数学竞赛中的数论问题 习题部分

1、的素数若规定含素因子 的数为吉209祥数，请证明最简分数 的分子 是吉祥数12098mn m证明：例 21 试证 3证明：例 22 个连续整数中必有一个能被 整除kk证明：例 23 个连续整数之积必能被 整除!证明：例 24 有男孩、女孩共 个围坐在一个圆周上（ ） ，若顺序相邻的 3 人中恰有n3n一个男孩的有 组，顺序相邻的 3 人中恰有一个女孩的有 组，求证 a bab证明：例 25 （1956，中国北京）证明 对任何正整数 都是整数，并且321nn用 3除时余 2分析：2五、同余例 26 正方体的顶点标上 或 ，面上标上一个数，它等于这个面四个顶点处的1数的乘积，求证，这样得出的 14个数之和不能为 0证明：例 27 设多项式 的系数都是整数，并且有一nnaxxaxf 110个奇数 及一个偶数 使得 及 都是奇数，求证方程 没有整数根 f 0f证明：六、不定方程未知数的个数多于方程个数的整系数代数方程，称为不定方程求不定方程的整数解，叫做解不定方程 解不定方程通常要解决 3个问题，方程是否有解？有解时，。

2、数.对于实数 ,用 表示不超过 的最大整数,用 = - 表示 的小数部分.对于整数xxxx,若 , 则称 关于模 同余,记为 .对于正整数 ,用 表示ba)(|mb,m)(odmb)(m1,2, 中与 互质的整数的个数,并称 为欧拉函数.对于正整数 ,若整数 中任何)(r.21两个数对模 均不同余,则称 为模 的一个完全剩余系；若整数 中每一个数都mr,.21 )(.,mr与 互质,且其中任何两个数关于模 不同余,则称 为模 的简化剩余系.m )(21,.mr定理 1 设 的最大公约数为 ,则存在整数 ,使得 .ba,dyxybxad定理 2(1)若 , ,2, , ,则 ；)(moii1in)(o21 1nii2nix(2)若 , , ,则 ；dba)(bamd| dba(3)若 , ,且 ,则 ；1)(o(4)若 ( ), ,M= ,则 ( ).imon.2n,.2baMmod定理 3(1) ； (2) ；1xx yx(3)设 为素数,则在 质因数分解中, 的指数为 .p!np1。

3、m u2如此继续下去将得 uk+1= uk=1，而1u1)(22，ik。
故 是不大于 1981 的裴波那契数，故ii uk,m=987，n=159例 2. （匈牙利1965 ）怎样的整数 a，b，c 满足不等式 ?2322 cbacba解：若直接移项配方，得 。
因为所求的都是整数，所以原不01)()12(3)( c等式可以改写为： ，变形为： ，从cba422 0)1()2()( 2c而只有 a=1，b=2，c=2. 整除性条件对于整数 x，y 而言，我们可以讨论其整除关系：若 x|y，则可令 y=tx；若 xy，则可令y=tx+r， 0q）由22)1(ndcban 1),(qpp，q 的互素性易知必有 q|a，q| b。
这样，由 ba 即得 。
（有了三个不等式，就可对 的范围进q行估计） ，从而 。
于是将导致矛盾的结果： 。
这nqdp2)1(1 0)(2qn里，因为 a，b 被 q 整除，我们由 ba 得到的不仅是 ba+1，而是更强的条件 ba+q。
例 4. （IMO-25 ）设奇数 a，b，。

4、组同学平均每人收集 20 个，丙组同学平均每人收集 21个.若这三个小组共收集了 233 个废旧电池，则这三个小组共有学生（ ）人.A.12 B.13 C.14 D.15例 3 (2002 年 “我爱数学”初中生夏令营竞赛题)如果一个正整数等于它的各位数字之和的4 倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数.所有四合数的总和等于 .【解题思维策略分析】1.注意整数乘积或幂中的特殊因数例 5 (2008 年青少年数学国际城市邀 请赛题) 已知 n 为正整数，使得(k 是正整数). 求所有可能的 n 值的总和.nn261212.注意整数运算的封闭性例 6 (2007 年“ 新知杯” 上海市 竞赛题) 求满足下列条件的正整数 n 的所有可能值：对这样的 n，能找到实数 a，b，使得函数 对任意整数 x， 都是整数.baxnxf21f3.注意在分数不等式中取整数的条件例 7 已知 n，k 均为正整数，且满足不等式 .若对于某一给定的正整数 n，43967k只有唯一的一个正整数 k 使不等式成立.求所有符合要。

5、中学竞赛数学对于学习更高程度的数论知识的利与弊。
【关键词】 中学竞赛数学中数论问题 初等数论 联系与区别 利与弊一、 中学竞赛数学与初等数论随着数学竞赛的发展，已逐渐形成一门特殊的数学学科-竞赛数学，也可称为奥林匹克数学。
将高等数学下放到初等数学中去，用初等数学的语言来表述高等数学的问题，并用初等数学方法来解决这些问题，这就是竞赛数学的任务。
初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。
是数论的一个最古老的分支。
它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式等。
现在，我们通过探讨竞赛数学中的数论问题（主要是整数整除理论与同余式）与初等数论的联系与区别，来分析中学竞赛数学对于学习更高程度的数学知识的利与弊。
二、中学竞赛数学中数论问题与初等数论的联系与区别。
1 中学竞赛数学中的数论问题与初等数论的联系。
竞赛数学的问题甚至解法的背景往往来源于某些高等数学。
数学就其方法而言，大体上可以分成分析与代数，即连续数学与离散数学。
很多国际数学奥林匹克的试题来自数沦、组合分析、近世代数、组合几何、函数方程等。
其中的数论知识部分，就是来源于初等数论的概念与性质。
因此，初等数论与。

6、者说qr raa是 的倍数，而 是 的约数ab定义 2 （最小公倍数）非零整数 的最小公倍数是能被其中每一个12,n所整除的最小正整数，记作 1in12,na定义 3 （最大公约数）设整数 中至少有一个不等于零，这 个数的最大公约数是能整除其中每一个整数的最大正整数，记作 12,na定理 1 对任意的正整数，有,ab定义 4 如果整数 满足 ，则称 与 是互素的（以前也称为互质） ,1abab定义 5 大于 1 且除 1 及其自身外没有别的正整数因子的正整数，称为素数（以前也称为质数） 其余大于 1 的正整数称为合数；数 1 既不是素数也不是合数定理 2 素数有无穷多个，2 是唯一的偶素数定义 6 对于整数 ，且 ，若 ，则称 关于 模 同余，记,abc0()cab,c作若则称 关于模(mod)abc, 不同余，记作 (mod)定理 3 （整除的性质）设整数 为非零整数，,c（1） 若 ， ，则 ；cbac（2） 若 ，则 ；（3） 若 ， ，则对任意整数 ，有 ；c,mncanb（4） 若 ，且 ，则 ；,1ab。

7、的后继数这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理：（3）对 的子集 ，若 ，且当 时，有后继数 ，则 NM1M/aMN就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度比如，哥德巴赫猜想：1742 年 6 月 7 日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由 4 开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由 7 开始，都可以表示为三个素数的和后者是前者的推论，也可独立证明（已解决） “表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称 1+1欧拉认为这是对的，但证不出来1900 年希尔伯特将其归入 23 个问题中的第 8 个问题1966 年陈景润证得：一个素数+素数 素数（1+2） ，至今仍无人超越陈景润的数学教师沈元很重视利用名人、名言、名事去激励学生，他曾多次在开讲时，说过这样的话:“自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠”陈景润就是由此而受到了启示和激励，展开了艰苦卓绝的终生奋斗和灿烂辉煌的奋斗终生，离摘取“皇冠上的明。

8、余数可以分为 类，称为模 的剩余类 ，从每类中mmmodiCxi各取出一个元素 ，可得模 的完全剩余系（剩余类派出的一个代表团） ，iiaC称为模 的非负最小完全剩余系.0,12,通过数字奇偶性质的分析而获得解题重大进展的技巧，常称作奇偶分析，这种技巧与分类、染色、数字化都有联系，在数学竞赛中有广泛的应用 关 于 奇 数 和 偶 数 ， 有 下 面 的 简 单 性 质 ： （ 1） 奇 数 偶 数 （ 2） 偶 数 的 个 位 上 是 0、 2、 4、 6、 8； 奇 数 的 个 位 上 是 1、 3、 5、 7、 9（ 3） 奇 数 与 偶 数 是 相 间 排 列 的 ； 两 个 连 续 整 数 中 必 是 一 个 奇 数 一 个 偶 数 ； （ 4） 奇 数 个 奇 数 的 和 是 奇 数 ； 偶 数 个 奇 数 的 和 是 偶 数 ； 偶 数 跟 奇 数 的 和 是 奇 数； 任 意 多 个 偶 数 的 和 是 偶 数 （ 5） 除 2 外 所 有 的 正 偶 数 均 为 合 数 ；（ 6） 相 邻 偶 数 的 最 大 公 约 数 为 2， 最 小。