函数极限存在条件

1、一. 函数极限存在的夹逼准则,定理2.,且,第六节,极限存在准则及,两个重要极限,证明,证: 当,时, 设,则,当,则,从而有,故,也可写为,时, 令,用于1 型,例： 1、求,原式,公式：,证: 当,即,时，,例. 1、求,解: 原式,2、 求,解: 原式 =,3、 求,解: 令,则,因此,原式,令,第一章,都是无穷小,第七节,引例 .,但,无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,无穷小的比较,定义：,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,记作,记作,或,例如 , 当,时,又如 ，,时,是关于 x 的。

2、1 隐 函 数,返回,四、隐函数求导数举例,一、隐函数概念,三、隐函数定理,方程式所确定的函数,通常称为隐函数例如：,一、隐函数概念,显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示,的函数称为显函数例如：,隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个,隐函数一般定义：,则成立恒等式,有惟一确定的,则称由方程 (1) 确定了一个定义在 , 值域含于,的隐函数. 如果把此隐函数记为,取值范围例如由方程 可确定如下两,个函数：,注2 不是任一方程 都能确定隐函数,例如 显然不能确定任何隐函数,注1 隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要,化为显函数。

3、3 数列极限存在的条件,一 数列收敛的一个充分条件 单调有界原理 二 数列收敛的充要条件 Cauchy收敛准则 三 关于极限 四 数列 单调有界证法欣赏,一 单调有界原理,定义 称为单调上升的，若,称为单调下降的，若,单调增加和单调减少数列统称为单调数列,提问: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？,定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限,定理1的几何解释,以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生,数列极限存在的条件,数列极限存在的条。

4、3 03函数极限存在条件 定理1 海涅定理 归结原则 函数极限与数列极限的关系 注 1 本定理建立了函数极限与数列极限的关系 将函数极限的存在性转化为数列极限的存在性 2 本定理通常用来说明某一函数极限不存在 其实这个结论就是从一般到特殊的必然 同时 所有的特殊情况下均成立同一个结论 则一般的情况下结论必成立 数列极限情形与函数极限情形结论对照 定理1 例1 证 定理1 例2 以两种情形为例 定理。

5、3 函数极限存在的条件重点难点1. 归结原则也称为海涅定理, 它的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理, 从而我们可以利用归结原则和数列极限的有关性质来证明上一节中所述的函数极限所有性质.2. 单调有界定理是判定极限是否存在的一个重要原则, 同时也是求极限的一个有用的方法. 一般情形, 运用单调有界定理研究变量极限时, 需要首先利用单调收敛定理判定极限的存在性, 然后在运用运算法则求这个极限.3. 柯西准则是函数极限存在的充要条件. 函数极限的柯西准则是以数列的柯西准则为基础的. 该准则在数列极限、极限和广义积分理论中,。

6、第三节,函数极限存在的条件,一、极限存在准则,1.夹逼准则,证,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意:,准则 和准则 称为夹逼准则.,例1,解,由夹逼定理得,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,例2,证,(舍去),二、两个重要极限,(1),例3,解,(2),定义,类似地,例4,解,例5,解,三、小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准则; 单调有界准则 .,思考题,求极限,思考题解答,一、填空题:,练 习 题,二、求下列各极限:,练习题答案,。

7、在这一节中, 我们仍以 为代,一、归结原则,3 函数极限存在的条件,三、柯西收敛准则,二、单调有界定理,他类型的极限,也有类似的结论.,表, 介绍函数极限存在的条件. 对于其,返回,一、归结原则,都存在, 并且相等.,(充分性)（下面的证法很有典型性，大家必须学,恒有,现分别取,存在相应的,使得,注 归结原则有一个重要应用：,不存在.,解,密集的等幅振荡, 当然不会趋于一个固定的值. 为,了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原则,我,们写出 时的归结原则如下：,义, 则,作为一个例题, 下面给出定理 3.9 的另一种形式.,的,这样就得到一列严格递减的。