有限元的力学基础第二章

1、2-1 弹性力学的基本方程,一、线弹性静力分析问题的假设 二、基本方程 三、利用虚功原理建立有限元方程,一、线弹性静力分析问题的假设 1 位移梯度是小量，因此应变与位移之间的关系是线性的； 2 物体始终保持为弹性状态，应力与应变之间的关系是线性的； 3 边界条件中不包含接触边界条件。
,二、基本方程 1、应力平衡方程根据静力学平衡条件导出应力分量之间的关系式,在静载荷作用下的物体，是在变形态构形上达到 平衡的，此时物体中任一点和任一部分都应处于 平衡状态。
推导过程请参考金属塑性成形过程模拟 李尚健主编 机械工业出版社 P21,为单位体积的材料上作用的体积力,2、几何方程（应变与位移的关系式)根据变形体的连续性和均匀性，导出应变与位移之间的关系式,3、本构方程 根据实验与假设导出应变与应力分量之间的关系式，也叫物理方程,为弹性张量,本构关系反映物质宏观性质的数学模型，又称本构方程。
最熟知的本构关系有胡克定律、牛顿粘性定律、理想气体状态方程、热传导方程等。
对于弹性体来说，材料的本构关系，即应力应变关系，是通过弹性张量来建立的，也就通常所说的广义虎克定律。
,。

2、元分析的结果对结构物进行整体分析，求得结构物的某些参数。
,在所有结构中，杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常见的一类结构。
如平面桁架、平面刚架、连续梁、空间刚架、空间桁架等都属于此类结构，以此类结构为基础介绍有限单元法的分析过程。
,首先了解一下有限单元法分析问题的基本步骤。
,第一步：对结构物进行离散化，划分为有限个单元,弯曲杆件系统 截面连续变化的杆件系统 以直代曲 若干微小的等截面杆单元,第二步：对各结点和单元进行编码,单元划分示意图,第三步：建立整体坐标系和各单元的局部坐标系,整体坐标系和各单元的局部坐标系,第四步：对已知参数进行准备和整理,对于各单元，需要准备的数据包括： 单元截面积:,单元长度:,单元弹性模量:,单元剪切模量:,单元惯性矩:,等。
,第五步：对结点位移进行编码,结点位移进行编码,前处理法,后处理法,第六步：进行单元分析,我们进行单元分析的最终目的是要对结构进行整体分析，因此必须由单元特性矩阵构成整体特性矩阵。
注意的是，如果局部坐标系与整体坐标系不一致，则需进行坐标变换，将局部坐标系下的单元特性转换为整体坐标系。

3、本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1 微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数 应满足微分方程组u（在 内） （2-1 ）12()()0Au 域 可以是体积域、面积域等，如图 2-1 所示。
同时未知函数 还应满足边界条件u（在 内） （2-2 ）12()()0Bu 要求解的未知函数 可以是标量场（例如压力或温度） ，也可以是几个变量组成的向量u场（例如位移、应变、应力等） 。
， 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标AB等）的微分算子。
微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。
所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：（在 内） （2-3 ）()()0kqxy（2-4 ）0() qBkqn（ 在 上 ）（ 在 上 ）这里 表示温度（在渗流问题中对应压力） ； 是流度或热传导系数（在渗流问题中对k应流度。

4、结点开始，沿边界连接相邻结点，可以将全部结点连上。
既没有重复也没有遗漏。
,单连薄壁结构是无多余约束的几何不变体系，即为静定结构。
,2. 薄壁体系的几何组成分析,2-1 平面薄壁结构的几何组成分析,内结点薄壁结构： 内结点：内部十字结点。
特点：由四根完整杆相交的结点， 且该结点周围的四块板也完整。
,平面格式结构的超静定次数等于内结点数。
按无多余约束的几何不变体系计算自由度：N=272-42-16-3=-7,环形薄壁框结构：,N=202-40-3=-3 静定结构,有七个内结点,平面薄壁结构一定是几何不变的。
关键看是否有多余约束，即判定超静定次数。
,4次超静定，即有四个内结点,2. 薄壁体系的几何组成分析,2-2 空间坐标系下的自由度,一个结点（自由质点）的自由度是3,一个刚片（自由刚体）的自由度是6,2-3 空间桁架的组成规则,基本四面体为空间无多余约束的几何不变体系,规则1：在基本四面体上用不在同 一平面的三个杆连接一个结点仍为 无多余约束的几何不变体系。
,2. 薄壁体系的几何组成分析,2-3 空间桁架的组成规则,规则1：在基本四面体上用。

5、纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。
有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅炉进行手算评核的基础。
很多著名的大型有限元软件如NASTRAN、ANSYS、ABAQUS 等。
,第二章 有限元分析基础,分析指导思想化整为零，裁弯取直，以简驭繁，变难为易,物理系统举例,几何体 载荷 物理系统,结构,热,电磁,有限元模型,有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。
,定义,自由度（DOFs）,自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
,结构 DOFs,节点和单元,节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度，存在相互物理作用。
,单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。
单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。
,有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
,节点和单元 (续),每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。
作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。
尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵。