离散数学-推理理论

1、3.3、 谓词演算的推理理论,谓词逻辑中的基本重言蕴含式,二、与量词有关的推理规则,1. US(全称特定化规则),使用此规则时要注意： （1）y为任意不在A(x)中约束出现的个体变元； （2）c为任意的个体常元 。,。

2、殆腊唾镐惊援袒端类沁骸拎黍侍秸斌劳枫湛略差蓉旦取枝柬遭超腻皿真宽离散数学-合式公式和谓词推理离散数学-合式公式和谓词推理,2-3 谓词公式 与翻译,荡菌形刽户寒秩片快嘻赦哨旬贱憨蛹酶抠梗详鹏比恶聊嘘宠怨端氰崔泛炔离散数学-合式公式和谓词推理离散数学-合式公式和谓词推理,定义： 谓词演算的合式公式,伏输秉勇包黎实笼锁滴艾康躇巴原然厚共峰今渝矽讶厦棘指诞乏鞘嫂杖馏离散数学-合式公式和谓词推理离散数学-合式公式和谓词推理,（1）原子谓词公式是合式公式。 （2）若A是合式公式，则A是一个合式公式。 （3）若A和B都是合式公式，则。

3、第二章 命题演算的推理理论,2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统 2.2.1 假设推理系统的组成 2.2.2 假设推理系统的推理过程2.3 命题演算的归结推理法,22 命题演算的假设推理系统,假设推理系统：由于它的推理形式类似于日常生活中的推理形式， 也称为自然推理系统。,2.2.1 假设推理系统的组成,一、扩充的推理规则二、假设推理过程三、推理定理四、假设推理证明定理的方法,一、扩充的推理规则,分离规则的推广 A1，A2，AnA(2) 肯定前提律 A1，A2，A3，An Ai,分离规则的推广,设有如下的推理规则 R：若A1，A2，An ， 可以推出A，。

4、目录（数理逻辑）,第一章 命题演算基础 （6学时） 第二章 命题演算的推理理论（4学时） 第三章 谓词演算基础（5学时） 第四章 谓词演算的推理理论（5学时） 第五章 递归函数论（4学时）,第二章 命题演算的推理理论,例 判断下面各推理是否正确:(1) 如果天气凉快,小王就不去游泳。天气凉快, 所以小王没去游泳。(2) 如果天气凉快,小王就不去游泳。天气不凉快, 所以小王去游泳了。,推理是否正确： 形式化,引入符号： P表示天气凉快，Q表示小王去游泳 (1)如果天气凉快,小王就不去游泳。天气凉快, 所以小王没去游泳。(PQ)P)Q (2)如果天气凉快,小。

5、第二章 谓词逻辑,第3节 一阶逻辑推理理论,推理的定义,称蕴涵式(A1A2Ak)B为推理的形式结构，A1, A2, , Ak为推理的前提，B为推理的结论。若(A1A2Ak)B为永真式，则称从前提A1, A2, , Ak推出结论B的推理正确（或说有效），B是A1, A2, , Ak的逻辑结论或称有效结论，否则称推理不正确。若从前提A1, A2, , Ak推出结论B的推理正确，则记为(A1A2Ak)B。,推理规则,在证明中常用的推理规则有： 1. 前提引入规则P：在证明的任何步骤都可以引入已知的前提； 2. 结论引入规则：在证明的任何步骤都可以引入这次已经得到的结论作为后续证明的前提； 3. 置换。

6、1,离散数学 Discrete Mathematics,2.5 逻辑推理,命题逻辑推理,推理,前提集,推理规则,有效论证,有效结论,推理的过程就是证明永真蕴含式的过程,定义1：令H1，H2，Hn是已知的命题公式(前提)，若有 H1H2Hn C ，则称C是H1，H2，Hn的有效结论，简称结论。,真值表法 依据A B的概念和定理 直接证法 利用P、T规则 间接证法 CP规则、反证法,判别有效结论的常用方法,论证步骤：,自然语 言描述,结论有效？,结论成立,结论不成立,1. 用全真值表证明要证明C 为前提A1，A2，An 的有效结论，只需构造命题公式A1A2AnC的真值表，证明它是重言式。 2. 用部分真。

7、第四章 谓词 演算的推理理 论 4.1 谓词 演算的永真推理系 统 4.2谓词 演算的假 设 推理系 统 4.2.1 假 设 推理系 统 的 组 成及 证 明方法 4.2.2 推理 过 程的推 导过 程 4.3谓词 演算的 归结 推理系 统斯呵慢船妖相落蓉壶醇秸池觉螺祟琢侄唤篇耸瞩肌耘敖恿僳类涵夺痹磐溃离散数学第四章谓词演算的推理理论-假设推理系统离散数学第四章谓词演算的推理理论-假设推理系统一、假 设 推理系 统 的 组 成(附加前提证明法 )如果 ， A B，则 (AB)，也可表示为：如果 A1， A2， ， An， A B，则 A1， A2， ， An (AB)。依次类推可得定理： (A1(A2(。

8、第四章 谓词演算的推理理论,4.1 谓词演算的永真推理系统 4.2谓词演算的假设推理系统 4.3谓词演算的归结推理系统4.3.1 置换4.2.2 归结反演系统4.3.3 霍恩子句逻辑程序,4.3 谓词演算的归结推理系统,问题：从公式集S出发，证明目标公式T。在归结系统中: 首先否定目标公式， 然后将这个公式加到公式集S中， 再将该公式化成子句集， 若能归结成空子句(用表示)， 则认为证明了该公式T。,引例(p45),设有语句串及它的符号表示如下： (1)无论谁能读就有知识；x(R(x) L(x) (2)所有的海豚均没有知识；x(H(x) L(x) (3)有些海豚有智慧。x(H(x)I(x)从这。

9、第二章 命 题 演算的推理理 论 2.1 命 题 演算的公理系 统 2.2 命 题 演算的假 设 推理系 统 2.2.1 假 设 推理系 统 的 组 成 2.2.2 假 设 推理系 统 的推理 过 程 2.3 命 题 演算的 归结 推理法恩强禾寅磕儡诊毋揽评准果绽群唤婉核堰授陇匪界粤盒骋宴位镇售盔沿狮离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统2 2 命 题 演算的假 设 推理系 统 假 设 推理系 统 ：由于它的推理形式 类 似于日常生活中的推理形式， 也称 为 自然推理系 统 。 稍课矮彪乙对中弊倡疯慢滁柠抓赣肛瞎茨珠宁氓。

10、1,第二章谓词逻辑,2-7 谓词演算的推理理论授课人：李朔Email:chn.nj.lsgmail.com,2,一、谓词演算推理规则,谓词演算的推理方法,可以看作是命题演算推理方法的扩张。在一阶逻辑中，推理的形式结构仍为 H1 H2 HnB。 若该式为逻辑有效式，则称推理正确，称B是H1 ，H2 ，Hn，的逻辑结论，记H1 H2 Hn B。一般的，将逻辑有效蕴含式称为推理定律。命题逻辑中的重言蕴含式，在一阶逻辑中的代入实例，都是一阶逻辑中的推理定律。另外，每个等值式都可产生两条推理定律。,3,一、谓词演算推理规则,谓词演算推理规则P规则：前提在推导过程中的任何时候。

11、1,第二章谓词逻辑,2-7 谓词演算的推理理论 授课人：李朔 Email:chn.nj.lsgmail.com,属弦驰撬逛咀纪荷肄秉靶爷昔员咱鹏蓝咒粹蛛诬茅虾竣盏返盏暖陛蔚倘炮离散数学-2-7 谓词演算的推理理论离散数学-2-7 谓词演算的推理理论,2,一、谓词演算推理规则,谓词演算的推理方法,可以看作是命题演算推理方法的扩张。 在一阶逻辑中，推理的形式结构仍为H1 H2 HnB。若该式为逻辑有效式，则称推理正确，称B是H1 ，H2 ，Hn，的逻辑结论，记H1 H2 Hn B。 一般的，将逻辑有效蕴含式称为推理定律。命题逻辑中的重言蕴含式，在一阶逻辑中的代入实例，都是一阶。

12、第三章作业在自然推理系统 P 中构造下列证明:要求: 直接证明法, 附加前提证明法 , 归谬法各至少使用一次. 格式参照第三章幻灯片1. 若你发给我电子邮件信息, 则我将完成编写程序. 若你不发给我电子邮件信息 , 则我将早早地去睡觉. 若我早早地去睡觉, 则我将感觉精力充沛地醒来. 所以, 若我不完成编写程序, 则我将感觉精力充沛地醒来.2. 今天下午没有出太阳并且今天比昨天冷. 只有今天下午出太阳, 我们才去游泳. 若我们不去游泳, 则我们将乘独木舟游览. 若我们乘独木舟游览, 则我们将在黄昏时回家. 所以, 我们将在黄昏时回家.3. 前提: qp, q。

13、离散数学 Discrete Mathematics,第6讲 27 谓词演算的推理理论,要求：熟练掌握谓词的推理理论与推理方法，会用谓词的推理理论与推理方法进行推理。重点：应用谓词的推理理论与推理方法进行推理。难点：正确理解和运用有关量词规则。,谓词逻辑是命题逻辑的进一步深化和发展，谓词演算的推理方法，可以看作是命题演算推理方法的扩张。因此命题逻辑的推理理论在谓词逻辑中几乎可以完全照搬，只不过这时涉及的公式是谓词逻辑的公式罢了。在谓词逻辑中，某些前提和结论可能受到量词的约束，为确立前提和结论之间的内部联系，有必要消去量词和添。

14、1,2.4 命题逻辑推理理论,2.4.1 推理的形式结构 推理的前提与结论,正确推理 推理定律 2.4.2 自然推理系统P 推理规则 直接证明法, 附加前提证明法, 归谬法(反证法), 归结证明法,2,有效推理,定义2.20 若对于每组赋值, A1A2 Ak 为假, 或者 当A1A2Ak为真时, B也为真, 则称由前提A1,A2, Ak 推B的推理有效或推理正确, 并称B是有效的结论定理2.8 由前提A1, A2, , Ak 推出B 的推理正确当且仅当A1A2AkB 为重言式.,3,推理的形式结构,形式(1) A1A2AkB 形式(2) 前提: A1, A2, , Ak结论: B 推理正确记作 A1A2AkB判断推理是否正确的方法: 真值表法 等值演。

15、1,1.6 命题逻辑的推理理论,推理的形式结构 判断推理是否正确的方法 推理定律与推理规则 构造证明法,2,推理的形式结构问题的引入,推理: 从前提出发推出结论的思维过程前提是指已知的命题公式，结论是推出的命题公式 例 如果天气凉快，小王就不去游泳.天气凉快.所以小王没有去游泳.p:天气凉快，q:小王去游泳前提： (p q)p结论： q 问题：如何判断推理的是否正确？,3,推理的形式结构,定义 “A1, A2, , Ak 推B” 的推理正确当且仅当 A1A2AkB为重言式. 若对于每组赋值，A1A2 Ak 为假，或 当A1A2Ak为真时, B也为真, 则称由A1,A2, Ak 推B的推理正。

16、1,第三章 命题逻辑的推理理论,2,第一节 推理的形式结构式,一、何为推理？何为证明？,3,4,5,6,7,8,9,10,11,第二节 自然推理系统P,12,二、自然推理系统P,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,第三章 习题课,23,24,25,26,。

17、1,2.4 命题逻辑推理理论,2.4.1 推理的形式结构 推理及其形式结构 推理定律 2.4.2 自然推理系统P 自然推理系统的定义 证明方法,2,2.4.1 推理的形式结构,一、什么是推理,定义2.19 设A1，A2 ， ，Ak ，B都是命题公式，若对于每组赋值, A1A2 Ak为假, 或者当A1 A2 Ak为真时，B也为真, 则称由前提A1，A2，, Ak推B的推理有效或推理正确, 并称B是有效的结论。,3,定理2.8 由前提A1, A2, , Ak 推出B 的推理正确当且仅当A1 A2 Ak B为重言式.,如果把（A1 A2 Ak ） B为永真式记为：,上式的含义？,4,二、推理的形式结构,定义2.20 称（A1 A2 Ak ） B为由。

18、1.6 推理理论,一、有效论证推理规则 二、基本蕴涵式 三、自然推理系统P 四、推理证明的方法,一、有效论证与推理规则,定义：A1A2AnA,其为永真式，则称由前提A1,A2,An得到有效结论A；从前提公式得到有效结论的过程称为正确推理。 若AB是永真式，则记为AB；若AB是永真式，则记为AB。 前提一致和不一致：如果前提A1A2An为可满足式，则称为前提A1,A2,An一致。,实例分析,判断推理是否正确：张红不管有无空闲都不看电影。张红看了电影。所以张红有空闲时间又没有空闲时间。 解：P:张红有空闲时间；Q：张红看电影 。前提：A1=P P QA2=Q结论：A=P P。