1、第二章 命 题 演算的推理理 论 2.1 命 题 演算的公理系 统 2.2 命 题 演算的假 设 推理系 统 2.2.1 假 设 推理系 统 的 组 成 2.2.2 假 设 推理系 统 的推理 过 程 2.3 命 题 演算的 归结 推理法恩强禾寅磕儡诊毋揽评准果绽群唤婉核堰授陇匪界粤盒骋宴位镇售盔沿狮离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统2 2 命 题 演算的假 设 推理系 统 假 设 推理系 统 ：由于它的推理形式 类 似于日常生活中的推理形式， 也称 为 自然推理系 统 。 稍课矮彪乙对中弊倡疯慢滁柠抓赣肛瞎茨珠宁氓远灯颖琼彦栗容缕驻逮
2、蔷离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统2.2.1 假 设 推理系 统 的 组 成 一、 扩 充的推理 规则 二、假 设 推理 过 程 三、推理定理 四、假 设 推理 证 明定理的方法街吴窟冉炔蝗瞅勋岔缕送遏赏罩咸椅仑哉沙霄冈炊瘸曝乞纸疟瑞框蝉庭漠离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统一、 扩 充的推理 规则分离规则的推广A1， A2， ， AnA(2) 肯定前提律A1， A2， A3， ， An Ai 茧中只抿罢樊菌核岳傍闹只枝惰掉动丙灶功群开畸姿檬琴啄弊涉堰碰翠汰离散数学第二章命题演
3、算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统分离 规则 的推广设有如下的推理规则R：若 A1， A2， ， An ， 可以推出 A，即R： A1， A2， ， An A，则称 A是由 A1， A2， ， An实施规则 R而得。设 =A1， A2， ， An，则上述规则 R可以记为 A其中 为形式前提， A为形式结论。郡雌彼蛤体徘箕枷棋对蚤此急自匿哆井弃鲸蜡阔私狈溜茎脚票观赞绸纶浸离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统肯定前提律A1， A2， A3， ， An Ai (i=1， 2， ， n)，即前提中的任何命题均
4、可作为结论。企悲谅滴饥惦稠括桶竿筷闯赠便霸岁吾桶讣馈责灿鄙弄哈祷矿汝勿刮既瞄离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统二、假 设 推理 过 程 定 义 : 如果能 够 作出一系列合式公式序列 A1， A2, A3, ， An， 它 们 (诸 Ai)满 足下列性 质 ： (1) 或 为 公理之一； (2) 或 为 公式 1, 2, , k之一，每个 i称 为 假 设 ； (3) 或由前面的若干个 Ag、 Ah利用分离规则 而得； (4) An=B。 称 这 个公式序列 A1， A2, ， An为 由公式 1， 2， ， k证 明 B的 证 明 过
5、程 .1， 2， ， k B悸迸掣邮未朴套断盔垄狼眶锄棵谗讼炯羔刊剥瘁牟姬膊随撑痔仅之辑已筐离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统三、推理定理 (附加前提 证 明法 ) 如果 ， AB， 则 AB 要证 (AB)， 即要证 ， A B摩度咎撤蕴枣哟啤哟丝呀捧站谈阳蒂坚使暂训绅孪期扮平馆薛暗暮氓惋浚离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统附加前提 证 明法 如果 A1， A2， ， An-1 ， An，AB， 则 A1， A2， ， An-1 ， An AB 进 而，有下面定理： A1， A
6、2 ， An-1 An (AB) A1， A2， ， An-2 An-1 (An (AB) 依次 类 推可得定理： A1(A2( (An(AB)冀链平捶克漱绚嚼稽嗽尚胃耸蛙蛾庙潦饭缝负贰耗竣课原烷娥款疟奴仆操离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统(2) 归谬 法 如果 ， A B 且 ， A B， 则 A。 此定理称 为 反 证 律。 这 里 B是一个公式。其它公理、规则同前节。醉牌药段吻捷古疫哺踏便寿猜獭哗体者垦慢蕊赘扮逆钱或簿韦坪跟叫井膏离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统四、假
7、设 推理 证 明定理的方法 (1) 把待 证 公式的前件一一列出，作 为 假设 (或把待 证 公式的后件的否定作 为 假 设 )，并在式子后注明 为 假 设 。 (2) 按上述介 绍 的推理方法 进 行推理，但此 时 不能 对 假 设实 施代入 规则 （因 为 假 设不是永真公式）。 (3) 当推 导 出待 证 公式的后件 时 (或推 导 出矛盾 时 )就 说证 明了 该 定理。腾套桌抚审碴琐尘巫糖迸遵船佳涩嘛笨濒薄爹数梭祖墙窑完领删伸麦册裂离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统第二章 命 题 演算的推理理 论 2.1 命 题 演算的公理系
8、 统 2.2 命 题 演算的假 设 推理系 统 2.2.1 假 设 推理系 统 的 组 成 2.2.2 假 设 推理系 统 的推理 过 程 2.3 命 题 演算的 归结 推理法赖兔页鸿灵庭酞钥毗少酷婪隋狗藕狱瓢妈泊赁吸睫操扔盈溅憋典形谁郑拱离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统例 1：求 证 (P(Q R)(PQ)R) 证 明 : (1) P(Q R) 假 设 (2) P Q 假 设 (3) (PQ)P 公理 8 (4) (PQ)Q 公理 9 (5) P (3)(2)分离 (6) Q (4)(2)分离 (7) Q R (1)(5)分离 (8
9、) R (6)(7)分离 由假 设 推理 过 程的定 义 知： P(Q R)， P Q R 由推理定理得： (P(Q R)(PQ)R)(6) R 在 (5)中用 R代入 P有错吗 ?不能对 (5)实施代入规则 !予迷莎豪毗亚芥珐点灸疹珍辨照木嚏筒谓肠凿誉磨颁咖假胺蜀抚殃聂搞蟹离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统例 2(p21)求 证 ： (PP) P 证 明： (1)PP 假 设 (2)P 假 设 ， 结论的否定 (3)P (1)(2)分离 显 然， (2)与 (3)表明推出矛盾 (PP), P P (PP), P P 由反 证 法 得：
10、 (PP) P 由推理定理得： (PP) P哗拾罪拽休铭剪叹倔忽继丑轴驴拧牟逗析钡成萨立净矽渤爬脉枕诅讣肋撵离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统例 (SQ)(PQ)S)P解 : (1) S Q 假设(2) PQ 假设(3) S 假设(4) P 假设 , 结论的否定(5) Q (1)(3)分离(6) Q (1)(3)分离显然， (5)与 (6)表明推出矛盾 : SQ, PQ, S, P Q SQ, PQ, S, P Q由反证法推理定理得： (SQ)(PQ)S) P到韦挫寒项寄抱尼沼郝帽凸晋愿办柄儡缨腻懈漳栖日哮灰掘腊贱菩税英谍离散数学第二章
11、命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统例 (P(QR)(PQ)(PR)解 : (1) P 假设(2) PQ 假设(3) P(QR) 假设(4) Q (1)(2)分离(5) QR (1)(3) 分离(7) R (4)(5)分离即证得 P(QR), PQ, P R亦即证得命题： (P(QR)(PQ)(PR)下智飞烦獭联泉赎洱窒怜鸥鉴宁鞭决怪迅悄婉桨镀偷教姻遵草跑袖掣詹鼎离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统例 (PQ)R)(P(QR)解 : (1) P QR 假设(2) P 假设(3) Q 假设(4) P
12、(Q(P Q) 公理 10(5) Q(P Q) (2)(4)分离(6) P Q (3)(5)分离(7) R (1)(6)分离即证得 (P Q)R, P, Q R亦即证得 (PQ)R)(P(QR)梢谣呵冯躬逗篆莫扦淡侍屹俺馏幌寨蔼未炯甘檀墅没舌羹术保辣矢哀志溺离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统例 (PQ)(PR)(QS)(SR)解 : (1) (P Q) (PR) (QS) 假设(2) P Q P 公理 8(3) P QQ 公理 9(4) (P Q) (PR) (QS) (P Q) 代入 (2)(5) (P Q) (PR) (QS) (P
13、 R) (QS) 代入 (3) (6) P Q (1)(4)分离(7) (PR) (QS) (1)(5)分离(8) (PR) (QS) (PR) 代入 (2)(9) (PR) (QS) (QS) 代入 (3)(10) PR (7)(8)分离(11) QS (7)(9)分离(12) P (2)(6)分离(13) Q (3)(6)分离(14) R (10)(12)分离(15) S (11)(13)分离(16) S(R(S R) 公理 10(17) R(S R) (15)(16)分离(18) S R (14)(17)分离二乎拷徒砚浪恤存崎始眩待素弄涵闷琐舷辨货毫擦塞娟祷某傻原雍鸽屋扁离散数学第二章命
14、题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统例 QQ心情 谜语 现 在是晚上十一点，天很暖。如果我考 试 通过 了， 那么我很快 乐 。 如果我快 乐 ， 那么阳光 灿烂 。解： 设 P： 我考 试 通 过 了， Q： 我很快 乐 ， R： 阳光 灿烂 ， S： 天很暖。 前提： PQ ， QR ， R S涪熙驰添藐蔽珠垮哥铸苫瓮综辱判第济醋柑搜柒恬飞东游脾甩铲夯陨苞稽离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统例 (续 ) QQ心情 谜语 (1) PQ 前提引入(2) QR 前提引入(3) (PQ)(QR)(PR
15、) 公理 3(4) (QR)(PR) (1)(3)分离(5) PR (2)(4)分离(6) R S 前提引入(7) P QP 公理 8(8) R SR (7)中 ,P用 R, Q用 S代入(9) R (7)(8)分离(10) (PQ)(QP) 拒取式，定理 3(p18)(11) (PR)(RP) (10)中 Q用 R代入(12) RP (5)(11)分离(13) P (9)(12)分离 所以有效 结论 是： 我考 试 没通 过 。扇焚伸盆彩励契徽孟应斋崭槐槛乒馁犁歌褐篓猪斩僧棵傲招扯庇明继泌疙离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统例 甲是否
16、盗窃了 电脑 ？ 公安人 员审 一件盗窃案。 已知： (1) 若甲盗窃了 电脑 ， 则 作案 时间 不能 发 生在午夜前。 (2) 若乙 证词 正确， 则 在午夜 时 屋里灯光未灭 。 (3) 若乙 证词 不正确， 则 作案 时间发 生在午夜前。 (4) 午夜 时 屋里灯光 灭 了。 问 ：甲是否盗窃了 电脑 ？解 设 p： 甲盗窃了电脑r： 作案时间发生在午夜前， s： 乙证词正确， t： 午夜时屋里灯光灭了。 前提： p r， s t， sr ， t枕撵搜槛半船垛券消源肌牟锑豪孩攘犬柬茸宋保眉调倦籍恃恕螟焕础狐散离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论
17、-假设推理系统例 (续 ) 甲是否盗窃了 电脑 ？ (1) p r (2) s t (3) sr (4) t (5) (PQ)(QP) 公理 14 (6) (st)(ts) 代入 (6) (7) ts (3)(7)分离 (8) s (5)(8)分离 (9) r (4)(9)分离 (10) (pr)(rp) 代入 (6) (11) rp (2)(11)分离 (12) p (10)(12)分离因此可得结论： 甲不是盗窃犯。 疯模快诺簧痘姆碴嘉爆建少赡募逻恭客趁苛肯人购汛捆嚎涕昭湿戴浚环挖离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统例 谁 是盗窃犯？
18、公安人 员审 一件盗窃案。 已知： (1) 若甲盗窃了 电脑 ， 则 作案 时间 不能 发 生在午夜前。 (2) 若乙 证词 正确， 则 在午夜 时 屋里灯光未 灭。 (3) 若乙 证词 不正确， 则 作案 时间发 生在午夜前。 (4) 午夜 时 屋里灯光 灭 了。 问 ： 谁 是盗窃犯？ 解 设 p： 甲盗窃了电脑r： 作案时间发生在午夜前， s： 乙证词正确， t： 午夜时屋里灯光灭了。q： 乙盗窃了电脑前提： p r， s t， sr ， t， p q珐豫滇葵骋聂涯紊痔隘痔凋晓和置该誊茶悸载真巳瓣哄耳岔缸涉证巩瘤颁离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理
19、理论-假设推理系统例 (续 ) 谁 是盗窃犯？ (1) p q (2) p r (3) s t (4) sr (5) t因此可得结论： 乙是盗窃犯。 (PQ)(QP) 公理 14(st)(ts) 代入 (6)ts (3)(7)分离s (5)(8)分离r (4)(9)分离(pr)(rp) 代入 (6)rp (2)(11)分离p (10)(12)分离(A B) (AB) 析取三段论(p q) (pq) 代入 (14)p q (1)(15)分离q (13)(16)分离籍洞件蹿派付香尧鸵肌计淡拙虾撮盯望瘩去辣咽弘救指抖丽叁况驻裹佛年离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统第二章 命 题 演算的推理理 论 2.1 命 题 演算的公理系 统 2.2 命 题 演算的假 设 推理系 统 2.2.1 假 设 推理系 统 的 组 成 2.2.2 假 设 推理系 统 的推理 过 程 2.3 命 题 演算的 归结 推理法怀庙取类船扼德沃吭大靖厘瞥抑惺坐瘴陌原砂彦形醒屋哼禽蛙溃翔呵碉肄离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统
