数学分析西北师范大学21

1、li x几何意义 介绍邻域 , (,MxM其中 为充分大的正数然后用这些邻域语言介绍几何意.)(Mx义例 1 验证 .0limx例 2 验证 2arctg例 3 验证 .li2x证 . 42 44 2322 xxx二 时函数 的极限：0x)(f由 考虑 时的极限引入.2 ,1)(f x定义 函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例 4 验证 .lim0Cx例 5 验证 022例 6 验证 .5123729lim3xx证 由 =, 512)3( 223 x.12951395 12xxx为使 需有 ,695;3x为使 需有 3256 1xx .2于是, 倘限制 , 就有10537293x29x .31x例 7 验证 ). (,1lim0020 x例 8 验证 ( 类似有 .sin0x ) .coslim00xx三. 单侧极限:1 定义： 单侧极限的定义及记法.几何意义: 。

2、xa幂级数是最简单的函数项级数之一.一. 幂级数的收敛域:1. 收敛半径 、收敛区间和收敛域：Th 1 （ Abel ） 若幂级数 在点 收敛 ， 则对满足不等式nxa0的任何 ，幂级数 收敛而且绝对收敛 ；若在点 发散 ，则对满|xn x足不等式 的任何 ，幂级数 发散.| |xnx证 收敛, 有界. 设| | , 有nananaM| , 其中 .nnnrxx| 1 |xr.,nMr |na定理的第二部分系第一部分的逆否命题.幂级数 和 的收敛域的结构.nxannx)(0定义幂级数的收敛半径 R. 收敛半径 R 的求法.Th 2 对于幂级数 , 若 , 则nxalimna|172 时, ; 时 ; 时 . 0R10R0R证 , ( 强调开方次数与 的次数是一致的).nlimnxa|li|xan x由于 , 因此亦可用比值法求收敛半径.nli ,|1nlimn|幂级数 的收敛区间: .nxa), (R幂级数 的收敛域: 一般来说 , 收敛区间。

3、 或称为“点态收敛 ” )的“ ”定义. N例 1 对定义在 内的等比函数列 , 用“ ”定义 , )(xfnnN验证其收敛域为 , 且(nlim)xfnli. 1 ,|0x例 2 . 用“ ”定义验证在 内 .)(fnsiN) , (nlim)(xf0例 3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .) (n . .)(xfnx)(xfn,sgRx . .fn12n fn, 设 为区间 上的全体有理数所成数列. 令 ,21nr1,0, .)(xfn., , , 0,2121nnrxr且 )(xfDx 1,0157 . , .)(xfn2xne )(xfn0Rx )(xfn .12 , 0 , ,4,210 ,1xnnn有 , , . （ 注意 .）)(xfn)(10)(dxfn二. 函数列的一致收敛性:问题: 若在数集 D 上 , . 试问: 通项。

4、P87 例 1 和例 2, P88 例 3. ).(lim00xffx定义 用 ).(0xf定义 用 先定义 和.li0yx y定义 连续的 Heine 定义.定义 ( “ ”定义.)其他定义参阅3P 39 Th.例 1 用“ ”定义验证函数 在点 连续.132)(xf0例 2 试证明: 若 ,RA , ,0 , x则 在点 连续.,)( Axf )(xf03. 单侧连续: 定义单侧连续 , 并图解.Th ( 单、双侧连续的关系 )例 3 讨论函数 在点 的连续或单侧连续性.0 ,2, ,)(xAxf )(xf0二. 间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况 即 或)0(xf32中至少有一个不存在 称为第二类间断点.)0(xf 例 4 讨论函数 的间断点类型.)1( )2xf二 延拓函数 使在点 连续.,3sin0x例 5 举出定义在0,1上且仅在点 三点间断的函数的例 .4 ,32例 6 讨。

5、了整数,其余则是我们人类的事了.2. 从自然数系到有理数系:3. 算术连续统假设的建立及其破灭:不可公度性的发现及其深远影响.Pythagoras （约在纪元前六世纪） ， Hippasus， Leonardo da Vinci 称为“无理的数”. Eudoxus , Euclid.4. 微积分的建立:Newton , Leibniz ; Euler , Lagrange , DAlembert , Laplace ;Voltaire , B. Berkeley .十九世纪分析学理论的重建工作: B.Bolzano , A.Cauchy , Abel , Dirichlet,Weierstrass .Archimedes 数域.5. 实数系的建立: 十九世纪后半叶由 Weierstrass , Meray , Dedekind , Cantor 等完成.72二. 连续统假设:1. 连续统假设: 以 Cantor 实数为例做简介. Cauchy ( 17891857, 法 ), Bolzano (17811845 ), Cantor ( 18291920 ).在他们的著作中表。

6、fXOYD0存在区域 的分割 , 使得 .DT i这里 为函数 在 上的振幅 , 即i)(yxfiD.|)(|sup,in,sup 21,21 Pfffii PDi 例 1 设 为定义在矩形域 上的函数.)(),(1yfxyf ,21baD若函数 在 上可积 , 在 上可积 . 则函数 在 上可积 , 且fba2,2baf. 1P286 Ex 2.Dbaff21证 对 , 存在区间 的分法 和区间 的分法 , 使0,11T,2ba2T, .niiixf1)(mjjjyf12)(这里 ,|sup1,11xfffixxi .|)()|)( 22,21 yjjyyj 构成 的一个分割, 在第 个小矩形 上 , 注意到21TDijix|)()(| 2121yfyfx |)()(| 2121 yfxxf.|)(|)(| 2111 yffxfy 248)(fij|)()(|sup2121),。