时，,即， 与正定矩阵A合同，而 A与单位矩阵E合同，,所以 与E合同，即 正定.,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,3、正定矩阵的必要条件,1）实对称矩阵 正定,取,正定.,证：若A正定 ，则二次型,则,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,反之不然. 即， 为对称矩阵，且,但A未必正定. 如,所以A不是正定的.,注意,当 时，有,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,2) 实对称矩阵A正定,但 不是正定二次型.,如,注意,证：若A正定，则存在可逆矩阵C ，使,从而,反之不然. 即实
6、对称矩阵A，且 A未必正定.,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,4、顺序主子式、主子式 、,称为A为第k阶顺序主子矩阵;,设矩阵,称为A的第k阶顺序主子式.,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,3） k 级行列式,称为A的一个k 阶主子式.,即行指标与列指标相同的k阶子式,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,5、（定理6）,A的顺序主子式 Pk 全大于零.,证:必要性.设 正定，对每一个k,令,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,是正定的，从而 正定.,对任意一不全为零的数 有,充分性： 对n作数
7、学归纳法.,n1时， 正定. 结论成立.,假设对于n1元二次型结论成立，下证n元的情形.,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,又A的顺序主子式全大于零，所以A1的顺序主子式,由归纳假设，A1正定，即存在可逆矩阵G，使,令,则,也全大于零.,设,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,则,令,再令,则,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,由判定充要条件3). 知A正定，所以 正定.,再令,则有,两边取行列式，得,又 0 ，,即 为正对角矩阵.,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,例2、判定下面二次型是否正
8、定.,其顺序主子式,正定.,解： 的矩阵,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,解： 的矩阵,A的第k阶顺序主子式Pk,（习题7）,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,正定.,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,例3、证明：若实对称矩阵A正定 ，则A的任意一个,k 阶主子式,证：作二次型,（习题9）,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,其中，,对任意一不全为零的数 , 有,从而，,由于 A 正定，有 正定，即有,行列式大于零，即,即， 是正定二次型，因此其矩阵的,2018/10/85. 4 正定二次型
9、,数学与计算科学学院,三、n元实二次型的分类,设n元二次型, ，则 称为半正定二次型., ，则 称为半负定二次型., 则 称为负定二次型.,既不是半正定，也不是半负定，则 称为,1定义,不定二次型.,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,注：,正定矩阵 负定矩阵 半正定矩阵 半负定矩阵 不定矩阵,相应于二次型的分类，n 级实对称矩阵可分类为：,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,1）实二次型 正定,负定；,实对称矩阵A正定 A负定.,半负定；,2）实二次型 半正定,实对称矩阵A半正定 A半负定.,2、判定,2018/10/85. 4 正定二次型,数
10、学与计算科学学院,3） 定 理 7, 半正定 ；,( 或 A半正定； ), 秩 = 秩(A) = （正惯性指数）；, A合同于非负对角阵，即存在可逆阵C，使,则下列有条件等价：, 存在 ，使, A的所有主子式皆大于或等于零.（补充题9）,由此可得， A半正定,（习题14）,设n元实二次型,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,四、小结,1、正定（负定、半正定、半负定、不定）二 次型；,基本概念,2、顺序主子式、主子式,正定（负定、半正定、半负定、不定）矩阵；,基本结论,1、非退化线性替换保持实二次型的正定（负定、,半正定、半负定、不定）性不变.,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,负定（半负定）.,2、实二次型 正定（半正定）,3、实二次型 f (x1,x2,xn)XAX 正定,A 与 E 合同，即存在可逆阵C，使ACC .,f 的正惯性指数 p 等于 n,A 的各级顺序主子式全大于零.,实对称矩阵 A 半正定,4、实对称矩阵 A 正定,2018/10/85. 4 正定二次型,数学与计算科学学院,存在 ，使,5、实二次型 f (x1,x2,xn)XAX 半正定,A 与非负对角阵合同，即存在可逆矩阵C，使,秩 f =秩(A)= p（正惯性指数）,A 的所有主子式全大于或等于零.,
