1、 S F 01（数）Ch 8 实数基本定理计划课时： 18 时P 71842002 02 08.71Ch 8 实数基本定理 （ 1 8 时） 0 连续统假设简介 （ 2 时 ）一 数的发展简史：参阅数学分析选讲讲稿 P6676（1997. 8.10 ）.1. 自然数的产生: 十九世纪数学家 Leopold Kronecker 说: 上帝创造了整数,其余则是我们人类的事了.2. 从自然数系到有理数系:3. 算术连续统假设的建立及其破灭:不可公度性的发现及其深远影响.Pythagoras （约在纪元前六世纪） ， Hippasus， Leonardo da Vinci 称为“无理的数”. Eudo
2、xus , Euclid.4. 微积分的建立:Newton , Leibniz ; Euler , Lagrange , DAlembert , Laplace ;Voltaire , B. Berkeley .十九世纪分析学理论的重建工作: B.Bolzano , A.Cauchy , Abel , Dirichlet,Weierstrass .Archimedes 数域.5. 实数系的建立: 十九世纪后半叶由 Weierstrass , Meray , Dedekind , Cantor 等完成.72二. 连续统假设:1. 连续统假设: 以 Cantor 实数为例做简介. Cauchy (
3、 17891857, 法 ), Bolzano (17811845 ), Cantor ( 18291920 ).在他们的著作中表现了实数连续性的观点. 1900 年, 哥庭根大学教授 Hilbert( 18621943, 德 )在巴黎国际数学家代表大会上的致辞中 , 提出了二十三个研究课题 ,其中的第一题就是所谓连续统假设. 首当其冲的是关于连续统观点的算术陈述.( 参阅 D.J.斯特洛伊克著数学简史P160161 ).连续统假设的研究现况.2. 实数基本定理: 连续统假设的等价命题. 共有九个定理, 我们介绍其中的七个. 另外还有上、下极限定理和实数完备性定理. 1 实数基本定理的陈述 （
4、 4 时 ）一 确界存在定理：回顾确界概念Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛 .三. Cantor 闭区间套定理 :731. 区间套: 设 是一闭区间序列. 若满足条件, nba 对 , 有 , 即 , 亦即 ,1nbannba1后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; . 即当 时区间长度趋于零.,0nab)(则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:. ,1221 bbaann ,0na)(我们要提请大家注
5、意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增,n n递减. nb例如 和 都是区间套. 但 、 1, n, 0 21 ,) (n和 都不是., 0( ,2. Cantor 区间套定理:Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 ., nban , nba简言之, 区间套必有唯一公共点.四 Cauchy 收敛准则 数列收敛的充要条件 :1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为 Cauchy 列.例 1 验证以下两数列为 Cauchy 列 : .nnx 90si.9.0sin.90si.274 .12) (513nan解 |9.0sin.9.0si.
6、| | pnpx; 9.0.1nn 1p 11对 ，为使 ，易见只要 .|npx90lgn于是取 .N 1)(232)1()(| pnnanp .)(1当 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有p1)(232pnn,0 1)(23)(715312 pnn又 )(2pn 1)(23)(215)(151321 pnpnn.2n当 为奇数时 ,p1)(312pn75,01)(23)(215)(21321 pnpnpnn)(.12 )(213)(21521312 npnpnnn综上 , 对任何自然数 , 有p. 1 )(01p Cauchy 列的否定: 例 2 .
7、验证数列 不是 Cauchy 列.nkx1nx证 对 , 取 , 有p.21 21| nn因此, 取 ,2102. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列 收敛 是 Cauchy 列.nana( 要求学生复习函数极限、函数连续的 Cauchy 准则，并以 Cauchy 收敛原理为依据，利用 Heine 归并原则给出证明 )五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设 是无穷点集. 若在点 (未必属于 )的任何邻域内有 的无EEE76穷多个点, 则称点 为 的一个聚点.E数集 = 有唯一聚点 , 但 ; 开区间 的全体聚点之集是闭区间 1n0E) 1,0(; 设 是 中全体有理数所成之
8、集 , 易见 的聚点集是闭区间 .,0Q, Q 1,01. 列紧性: 亦称为 Weierstrass 收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. HeineBorel 有限复盖定理:1. 复盖: 先介绍区间族 . ,IG定义( 复盖 ) 设 是一个数集 , 是区间族 . 若对 ,E , ,ExIx则称区间族 复盖了 , 或称区间族 是数集 的一个复盖. 记为GE. ,I若每个 都是开区间, 则称区间族 是开区间族 . 开区间族常记为I G. , ,) (M定义
9、( 开复盖 ) 数集 的一个开区间族复盖称为 的一个开复盖 , 简称为 的一EEE个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例 3 复盖了区间 , 但不能复盖 ; )1,0( ),23 (xM)10( 1,0复盖 , 但不能复盖 . , , , (babxH ba ,ba772. HeineBorel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖. 2 实数基本定理等价性的证明 （ 4 时 ）证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy 收敛准则 确界原理 ;: 区间套定理 致密性定理
10、 Cauchy 收敛准则 ;: 区间套定理 HeineBorel 有限复盖定理 区间套定理 .一. “” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 ., nban , nba证 系 1 若 是区间套 确定的公共点, 则对 , , n nba0N当 时, 总有 .Nn , ba ),(78系 2 若 是区间套 确定的公共点, 则有 , nba nba , , .nanb) (3. 用“区间套定理”证明“ Ca
11、uchy 收敛准则”:Th 4 数列 收敛 是 Cauchy 列.nana引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书 P217218 上的证明留作阅读 . 现采用3P7071 例 2 的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4 用“ Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界” ）设 为非空有上界数集 . 当 为有EE限集时 , 显然有上确界 .下设 为无限集, 取 不是 的上界, 为 的上界. 对E1a1b分区间 , 取 , 使 不是
12、的上界, 为 的上界. 依此得闭区间列 1ba22a2b. 验证 为 Cauchy 列, 由 Cauchy 收敛准则, 收敛; 同理 收敛. ,nn nna易见 . 设 .有 .下证 .用反证法验证 的上界性和最小性. Esup二. “” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）79Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （ 用对分法 ）2用“致密性定理” 证明“ Cauchy 收敛准则” ：Th 4 数列 收敛 是 Cauchy 列.nana证 （ 只证充分性 ）证明思路 ： Cauc
13、hy 列有界 有收敛子列 验证收敛子列的极限即为 的极限.nEx 1P223224 17，11.三. “” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“HeineBorel 有限复盖定理”:证2. 用“HeineBorel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:证 采用3P72 例 4 的证明 .Ex 1P224 812 选做，其中 1 0 必做. 3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 )一. 有界性:命题 1 , 在 上 . )(baCxf ,ba)(xf 1O证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.80证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题
14、 2 , 在 上取得最大值和最小值. )(baCxf)(xf ,ba( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ) 参阅 1P226 证法 二 后半段 .三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题 3 ( 零点定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 .,0)(af)(bf令 , 则 非空有界, 有上确界. 设 , ,0) |bxfxEEEsup有 . 现证 , ( 为此证明 且 ). 取 且,ba)(f )(f)(f0nx. 由 在点 连续和 , ,nx (,xnx0)(limnf. 于是 . 由 在点 连续和 ,E) ( , ttnn)(ft
15、f. 因此只能有 .0)(lim)(nff 0f证法 三 ( 用有限复盖定理 ).Ex 1P232 1，2，5.四. 一致连续性:命题 4 ( Cantor 定理 )81证法 一 ( 用区间套定理 ) . 参阅1 P229230 证法一 证法 二 ( 用列紧性 ). 参阅1P229230 证法二 Ex 1P232 3，4， 6 ；P236 1，2，4.习 题 课 （ 4 时 ）一 实数基本定理互证举例：例 1 用“区间套定理”证明“单调有界原理”.证 设数列 递增有上界. 取闭区间 , 使 不是 的上界, nx 1ba1nx1b是 的上界. 易见在闭区间 内含有数列 的无穷多项, 而在nx ,
16、1banx ,a外仅含有 的有限项. 对分 , 取 使有 的性质.于是 ,2 ,1ba得区间套 ,有公共点 . 易见在点 的任何邻域内有数列 的无穷多项 nba nx而在其外仅含有 的有限项, .xnxlim例 2 用“确界原理”证明“区间套定理”. 证 为区间套. 先证每个 为数列 的下界, 而每个 为数列,nbamanbmb的上界. 由确 界原理 , 数列 有上确界, 数列 有下确界 . 设n, .infbsup na易见有 和 . 由 ， .nnana) (,0b 例 3 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.82证 ( 用反证法 ) 设 为有界无限点集, . 反设 的每一点S, baS
17、,都不是 的聚点, 则对 , 存在开区间 , 使在 内仅Sxba)(x)(x有 的有限个点. .例 4 用“确界原理”证明“聚点原理”.证 设 为有界无限点集. 构造数集 中大于 的点有无穷多个 .SEx |x易见数集 非空有上界, 由确界原理, 有上确界. 设 . 则对 ,E sup0 由 不是 的上界, 中大于 的点有无穷多个; 由 是 的上界,EE中大于 的点仅有有限个. 于是, 在 内有 的无穷多个点,) , (即 是 的一个聚点 .E二. 实数基本定理应用举例：例 5 设 是闭区间 上的递增函数, 但不必连续 . 如果 ,)(xf ba af)(, 则 , 使 . ( 山东大学研究生
18、入学试题 )bf)(0 0)(xf证法 一 ( 用确界技术 . 参阅 3 P76 例 10 证法 1 )设集合 . 则 , 不空 ; , ,)( |bxaxfFFaba有界 .由确界原理 , 有上确界. 设 , 则 .下证 .sup00xb0)(xf 若 , 有 ; 又 , 得 . 由0x0)(xf ff)(0xf, 递增和 , 有 , 可见 . 由 ,)(f)(ff0f0fFsup. 于是 , 只能有 .0xf0)(xf83 若 , 则存在 内的数列 , 使 , ; 也存在数列0xFnxn0x)(, , . 由 递增, 以及 , 就有式nt,btnnt0x) (fFnt对任何 成立 . 令
19、, 得ntffxf)()0 n,)(00xfx于是有 .f证法二 ( 用区间套技术, 参阅 3 P77 例 10 证法 2 ) 当 或af(bf)(时, 或 就是方程 在 上的实根 . 以下总设 . 对分abxf),baff ,区间 , 设分点为 . 倘有 , 就是方程 在 上的实根.(为 ccf)(xf)( ,ba行文简练计, 以下总设不会出现这种情况 ) . 若 , 取 ; 若cf11 , 取 , 如此得一级区间 . 依此构造区间套cf)(cba11 , , 1ba , nba, 对 ,有 . 由区间套定理, , 使对任何 ,nnnbff)( ,)( 0x有 . 现证 . 事实上, 注意到
20、 n时 和 以, 0nbax0xfna0nb0x及 递增, 就有f.nnbffaf )()(0令 n, 得 于是有 .,0xfx0xf例 6 设在闭区间 上函数 连续, 递增 , 且有 , b)()(g)(agf. 试证明: 方程 在区间 内有实根 .)(bgf)(xgf ,ba（ 西北师大 2001 年硕士研究生入学试题 ）证 构造区间套 ,使 .由区间套定 nba)(,)(nnnngff 84理, 使对 , 有 . 现证 . 事实上, 由 在 上n, nba)(gf)(xg ,ba的递增性和 的构造以及 和 , 有 , nn.)( )g( )( bfaf 注意到 在点 连续，由 Heine
21、 归并原则, 有x, )(limffn).(limffn, . 为方程 在区间 )(gf)(g)(xg) ,(ba内的实根.例 7 试证明: 区间 上的全体实数是不可列的 .1,0证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间 上的全体实数是可列的, 10即可排成一列: ,21nx把区间 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含 ，记该区间为一 0 1x级区间 . 把区间 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含 ，记, 1ba ,1ba 2该区间为二级区间 . .依此得区间套 , 其中区间 不含,2 nba , nba. 由区间套定理, , 使对 , 有 . 当然有 .nx,21 , 1,0但对 有 而 , . 矛盾 ., nba nbanx
