1、第二章 有限元分析基础,2.1 有限元分析(FEA)概述,有限元分析是一种工程物理问题的数值分析方法，是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟，即根据近似分割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个简单而又相互作用的单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原理，把问题化成线性代数方程组求解。,定义,历史典故 结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。 有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅炉进行手算评核的基础。很多著名的大型有限元软件如NASTRAN、ANSYS、ABAQUS 等。,第二章 有限元分
2、析基础,分析指导思想化整为零，裁弯取直，以简驭繁，变难为易,物理系统举例,几何体 载荷 物理系统,结构,热,电磁,有限元模型,有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。,定义,自由度（DOFs）,自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。,结构 DOFs,节点和单元,节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度，存在相互物理作用。,单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。,有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。,节点和单元 (续),每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一
3、个整体，单元形成了整体结构的数学模型。尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25,000,000个刚度系数。,历史典故ANSYS是随着计算机硬件的发展而发展壮大的。ANSYS最早是在1970年发布的。早期的计算机的处理能力远远落后于今天的PC机。随着HPC（High Performance Compute）技术的发展，目前ANSYS可以求解1亿自由度的工程问题。,信息是通过单元之间的公共节点传递的。,分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 (需进行节点合并处理）,具有公共节点的单元 之间存在信息传递,.
4、,.,.,.,节点和单元 (续),节点和单元 (续),节点自由度是随连接该节点的 单元类型 变化的。,J,单元形函数,FEA仅仅求解节点处的DOF值。单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。,单元形函数(续),真实的二次曲线,单元形函数(续),遵循:DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如，结构应力，热梯
5、度）。如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。,单元形函数(续),遵循原则:当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。,2.2 有限元法的发展简史,1943年，Courant提出有限元法概念 1956年，Turner和Clough第一次用三角形单元离散飞机机翼，借助有限元法概念研究机翼的强度及刚度 1960年，Clough正式提出有限元法（FEM） 20世纪60年代，我国数学家冯
6、康把FEM总结成凡是椭圆形偏微分方程都可用FEM求解20世纪60年代以后，由于数学界的参与，FEM得到蓬勃发展，并且扩大了应用,发展方向 新型单元的研究 有限元的数学理论 向新领域扩展应用 大型通用程序的编制和设计ANSYS, NASTRAN, ABAQUS 开发微机用版本 设计自动化及优化设计（CAD, CAE, CAM）,有限元法的分类以方程中未知数代表的意义分类,有限元位移法：未知数为位移有限元力法：未知数为力有限元混合法：未知数为力和位移,以推导方法分类,直接法变分法加权余数法,2.3 有限元位移法的基本概念,有限元分析的基本原理是把控制连续体的微分方程变换 为控制离散体的线性代数方程
7、组 未知数为位移则称为有限元位移法，若未知数为力则称 为有限元力法，若未知数为力和位移则称为有限元混合法 有限元位移法的线性代数方程组可写成下式:, 是代数方程组的系数矩阵，称为刚度矩阵 是代数方程组的未知数，称为位移列矩阵 P 是代数方程组的载荷列矩阵考虑研究对象的边界条件后，求解上式方程组，就可得到研究对象的位移。,虚位移原理,2.4 能量变分原理,虚位移是结构所允许的任意的微小的假想位移，在发生虚位移过程中真实力所作的功，称为虚功。“如果变形体处于平衡状态，则给以任意微小虚位移，外力所作的总虚功必等于变形体所接受的总虚变形功。” 变形体的虚位移原理也称虚功原理,假设结构受到外力F的作用,内部产生应力 ，在某一时刻发生虚位移 ，虚位移产生虚应变 ，则外力F做的虚功,在单位体积上，结构的虚变形能为 ，则整个结构的虚变形能为,根据虚位移原理，有,能量变分原理,结构的势能为,结构在给定外力作用下发生变形，则在所有满足边界条件和协调要求的位移函数中，使总势能为最小值的位移函数满足静力平衡条件，即为最小势能原理。据此，应有,最小势能原理是弹性力学的一个变分原理，又因弹性力学 变分原理的泛函是表示某种能量，如势能 ，所以弹性力 学变分原理有时也称为弹性力学能量原理。,
