1、 S F 01（数）Ch 14 幂级数计划课时： 1 0 时P 171 1892002. 05.08 .171Ch 14 幂级数 （ 1 0 时 ） 1 幂级数（ 4 时 ）幂级数的一般概念. 型如 和 的幂级数 . 幂级数由系数00)(nnxa0nxa数列 唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如 的幂级数.na 0nxa幂级数是最简单的函数项级数之一.一. 幂级数的收敛域:1. 收敛半径 、收敛区间和收敛域：Th 1 （ Abel ） 若幂级数 在点 收敛 ， 则对满足不等式nxa0的任何 ，幂级数 收敛而且绝对收敛 ；若在点 发散 ，则对满|xn x足不等式 的任何 ，幂级数
2、 发散.| |xnx证 收敛, 有界. 设| | , 有nananaM| , 其中 .nnnrxx| 1 |xr.,nMr |na定理的第二部分系第一部分的逆否命题.幂级数 和 的收敛域的结构.nxannx)(0定义幂级数的收敛半径 R. 收敛半径 R 的求法.Th 2 对于幂级数 , 若 , 则nxalimna|172 时, ; 时 ; 时 . 0R10R0R证 , ( 强调开方次数与 的次数是一致的).nlimnxa|li|xan x由于 , 因此亦可用比值法求收敛半径.nli ,|1nlimn|幂级数 的收敛区间: .nxa), (R幂级数 的收敛域: 一般来说 , 收敛区间 收敛域.
3、幂级数 的收敛n nxa域是区间 、 、 或 之一.) , (R ,() ,R ,例 1 求幂级数 的收敛域 . 2nx 1, 例 2 求幂级数 的收敛域 . n ), 例 3 求下列幂级数的收敛域: ; .0!nx0!nx2. 复合幂级数 : 令 , 则化为幂级数 .设该幂级数的)(an)(t nta收敛区间为 ，则级数 的收敛区间由不等式 确定.) ,(Rxn Rx )( 可相应考虑收敛域.特称幂级数 为正整数)为缺项幂级数 .其中 . 应注意 为第kxan( k)(na项的系数 . 并应注意缺项幂级数 并不是复合幂级数 , 该级数中, 为第kn knxa项的系数 .173例 4 求幂级数
4、 的收敛域 . 7453231xx解 是缺项幂级数 .7452x021nn. 收敛区间为 . 时,nlim ,31|a3R)3, (x通项 . 因此 , 该幂级数的收敛域为 .0 , 例 5 求级数 的收敛域 .0)1(2nnx解 令 , 所论级数成为幂级数 .由几何级数的敛散性结果, t 002nntt当且仅当 时级数 收敛. 因此当且仅当 , 即2t0nt 21x时级数 收敛. 所以所论级数的收敛域为 .1 |x0)1(nnx ) ,3 () ,(例 6 求幂级数 的收敛半径 .23解 .nlim2nli1 ,REx 1P6465 1，7；4P309312 1519， 39，40，41.二
5、 幂级数的一致收敛性：Th 3 若幂级数 的收敛半径为 ，则该幂级数在区间 内nxaR) 0() , (R闭一致收敛 .证 , 设 , 则对 , 有 ,b)(R| |maxbx ba, 级数 绝对收敛, 由优级数判别法, 幂级数|nnxan 174nxa在 上一致收敛. 因此 , 幂级数 在区间 内闭一致收敛., bnxa) , (RTh 4 设幂级数 的收敛半径为 ,且在点 ( 或 )收敛,nxaR)0 (x则幂级数 在区间 ( 或 )上一致收敛 .n,0 ,证 . 收敛 , 函数列 在区间 上递减nnRxaxnanRx ,0R且一致有界 , 由 Abel 判别法, 幂级数 在区间 上一致收
6、敛 .nx,0易见 , 当幂级数 的收敛域为 ( 时 , 该幂级数即在区间nxa , )上一致收敛 .R三. 幂级数的性质:1. 逐项求导和积分后的级数:设 , 1)(nxa11nnxa*)10nxndta*)11 ,nx*) 和 *)仍为幂级数. 我们有命题 1 *) 和 *)与 有相同的收敛半径 . ( 简证 )n值得注意的是，*) 和 *)与 虽有相同的收敛半径（ 因而有相同的收敛区nxa间） ，但未必有相同的收敛域 ， 例如级数 .1n2. 幂级数的运算性质:定义 两个幂级数 和 在点 的某邻域内相等是指：它们在该0nxa0nb0x邻域内收敛且有相同的和函数.命题 2 , .(由以下命
7、题 4 系 2)0nx0n ) 1(, nn175命题 3 设幂级数 和 的收敛半径分别为 和 , 0nxa0nbaRb, 则minbaR , Const ， .nnxax,|aR0 + , .0na0nbnnxb)(0| ( )( ) , , .0nx0nnc0nkkba0Rx|3. 和函数的性质:命题 4 设在 ( 内 . 则) ,(R 0nx)(f 在 内连续;)xf , 若级数 或 收敛, 则 在点 ( 或 )是nana)()(xfRx左( 或右 )连续的; 对 , 在点 可微且有 ;x) (R(xf )(f11nna 对 , 在区间 上可积, 且 .) (f0 xxdtf0)(01n
8、nxa当级数 收敛时, 无论级数 在点 收敛与否,均有01nnRa0naR. 这是因为: 由级数 收敛, 得函数Rdtf0)(01nn 01nn在点 左连续, 因此有 .xtf0)(01nnxaRRdtf0)(01nnRa系 1 和函数 在区间 内任意次可导, 且有)(f) (176, )(xf 121nxaa.nn1)( )!(!由系 1 可见, 是幂级数的和函数的必要条件是 任意次可导.xf )(xf系 2 若 , 则有0na)(f ,!)0( ,!2)0( ,1 ),(0 nfafaff 例 7 验证函数 满足微分方程 .0!)(nxf Rxy ,2验证 所给幂级数的收敛域为 .) ,
9、.)(xf1)!(2n01!nnx0)(2!nxf, 代入, .(4fff 0yEx 1P65 3 ( 提示 ) , 4 , 6 . 2 函数的幂级数展开（ 4 时 ）一. 函数的幂级数展开:1. Taylor 级数: 设函数 在点 有任意阶导数.)(xf0Taylor 公式和 Maclaurin 公式 .Taylor 公式： nk nkxRff000)( )()!)(.nfxfxfxf )(!)(!2)()( 00)(2000 )(xR177余项 的形式:)(xRnPeano 型余项: , nx)(0（ 只要求在点 的某邻域内有 阶导数 ， 存在 ）1)(0xfnLagrange 型余项:
10、在 与 之间.)(xRn ,)()!01( nnxf 0或 .)(n ,)()!1(1000( nnxf1积分型余项: 当函数 在点 的某邻域内有 阶连续导数时, 有xf0.)(Rnxnndttf0)(!)1(Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有 Cauchy 余项.)(xn10 ,)()1(!11000)( nnn xxf特别地， 时，Cauchy 余项为0x在 与 之间.)(xRn ,)(!)1(xfnn xTaylor 级数: Taylor 公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得 nnxfxfxfxf )(!)(!2)()( 00)(20000,00
11、0)()!nnf称此级数为函数 在点 的 Taylor 级数. 只要函数 在点 无限次可导, 就可)(xf )(xf0写出其 Taylor 级数. 称 = 时的 Taylor 级数为 Maclaurin 级数, 即级数 .0 0)(!nnxf178自然会有以下问题: 对于在点 无限次可导的函数 , 在 的定义域内或在0x)(xf)(f点 的某邻域内, 函数 和其 Taylor 级数是否相等呢 ?0x)(f2 函数与其 Taylor 级数的关系：例 1 函数 在点 无限次可微 . 求得)(xf10x ,)1(!)(nnxf. 其 Taylor 级数为!0 ), ()(nfx. nxx210nx该
12、幂级数的收敛域为 . 仅在区间 内有 = . 而在其他点并不), () 1,()(xf0n相等, 因为级数发散.那么, 在 Taylor 级数的收敛点, 是否必有 和其 Taylor 级数相等呢 ? 回答也是)(f否定的 .例 2 函数 在点 无限次可导且有 ( 参阅. 0 ,)(21xexf .0)(nfCh 5 习题课例 6 ） ，因此其 Taylor 级数 ，在 内处处收敛 . 但除了点), (外, 函数 和其 Taylor 级数并不相等.0x)(xf另一方面, 由本章1 命题 4 系 2（和函数的性质）知：在点 的某邻域内倘有0x, 则 在点 无限次可导且级数 必为函数)(xf00)(
13、nnxa)(f0x00)(nna在点 的 Taylor 级数.f综上 , 我们有如下结论: 对于在点 无限次可导的函数 , 其 Taylor 级数可能除点 外均发散,0x)(xf x0179( 参阅 复旦大学编数学分析 下册 P90 第 9 题 ) ; 即便在点 的某邻域内其 Taylor0x级数收敛, 和函数也未必就是 . 由此可见, 不同的函数可能会有完全相同的 Taylor)(xf级数. 若幂级数 在点 的某邻域内收敛于函数 , 则该幂级数就是00)(nnxa0 )(xf函数 在点 的 Taylor 级数.)(xf于是 , 为把函数 在点 的某邻域内表示为关于 的幂级数，我们只能)(xf
14、0 )(0x考虑其 Taylor 级数.3 函数的 Taylor 展开式：若在点 的某邻域内函数 的 Taylor 级数收敛且和恰为 ，则称函数0x)(xf )(xf)(xf在点 可展开成 Taylor 级数(自然要附带展开区间. 称此时的 Taylor 级数为函数在点 的 Taylor 展开式或幂级数展开式. 简称函数 在点 可展为幂级数. 当0x )(xf0= 0 时, 称 Taylor 展开式为 Maclaurin 展开式. 通常多考虑的是 Maclaurin 展开式.4. 可展条件:Th 1 ( 必要条件 ) 函数 在点 可展 , 在点 有任意阶导数 .)(xf0)(xf0Th 2 (
15、 充要条件 ) 设函数 在点 有任意阶导数 . 则 在区间f内等于其 Taylor 级数( 即可展 )的充要条件是: 对0,(0rxr, 有 . 其中 是 Taylor 公式中的余项.)(limxRn)xRn证 把函数 展开为 阶 Taylor 公式, 有f.,|)(|)(| xSxnn)(xf ),(limxSn0)(lixRnTh 3 ( 充分条件 ) 设函数 在点 有任意阶导数 , 且导函数所成函数列f0180一致有界, 则函数 可展.)(xfn )(xf证 利用 Lagrange 型余项 , 设 , 则有Mxfn|)(|.) (,0)!1(|)()!1|)(| 010( nxnfxRn
16、nn例 3 展开函数 按 幂; 按 幂.f ,323 x 1x解 ;)()0( , 2 )03)0( ffxf14 8 ,1, 6xf ;10)(4)(ff, 6 , 60.)()4( nff所以 , .3232!)(!)(0 xxffxx 可见 , 的多项式 的 Maclaurin 展开式就是其本身.)(Pn 32)1(!)1(!)1(1)( xfxfxffxf.325)(8Ex 1P7374 1， 3.二. 初等函数的幂级数展开式:初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式.为得到初等函数的幂级数展开式 , 或直接展开, 或间接展开.1. . ( 验证对 R ， 在xe0,!n )(x
17、xxnef)(181区间 ( 或 )上有界, 得一致有界. 因此可展 ).,0x0.xa0ln,!lnaax |x2. , .si012)!() nn ) ,(, .xco02)!( nnx) ,(x可展是因为 在 内一致有界.afsi)( ) , (3. 二项式 的展开式:mx1为正整数时, 为多项式, 展开式为其自身;m)(为不是正整数时, 可在区间 内展开为) 1,(mx)1( nxnmx!)1()2(!2对余项的讨论可利用 Cauchy 余项. 具体讨论参阅1P88.进一步地讨论可知 ( 参阅 . 微积分学教程Vol 2第二分册.):时, 收敛域为 ;1m) 1,(时, 收敛域为 ;0
18、时, 收敛域为 . ,利用二项式 的展开式 , 可得到很多函数的展开式. 例如取 ,得mx)1( 1m， . nxx) 1(2 ) (x182时, , .21m 32645131xxx 1,(x间接展开: 利用已知展开式 , 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式. 利用微积运算时, 要求一致收敛. 幂级数在其收敛区间内闭一致收敛 ,总可保证这些运算畅通无阻.4. . nxxx132) ()1ln( 11) (nnx. ,(事实上 , 利用上述 的展开式, 两端积分 , 就有x1,tdx0)ln(00) (nxndt01) (nx1) (nx.) ,验证知展开式在点 收敛
19、, 因此 , 在区间 上该展开式成立.1x 1,(5. .753xarctg012,) nnx 1,由 . 两端积分,有21x02 ,)1 (nn)1, (xxnxnn dtdttdarctg000222 )1()(01,) (n验证知上述展开式在点 收敛, 因此该展开式在区间 上成立.(这里应用了x 1,183习题中第 2 题的结果, 参阅1P65 )例 4 展开函数 .143(2xxf解 00312)( nnxf.0 1 | ,)3 (nx例 5 展开函数 .xef1解 xexf)(0!n01!n01)!(!nnx1!n11)!(!)!(nn.1!nx 0 | ,!nxxEx 1P74 2
20、 , 3(提示) P79 1 , 2 .习 题 课 ( 2 时 )一. 求收敛区间或收敛域:例 1 求幂级数 的收敛区间 .023)1(nnnx例 2 求幂级数 的收敛域.1nni解 设 , 注意到 , 有 .nia1nalim) (,11 nann184时, 收敛域为 .1x,01nix) 1,(二. 函数展开:例 3 把函数 展开成 的幂级数 .2xesh解 , ,xe !31n|x, ;x !) 1(!2xx |; )!2(!53 1nex, .2xsh012)!(n ) ,(x与 的展开式 比较. xinxsi012)!( nn例 4 展开函数 .)(fx2cos解 ,12cosx,
21、. 02)!( nnx02)!(4 1nx) ,(x因此, 2)!2(4 1 2cos0nnx 02)!(4 1nn， .1)!( nnx , x例 5 展开函数 .)(f62x185解 , ; nxxx) 1(132 1|x因此, , . 262014826 n|例 6 把函数 展开成 的幂级数.)(xf)5ln)(x解 n132 1ln(, . 11) (nnx 1, (x而 =7ln2l)27l()5l( xx, .1l) (nn 9,5(x三. 函数展开式应用举例:1. 做近似计算 :例 7 计算积分 , 精确到 .102dxeI01解 .2xe0,!) (nn) ,(因此, .101
22、02!) (2 dxndnx 0102!) (nndx0!)12() n上式最后是 Leibniz 型级数 , 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 . 为使,可取 .故从第 项到第 项这前 7 项之和达到要求的精度.于是10 !)2(n7n062dxeI 20132491513186.746801.076.43.0281.1.3.01 2. 利用展开式求高阶导数: 原理.例 8 设 证明对 存在并求其值.0 , 1,sin)(xxf )0( ,nf3P98 E26解 , .xsin012)!()n ),(时, ,0xfi)(021)!( nnx2)!1() nnx直接验证可知上式当 时也成立
23、 . 因此在 内有x , , .)(f12)!1() nnx) ,(x函数 作为 的幂级数的和函数, 对 存在 , 且xf 0 ,)(nf. 12 ,0 , 2 , ,)!12()( mnmfn 即 . 12 ,0 , 210, , 12)()( mnfmn 四. 幂级数求和: 原理: 对某些幂级数, 有可能利用初等运算或微积运算以及变量代换化为已知187的函数展开式( 特别是化为函数 和 的展开式 ),借以求和.x1e例 9 求幂级数 的和函数并求级数 和 Leibniz 级数 的和.1n 132n1) (n解 幂级数 的 收敛域为 , 设和函数为 ,则在 内有1nx)(xS) ,(,)(S
24、xn1注意到 , 则对 有0 ) 1,(.xxxtdtSxS00)1ln()()又 在点 连续 , 于是在区间 内上式成立. 即有(1), .1nx)l(xx 1,取 , 有 .321n21 3ln23nnS取 , 有 .x1) (n1l)1() (n例 10 求幂级数 的和函数. 并利用该幂级数的和函数求幂级数1nx 123nx的和函数以及数项级数 的和.12n解 该幂级数的收敛域为 . 在 内设),() 1,(.)(xf1nx1xSn188现求 . 对 ,有)(xS) 1(.nnx xdtdt0110)由 连续 , 有 .)(xS)(xS20 )1()(tx因此, , .1n 2)1()(
25、xf|x作代换 , 有32xt. .12n1 23212 )()(nn xtxt 3|.12n 11 21 6122nnnn例 11 求幂级数 的和函数.0!nnx解法一 收敛域为 ,设和函数为 , 则有) ()(xS. xxnnn dtdtdtS0001!1)( 01!xne因此, = , .0!1nx)( xxx eetS)()(0 ) ,(解法二 0!nn0!n0!n1)!(xn, .0!n xxxee) ,(189例 12 求幂级数 的和函数.11!2nnx解 .1!2nx)1(2!)(0xne例 13 求数项级数 的和.012) (n解 该级数为 Leibniz 型级数, 因此收敛. 考虑幂级数 , 其收敛域012) (nnx为 . 设和函数为 , 在 内有1,)(xS) 1, . 02202( )(nnn xx 1|注意到 ,对 有S ) 1,(, .)(xxxarctgxdttS002 1,于是, .012 nn41) (arctgEx 1P6566 2，10； P7980 3，4；4P313 44，46，47，48.
