附录 矩阵和线性方程组简介

1、线性方程组与矩阵秩的若干问题,福建师范大学数计学院代数教研室 肖民卿2008年10月,引言,矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的，它是矩阵的最重要数字特征之一。 这里，我们结合“矩阵与线性方程组”的教学讨论以下内容： 矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用； 矩阵秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等号成立的充分必要条件。,一.线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用,m个方程n个未知元的线性方程组一般表示为：,线性方程组(1)的矩阵表示为：,其中，,线性方程组有解的判定定理,线性方程组(1)。

2、第二节 矩阵的秩 线性方程组的解,矩阵的秩的定义,矩阵的秩的求法,矩阵的秩的性质,线性方程组的解,一、矩阵的秩的定义,一些重要的结论:,二. 用初等变换求矩阵的秩,阶梯形矩阵的秩为其的非零行个数,初等变换不改变矩阵的秩.,求矩阵A的依据：定理 若矩阵A与B等价，则R（A）=R（B）行阶梯形矩阵的秩等于其非零行个数。所以，求矩阵A的秩，只要对矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中的非零行个数即是A的秩。,分析:因为矩阵A的秩为2,故经初等变换化为阶梯形矩阵后,最后一行的元素应该全部等于0.,从矩阵B的行阶梯形矩阵可知，本例。

3、1.1 消元法解线性方程组及其矩阵表示,一、消元法解线性方程组,二、用矩阵表示消元的过程,三、线性方程组解的情况,例1 解二元线性方程组,解: 用高斯消元法, （1.1）, （1.2）,（1.1）,（1.2）, （1.3）,一、消元法解线性方程组及几何意义,（1.3）, （1.4）,二元线性方程组解的几何解释,从行图像来看，,两直线交点（x=1，y=2）就为 方程组的解。,从列图像来看，方程组可表示为向量形式：,列向量的线性组合,当x=1，y=2时， 可表示为 和 的线性组合。,当左侧向量1、2 不共线，其所有的组合生成了整个平面。故对于所有的右侧向量b，都可找到唯。

4、1,第五章 解线性方程组的直接方法,计算方法, 矩阵三角分解法,2,本讲内容,一般线性方程组 LU 分解与 PLU 分解,对称正定线性方程组平方根法Cholesky 分解,对角占优三对角线性方程组追赶法,3,LU 分解,矩阵的 LU(Doolittle) 分解,矩阵的 LDR 分解,克洛脱 (Crout) 分解,4,计算 LU 分解,利用矩阵乘法直接计算 LU 分解,L U = A,比较等式两边的第一行得：,u1j = a1j,比较等式两边的第一列得：,比较等式两边的第二行得：,比较等式两边的第二列得：,( j = 1, n ),( i = 2, n ),( j = 2, n ),( i = 3, n ),5,计算 LU 分解,第 k 步：此时 U 的前 k-1 。

5、1.5 线性方程组和克莱姆法则,克莱姆法则,2.,线性方程组的基本概念,1.,（1）,:未知量，,:常数项或方程的右端,(这里m与n未必相等),:系数,一、线性方程组的基本概念,线性方程组的解:一组数,方程组中的未知量,时，方程组中的每个,如果,则方程变成,（2）,（2）叫做(1)的对应齐次线性方程组，而（1）称,为非齐次线性方程组.显然，,是,齐次线性方程组（2）的解，并称为（2）的零解,当用它们依次替换,方程都成立.,当m=n时,叫做n阶线性方程组.,它的系数,组成的行列式,称为方程组,系数行列式.,定理（克莱姆法则）,系数行列式,则方程组有惟一解,若线。

6、1,线性代数,2,第二章 矩阵 2.1 矩阵 2.2 矩阵的运算 2.3 逆矩阵 2.4 线性方程组的矩阵解法,3,数的乘法满足交换律 ，且当 时，有 . 矩阵的乘法一般不满足交换律 但当 时， 与 有什么关系？ 例如：,2.3 可逆矩阵,第二章 矩阵,4,2.3 可逆矩阵,第二章 矩阵,注: A的逆矩阵记为A1.,1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得,AB = B。

7、习题课,一、初等变换,三种初等变换都是可逆的, 且其逆变换是同一类型的初等变换.,二、矩阵的等价,如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵B, 则称矩阵A与矩阵B等价. 记作AB.,三、初等矩阵,定义: 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.,对调两行或两列,对调E中第i, j两行, 即rirj, 得初等方阵:,用m阶初等矩阵Em(i, j)左乘A=(aij)mn, 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第i 行与第j 行对调(rirj).用n阶初等矩阵En(i, j)右乘A=(aij)mn, 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的第i 列。

8、第三章 行列式,3.1 线性方程组和行列式,3.2 排列,3.3 n阶行列式,3.4 子式和代数余子式 行列式依行(列)展开,3.5 克拉默法则,3.1 线性方程组和行列式,一、内容分布 3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 3.1.2 行列式在线性方程组中的应用 二、教学目的 1.了解二阶、三阶行列式的定义。 2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。 三、重点难点 利用对角线法则计算二阶、三阶行列式,3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则),二阶行列式,我们用记号,表示代数和,称为二阶行列式, 即,三阶行列式,我们用记号,表示代数和,称为三阶行列式. 。

9、1 第三章矩阵的初等变换与线性方程组一 矩阵的初等变换 第四章线性方程组和非线性方程组的迭代法 第一节引言 是一个向量序列 定义 与第二章单个方程的想法类似 我们按某种方式构造一个序列 使这个序列收敛到精确解 由于方程组的解是一个向量 所以。

10、 2 2矩阵的秩 2 3线性方程组的解 方程组与其增广矩阵 augmentedmatrix 一一对应 总是有解的 x 0就是一个解 二 非齐次线性方程组 通解为 例5 当k为何值时 方程组只有零解 有非零解 若有非零解 求出所有解 。

11、1,第二章：线性方程组。,上一章的克莱姆法则只能解决部分适合条件方程个数与未知量个数相等的线性方程组。科学技术和经济管理中的许多问题往往可以归结为解一个线性方程组，一般这样的方程组中方程个数与未知量个数是不同的， 对这种方程组的研究在理论上和应用上都具有重要意义，也是本章的主要任务。,本章主要解决两个问题 ： 1 . 线性方程组求解方法 矩阵消元法及解的结构 。 2 . 为了解决第一个问题, 需要引进 n 维向量的概念，并讨论 n 维向量的 线性关系 。,2,第一节：矩阵消元法本节主要介绍以下两点 一：矩阵消元法 解线性方程组。

12、MATLAB矩阵分解与线性方程组求解 数学与信息科学系 汪远征,4. MATLAB矩阵分解与线性方程组求解,4.1 矩阵分解 4.2 秩与线性相关性 4.3 线性方程的组的求解 4.4 特征值与二次型,4.1 矩阵分解,4.1.1 LU分解 矩阵的三角分解又称LU分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。 Matlab使用函数lu实现LU分解，其格式为： L,U = lu(A) 其中U为上三角阵，L为下三角阵或其变换形式，满足LU=A。,4.1 矩阵分解,4.1.1 LU分解 L,U,P = lu(A) U为上三角阵，L为下三角阵，P为单位矩阵的行变换矩阵，满足LU=PA。 例4。

13、2.1线性方程组与矩阵的定义,矩阵求解线性方程组,用矩阵求解线性方程组,矩阵与线性方程组,矩阵解线性方程组,矩阵线性方程组,线性方程组和矩阵,矩阵的初等变换与线性方程组,增广矩阵解线性方程组,用逆矩阵解线性方程组。

14、 初等变换的定义 换法变换 倍法变换 消法变换 三种初等变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换 反身性 传递性 对称性 矩阵的等价 三种初等变换对应着三种初等矩阵 初等矩阵 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 换法变换 对调两行 列 得初等矩阵 倍法变换 以数 非零 乘某行 列 得初等矩阵 消法变换 以数乘某行 列 加到另一行 列 上去 得初等矩阵 经过初等行变换 可把矩阵化。

15、实验矩阵 向量和线性方程组的运算 试验目的 掌握矩阵初等变换 求矩阵的秩 求向量组的最大无关组操作 熟悉非齐次方程组求通解的方法 预备知识 1 实现矩阵A初等行变换命令 1 交换A的第i行与第j行 A i j A j i 2 将A的第i行乘以数k A i k A i 3 将A的第j行的k倍加到第i行上 A i A i k A j 2 求矩阵A的秩命令 rank A 3 将矩阵A化为最简行阶梯形矩阵。

16、北师大版高中数学选修4 2多媒体课件 可逆矩阵与线性方程组 复习 如何求逆矩阵 对于矩阵何时存在逆矩阵 是否存在一个x 使Mx 实例 表示逆时针旋转90 x 从几何上可知x M 1 M 1 表示顺时针旋转90 知道M有逆矩阵M 1 抽象概括。

17、鞍山师范学院数学系 13 届学生毕业设计（论文）开题报告课题名称：浅谈线性方程组和矩阵方程 学生姓名：田鸽 专 业：数学与应用数学班 级：10 级 1 班学 号： 10 号指导教师：裴银淑2013 年 12 月 24 日一、 选题意义 1、 理论意义 ： 基于线性方程组和矩阵在线性代数以及在各个领域的广泛应用，再加上计算机和计算方法的普及发展,为矩阵的应用开辟了广阔的前景.通过矩阵来解线性方程组大大简化了计算过程,为解决许多数学问题提供了一种研究途径.研究该课题的意义是为了对矩阵在解线性方程组中的广泛应用有一个更深的了解与掌握.。求线性。

18、,左列 = 右行,？,？,？,AB = BA,AB=AC,1 2,线性代数同济六版,第 2 章 矩阵及其运算第一节 线性方程组和矩阵,课件制作：黄 明,2018年9月,一、线性方程组,n 元非齐次线性方程组,叫做 n 元齐次线性方程组 .,零解,系数行列式 D 不等于 0 时 ，齐次线性方程只有零解 .,系数行列式 D 等于 0 时 ，齐次线性方程有非零解 .,1、某班级同学早餐情况,这个数表反映了学生的早餐情况.,为了方便，常用下面的数表表示,二、矩阵概念的引入,2、某航空公司在，四城市之间的航线图,其中 表示有航班.,为了便于计算,把表中的 改成,空白地方填上 0（变定性为定量。

19、附录 矩阵和线性方程组简介,1.矩阵的概念定义1 由mn个数 排成m行n列的表称为mn型矩阵，记为A， 叫矩阵A的元素。当m=n 时，A称为n阶方阵。 返回,一个mn型矩阵A也可记为 ，或A=( )空间中一个(行)向量 可看成一个 13型矩阵一个mn型矩阵 可写成行向量，其分量为 列向量：其中相应地，A也可写成列向量，其分量为行向量。由方阵A的元素(位置不变)所构成的行列式记为|A|， 称为A的行列式。,定义2 如果两个mn型矩阵 的 相应元素相等，即 则称矩阵A与B相等，记为A=B。元素全为0的矩阵，叫零矩阵。如果一个n阶方阵主对角线上的元素都是1， 其它元素。