1、1四整除例 18 任意一个正整数 与它的十进制表示中的所有数码之差能被 9整除m证明：例 19 试证 55129129 证明：例 20 设 与 为正整数，满足217,IMOpq，13839pq求证 可被 1979整除（1979 ）证明：例 20-1 2009年 9月 9日的年、月、日组成“长长久久、永不分离”的吉祥数字20090909，而它也恰好是一个不能再分解的素数若规定含素因子 的数为吉209祥数，请证明最简分数 的分子 是吉祥数12098mn m证明：例 21 试证 3证明：例 22 个连续整数中必有一个能被 整除kk证明：例 23 个连续整数之积必能被 整除!证明：例 24 有男孩、女
2、孩共 个围坐在一个圆周上（ ） ，若顺序相邻的 3 人中恰有n3n一个男孩的有 组，顺序相邻的 3 人中恰有一个女孩的有 组，求证 a bab证明：例 25 （1956，中国北京）证明 对任何正整数 都是整数，并且321nn用 3除时余 2分析：2五、同余例 26 正方体的顶点标上 或 ，面上标上一个数，它等于这个面四个顶点处的1数的乘积，求证，这样得出的 14个数之和不能为 0证明：例 27 设多项式 的系数都是整数，并且有一nnaxxaxf 110个奇数 及一个偶数 使得 及 都是奇数，求证方程 没有整数根 f 0f证明：六、不定方程未知数的个数多于方程个数的整系数代数方程，称为不定方程求
3、不定方程的整数解，叫做解不定方程 解不定方程通常要解决 3个问题，方程是否有解？有解时，有几个解，解数是有限还是无穷？求出全部解例 28 解方程 71923xy解：例 29 求方程 的整数解320解：例 30 甲乙两队各出 7 名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由 1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为 （1988，高中联赛）解：例 31（1989，高中）如果从数 1，2，14 中按由小到大的顺序取出 ，使123,a同时满足，2132, aa那么，所有符合上述要求的不
4、同取法有多少种？解： 3七数论函数主要是 高斯函数， 欧拉函数xn例 32 某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10人推选一名代表，当各班人数除以 10的余数大于 6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数 与该班人数 之间yx的函数关系用取整函数 （ 表示不大于 的最大整数）可以表示为 yxx(A) (B) (C) (D)10xy310410y510y（2010 年全国高考数学陕西卷理科第 10题）例 33 用 表示不大于 的最大整数，求xx12043636解：八、综合练习例 34 整数勾股形中，证明（1）必有一条直角边长是 3 的倍数；（2）必有一条直角边长是 4 的倍数；（3）必有一条边长是 5 的倍数；（4）三角形的面积是 6 的倍数证明：4例 35 已知 内有 个点，连同 共有 个点，以这些点为顶点，把ABCn,ABC3n分割为若干个互不重叠的小三角形，现把 分别染上红色、蓝色、黄色，而A ,其余 个点，每点任意染上红、蓝、黄三色之一，证明三顶点都不同色的小三角形的总n数必是奇数 （斯潘纳定理）证明：例 36 对整点 25 边形的顶点作三染色，求证，存在一个三顶点同色的三角形，它的重心也是整点解：
