复变函数第二章答案

1、第二章 解析函数,基本要求： 1、掌握复变函数求导数； 2、掌握解析函数的判断及柯西.黎曼方程。3、初等函数的定义及性质。,1 解 析 函 数,2 函数解析的条件,3 初 等 函 数,x,y=meshgrid(-4:0.1:4); u=log(sqrt(x.2+y.2); surf(x,y,u),x,y=meshgrid(-4:0.1:4); v=atan(y./x); surf(x,y,v),前一个 不等式正确，后一个错误,。

2、1. 指数函数2. 对数函数3. 乘幂与幂函数4. 三角函数和双曲函数5. 反三角函数与反双曲函数,23 初等函数,23 初等函数,本节将微积分的初等函数推广到复变函数情形，给出基本初等函数的定义，研究这些基本初等函数的性质，并说明它的解析性。由此可以得到初等函数的相关性质。,1. 指数函数,指数函数的性质,定义 2.3.1,指数函数的概念,(3) 当I m (z)=0，即z=x R时，,注 此性质表明复指数函数是实指数函数的推广，因此我们可以简记,注 由此性质可得到Euler公式：,例1,例2,例3,周期性质是实变指数函数所没有的。,2. 对数函数,对数的概念,注 由定。

3、第二章 复变函数的积分,2.1 复变函数的积分,1 积分的概念,2 积分存在条件及性质,3 积分的计算,2.1.1 积分的概念,定义2.1 设 C是复平面上以z0为起点, Z为终点,在C上依次取分点,把曲线C分割为n个小段.,(如图),一点,做和数,其中，,令,如果分点的个数无限增多，并且极限,存在, 则称该极限值为函数 在曲线C上的积分,如果C是闭曲线，经常记作,为实值函数，那么这个积分就是定积分.,2.1.2 积分存在的条件及积分性质,定理2.1 设C是分段光滑(或可求长)的有向,存在，并且,从形式上可以看成,定理2.2 设光滑曲线,复变函数的积分具有如下一些性质.,(4) 。

4、第二章 解析函数,习题课,2、内容总结,1、重点和难点,3、习题处理,下页,返回,上页,1、重点与难点,重点：,难点：,1. 函数解析性的定义和判别；,2. 初等解析函数；,1. 解析函数的概念；,2. 多值函数单值化。,下页,返回,上页,2、内容提要,复变函数,解析函数,初等解析函数,它们之间的关系,极限,连续性,导数,微分,它们的关系,单值函数的定义和性质,指数函数,三角函数,双曲函数,对数函数,幂函数,解析判别命题,多值函数的定义和单值化,第一部分 复变函数极限、连续、 可导、可微和解析,定义性质及运算它们之间的关系判别命题 常见复变函数此类性质。

5、1第二章 复习题一、单项选择题：1函数 在点 则称 在点 解析。()wfz0()fz0A）连续 B）可导 C）可微 D）某一邻域内可微2函数 在点 的 条件指： (),)(,)fuxyiv(,)xyCRA） B）,vx,uvyxC） D）,uyx,ux3函数 把 平面上单位圆在第二象限弧段变成 平面上单位圆的 象限弧段.3wzZWA）第一、二、三 B）第二、三、四 C）第三、四、一 D）第四、一、二4函数 在区域 内有定义，则（ 1） ， 在区域(),)(,)fuxyiv(,)uxy(,)v满足 条件.（2） 在 连续，是 在区域 可微的 条件DCRxyD()fzA）必要非充分 B）充分非必要 C）充分必要 D）以上都不对5指数函数 的基。

6、第二章 解析函数,第一节 解析函数的概念第二节 函数解析的充要条件第三节 初等函数,1. 复变函数的导数定义2. 解析函数的概念,2.1 解析函数的概念,一. 复变函数的导数,(1)导数定义,如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导。,(1) z0是在平面区域上以任意方式趋于零。,(2) z=x+iy,z=x+iy, f=f(z+z)-f(z),例1,(2)求导公式与法则, 常数的导数 c=(a+ib)=0. (zn)=nzn-1 (n是自然数).,证明 对于复平面上任意一点z0，有,-实函数中求导法则的推广, 设函数f (z),g (z) 均可导，则f (z)g (z) =f (z)g(z)，f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z。

7、重点,1、复变函数积分的概念、性质和计算方法；2、单、复连通Cauchy定理(解析函数的基本定理)的应用；3、应用Cauchy公式（解析函数的基本公式）计算回路积分。,2、1 复变函数的积分,1、复变函数的积分定义,一般来说,复变函数的积分值与积分路径有关.,1）将复变函数的路积分化为两个实变函数的线积分,2、复变函数积分计算方法,可见 将复变函数的路积分转化为两个实变函数的线积 分，因此实变函数的线积分性质对复变函数而言均成立。,应学会利用y与x关系（y和x的关系显式,即积分路径表示式）将复函数线积分化为定积分或不定积分计算,注：,例。

8、梁昆淼 编,(第四版),高等教育出版社,主讲：冯 杰,第二章 复变函数的积分,2.2 柯西定理,2.3 不定积分,2.4 柯西公式,2.1 复变函数积分,第一篇 复变函数论,第二章 复变函数的积分,2.1 复变函数积分,一、复数积分的基本概念,对复变函 数求之和,记,1、复函数积分的定义,其中,将复变函数的实部和虚部分开,2、复函数积分的性质,6条性质与实函数的积分相同P23,解,路径(1),OB上：y=0； BA上：x=1,路径(2),由此可见，对于有些被积函数，积分与路径有关！,OC上：x=0； CA上：y=1,例2：计算积分,分别沿路径(1)和(2)，如图所示。,解,路径(1),路径(2),由。

9、第二章 复变函数的积分,2.1 复变函数的积分,1 积分的概念,2 积分存在条件及性质,3 积分的计算,2.1.1 积分的概念,定义2.1 设 C是复平面上以z0为起点, Z为终点,在C上依次取分点,把曲线C分割为n个小段.,(如图),一点,做和数,其中，,令,如果分点的个数无限增多，并且极限,存在, 则称该极限值为函数 在曲线C上的积分,如果C是闭曲线，经常记作,为实值函数，那么这个积分就是定积分.,2.1.2 积分存在的条件及积分性质,定理2.1 设C是分段光滑(或可求长)的有向,存在，并且,从形式上可以看成,定理2.2 设光滑曲线,复变函数的积分具有如下一些性质.,(4) 。

10、工程数学（复变函数） 第二章复习题,湖南大学数学与计量经济学院,一、选择题（每题2分，10题共20分）,二、判断题（每题2分，5题共10分）,三、填空题（每题2分，10题共20分）,四、计算题（每题6分，5题共30分）,五、证明题（每题10分，2题共20分）,。

11、第二章 复变函数的积分,本章介绍复变函数的积分概念，解析函数积分的主要性质. 重点是Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、Cauchy(高阶)导数公式.,2.1 复变函数的积分,1 积分的概念,2 积分存在条件及性质,3 积分的计算,2.1.1 积分的概念,定义2.1 设 C是复平面上以z0为起点, Z为终,在C上依次取分点,把曲线C分割为n个小段.,(如图),一点,做和数,其中，,令,如果分点的个数无限增多，并且极限,存在, 则称该极限值为函数 在曲线C上的积分,如果C是闭曲线，经常记作,为实值函数，那么这个积分就是定积分.,2.1.2 积分存在的条件及积分性质,定理2.1 设C。

12、第二章 复变函数的积分,本章介绍复变函数的积分概念，解析 函数积分的主要性质. 重点是Cauchy积分 定理、Cauchy积分公式、Cauchy(高阶)导 数公式.,2.1 复变函数的积分,1 积分的概念,2 积分存在条件及性质,3 积分的计算,2.1.1 积分的概念,定义2.1 设 C是复平面上以z0为起点, Z为终,在C上依次取分点,把曲线C分割为n个小段.,(如图),一点,做和数,其中，,令,如果分点的个数无限增多，并且极限,存在, 则称该极限值为函数 在曲线C上的积分,如果C是闭曲线，经常记作,为实值函数，那么这个积分就是定积分.,2.1.2 积分存在的条件及积分性质,定理2.1 。

13、第二章 解析函数 1 6题中 1 只要不满足C R条件 肯定不可导 不可微 不解析 2 可导 可微的证明 求出一阶偏导 只要一阶偏导存在且连续 同时满足C R条件 3 解析两种情况 第一种函数在区域内解析 只要在区域内处处可导 就处处解析 第二种情况函数在某一点解析 只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析 如果只在该点可导 而在其邻域不可导则在该点不解析 4 解析函数的虚部和实部是调和函数 。

14、第二章 解析函数1用导数定义，求下列函数的导数：(1) ()Re.fxz解: 因 0()(limzffz0()Re()elimzzz0lizze(e)z00Rlimlim(),z xyzxziy当 时,上述极限不存在,故导数不存在；当 时,上述极限为 0,故导数为 0.0z2下列函数在何处可导?何处不可导? 何处解析?何处不解析?(1) 2().fz解: 2222|()(),fzzxyixy这里 2(,)(),.uyv222, .x yy x要 ，当且当 而 均连续，故 仅xyxuv0,xyuv2().fz在 处可导，处处不解析.0z(2) 323()().fiy解: 这里 32232,.,xuxyxvyuy6,yxy四个偏导数均连续且 处处成立,故 在整个复平面上处处可导,yxvu()fz也处处解析.3确定下列函。