1、第二章 复变函数的积分,本章介绍复变函数的积分概念，解析函数积分的主要性质. 重点是Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、Cauchy(高阶)导数公式.,2.1 复变函数的积分,1 积分的概念,2 积分存在条件及性质,3 积分的计算,2.1.1 积分的概念,定义2.1 设 C是复平面上以z0为起点, Z为终,在C上依次取分点,把曲线C分割为n个小段.,(如图),一点,做和数,其中，,令,如果分点的个数无限增多，并且极限,存在, 则称该极限值为函数 在曲线C上的积分,如果C是闭曲线，经常记作,为实值函数，那么这个积分就是定积分.,2.1.2 积分存在的条件及积分性质,定理2.1 设C是分段
2、光滑(或可求长)的有向,存在，并且,从形式上可以看成,定理2.2 设光滑曲线,复变函数的积分具有如下一些性质.,(4) 设C1的终点是C2的起点, C=C1+C2, 则,(k是复常数);,估值不等式,事实上,(5) 设曲线C的长度为L, 函数f (z)在C上满足,则,例2.1 设 C是复平面上以z0为起点, z为终,点的分段光滑(或可求长)曲线，则,解 根据积分的定义,2.1.3 积分的计算,解,积分路径的参数方程为,其中C是圆周:,的正向.,重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.,解,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,(1) 从原点到 1+i 的直线段；,(2) 抛物线 y=x2 上从
3、原点到 1+i 的弧段；,(3) 从原点沿x轴到1, 再从1到 1+i 的折线.,(2) 积分路径的参数方程为,(3) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,都是从相同的起点到相同的终点, 沿着三条不,相同的路径进行, 但是 积分值不同,积分值相同. 是否可以讨论积分与积分,路径的关系?,注意2 一般不能将函数f (z)在以a为起点, 以b,为终点的曲线C上的积分记成 因为,积分值可能与积分路径有关, 所以记,2.2 Cauchy积分定理,1 Cauchy积分定理,2 复合闭路定理,3 典型例题,首先给出推广的,2.2.1 Cauchy积分定理,则对
4、任何D内的可求长Jordan曲线C, 都有,其中G是C围成的区域，C 取正向.,定理2.3 (Cauchy积分定理) 设f (z)是单连,说明: 该定理的主要部分是Cauchy 于1825 年建立的, 它是复变函数理论的基础.,通区域 D上的解析函数，则对D内的任何可求,长Jordan曲线C, 都有,证明 根据,由改进的Green公式,因为f (z)解析, 所以u(x,y)和v(x,y)在D内可微, 且,注意2 若曲线C是区域 D 的边界, 函,注意1 定理中的C 可以不是简单曲线.,函数 f (z)在D内解析, 在闭区域 上连,续, 则,注意3 定理中D是单连通区域的假设不可缺少.,解 因为
5、函数,例2.4 计算积分,在 上解析, 所以根据Cauchy积分定理, 有,解,根据Cauchy积分定理得,例2.5 计算积分,这里用到了,2.2.2 复合闭路定理,都在C 的内部, 它们互不包含也互不相交, 并且以,是 D上的解析函数, 那么,其中C和Ck(1kn)取正向.,若 f (z),为边界的闭区域含于D内.,证明 不妨设n=2. 作两条辅助线 (如图).,围成单连通区域.,f (z)在G 所围的区域内解析, 由,当 n 为其它值时，可同样证明.,在公共边界(辅助线)上, 积分两次, 方向,相反, 积分值之和等于0. 所以,2.2.3 典型例题,解 显然函数,在内的任意分段光滑正向简单
6、闭曲线.,在复平面有两个奇点0和1,并且G 包含了这两个奇点.,在G内作两个互不包含也互不相交的正向,圆周C1和C2,使得C1只包含奇点0,C2 只包含,奇点1.,根据 ,解 显然C1和C2围成一,个圆环域. 函数,在此圆环域及其边界上解析, 并且圆环域的边界,构成复合闭路, 所以根据 ,解 因为z0在闭曲线G 的内部,任意分段光滑的Jordan曲线, n为整数.,故可取充分小的正数r , 使得圆周,含在G的内部.,可得,故,这一结果很重要.,与 进行比较.,2.3 Cauchy积分公式,1 问题的提出,2 Cauchy积分公式,3 高阶导数公式,4 典型例题,2.3.1 问题的提出,定理知,
7、当r 充分小时, 这个积分值与r 的取值无关,设f (z)在单连通区域D上解析, z0是D内的,一个定点, 则 在z0 不解析.,Jordan曲线, 当r 0充分小时, 根据复合闭路,如果C是含z0在其内部区域的分段光滑的,所以这个积分值只与 f (z) 在 z0 附近的值有关.,因为f (z) 在 z0 连续, 故 上函数 f (z),的值将随着r 的减小而接近,因此, 随着r 的减小, 应该有,接近于,然而,2.3.2 Cauchy积分公式,Cauchy积分公式,定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数,z0 是D内的一个点, C是任意一条含 z0 在内部区域,的分段光滑(或可求
8、长) Jordan曲线, 则,取R0充分小, 使得R0, 存在d 0, 使得,当 时,在C的内部, 则,的值与 R 无关, 所以由e 的任意性, 可知,根据,实际上, 积分,关于Cauchy积分公式的说明:,可见, 函数在C内部任一点的值可用它在边界上,（这是解析函数的一个重要特征）,(1) 从Cauchy积分公式,的值通过积分来表示.,这表明了Cauchy积分公式不但提供了计算,(这是研究解析函数的有力工具),(2) 如果曲线C上的点用z 表示, C内部的,点用z 表示, 则Cauchy积分公式表示为,某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出,了解析函数的一个积分表达式.,正向圆周,解
9、在C内部作正向圆周,根据 ,在C2 围成的闭区域上解析, 所以由,Cauchy积分公式,2.3.3 高阶导数公式,如果各阶导数存在, 并且导数运算可在积分号下,进行, 则,由 , 解析函数的积分表达式为,(1) 解析函数是否存在各阶导数?,(2) 导数运算可否在积分号下进行?,我们有下面的Cauchy导数公式.,高阶导数公式,定理2.6 设函数f (z)在单连通区域 D上的解析,C是D内分段光滑(或可求长)的Jordan曲线, z0 在,C的内部区域, 则f (z)在z0处存在各阶导数, 并且,其中C取正向.,证明 首先考虑n=1的情形. 因为z0在C的内部,故当 |z| 适当小时, z0+
10、z也在C的内部. 所以应用,于是,可知,因为f (z)在C上解析, 所以在C上连续, 故有界.,于是存在M 0, 使得|f (z)|M . 又因为z0 是C,内部区域内的点, 所以存在R 0, 使,在C的内部区域.,因此当z在C上时,利用类似的方法可求得,证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.,高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,例2.10 求积分,解 因为函数 在复平面解析,在 内, n=3, 根据,例2.11 求积分,解 因为函数 在复平面解析,在 内, n=1, 根据,2.3.4 典型例题,例2.12 计算积分,解 由 ,例2.13 设C表示正向圆周
11、,求,于是 而1+i 在C内, 所以,解 根据 , 当z在C内时,例2.14 计算积分 其中,解 (1) 根据 ,(2) 根据 ,(3) 根据 以及前面的结果,例2.15 计算下列积分, 其中C是正向圆周,解 (1) 因为函数 在C内z=1处不解析,但 在C内处处解析, 所以根据,(2) 函数 在C内的 处不解析.,在C内分别以i 和 -i 为中心作正向圆周 C1 和 C2,则函数 在由,围成的区域内解析, 所以由,于是,同理,解,(1) n 0时, 函数 在 上解析.,(2) n=1时, 由 得,由 得,可得,(3) n1时, 根据,2.4 解析函数的原函数,1 原函数的概念,2 Newto
12、n-Leibniz公式,2.4.1 原函数的概念,原函数之间的关系:,定义2.2 设f (z)是定义在区域D上的复变函数,若存在D上的解析函数F(z)使得 在D,内成立，则称F(z)是f (z)在区域D上的原函数.,如果f (z)在区域D上存在原函数F(z), 则f (z)是,解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数.,定理2.7 设F(z)和G(z)都是f (z)在区域D上的原,函数, 则 (常数).,那么它就有无穷多个原函数, 一般表达式为,根据以上讨论可知:,证明 设F(z)和G(z)都是f (z)在区域 D上的,根据 可知, 为常数.,原函数, 于是,如果F(z) 是f (z)在区域
13、 D上的一个原函数，,(其中C是任意复常数).,证明 可利用,定理2.8 设f (z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点, C是D内以z0为起点, z为终点的,分段光滑(或可求长)曲线, 则积分,只依赖于z0与z, 而与路径 C 无关.,Riemann方程以及曲线积分路径无关的充分必要,条件来证明. 下面利用Cauchy积分定理证明.,中的Cauchy-,和,设C1与C2都是以D内以z0为起点, z 为终点的,分段光滑曲线, 又不妨设C1与C2都是简单曲线.,如果 C1与C2除起点和,终点之外, 再没有其他重点,则 是Jordan曲线,根据Cauchy定理有,如果C1与C2除起点和
14、,终点之外, 还有其他重点,在D内再做一条以z0为起点,z 为终点, 除起点和终点之外, 与C1与C2没有其他,重点的分段光滑曲线,则由已证明的情形,如果 f (z)在单连通区域D内解析, 则f (z)在以,z0为起点, z为终点的D内的分段光滑曲线C上积分,积分值与积分路径无关，即可记为,于是确定了D内的一个单值函数,证明 因为z是D内的点,定理2.9 设f (z)是单连通区域D上的解析函数,z0和z是D内的点, 则,是 f (z)在D上的原函数.,以z为中心作一个含于D内的,以圆周G为边界的圆域.,取|z|充分小, 使得z+ z在圆周G内.,注意,因为积分与积分路径无关, 所以积分,可以先
15、从z0到z, 然后从z沿着直线再到z+ z, 即,因为函数f (z)在D内连续, 所以e 0, 存在,d 0, 使得当|-z| d 时, 有,从而当|z|d 时, 利用,于是,即,与微积分学中对变上限积分求导定理相同.,2.4.2 Newton-Leibniz公式,定理2.10 设f (z)是单连通区域D上的解析函数,F(z)是 f (z)在D上的原函数, z0和z1是D内的两点, 则,证明 因为 也是f (z)在D上的原函数,根据,其中 C为常数, 易见,说明: 有了上述定理, 复变函数的积分就可以用,与微积分学中类似的方法去计算.,如果没有D是单连通区域的假设，那么,一般是一个多值函数.,
16、复变函数的积分,积分存在的条件及计算,积分的性质,Cauchy积分定理,原函数的概念,复合闭路定理,Cauchy积分公式,高阶导数公式,Newton-Leibniz公式,本章主要内容,1. Cauchy积分定理,2. 复合闭路定理,3. Cauchy积分公式与高阶导数公式,本章的重点,4. 复变函数积分的计算,第二章 完,George Green (1793.7.14-1841.5.31),自学而成的英国数学家、物理学家. 出色地将,数学方法应用到电磁理论和其他数学物理问题.,1928年出版了出版了小册子数学分析在电磁,学中的应用, 其中有著名的Green公式.,40岁进入剑桥大学学习, 18
17、39年聘为剑桥大学,教授.,他的工作培育了数学物理学者的剑桥学派, 其,中包括G. Stokes和C. Maxwell.,Isaac Newton,(1642.12.25-1727.3.20),伟大的英国物理学家和数学家.,1661年, 进入剑桥大学三一学院学习.,大学毕业后, 在1665和1666年期间, Newton 做了,具有划时代意义的三项工作: 微积分、万有引力,和光的分析. 1687年发表自然哲学之数学原理.,1669年任剑桥大学教授, 1703年当选为皇家学,会会长, 1705年被英国女王授予爵士称号. 他还担,任过造币厂厂长.,Nature and Natures laws l
18、ay hid in night,God said, “Let Newton be!”,and all was light.,Newton说: “我不知道世人怎样看我, 我只觉得,自己好象是在海滨游戏的孩子, 有时为找到一个光滑,的石子或比较美丽的贝壳而高兴, 而真理的海洋仍然,在我的前面未被发现.”,我是站在巨人的肩上., I. Newton,英国诗人A. Pope赞美Newton的 :,Gottfried Wilhelm Leibniz,(1646.6.21-1716.11.14),德国数学家. 他还是外交家、哲,学家、法学家、历史学家、语言学,家和先驱的地质学家, 他在逻辑学、力学、光学、
19、,数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方,面做了重要的工作.,1666年他撰写了一般推理方法的论文论组合,的艺术, 获得哲学博士学位, 并被任命为教授. 在,1672年因外交事务出使法国, 接触到一些数学家,开始深入地研究数学, 特别是1673年开始研究微,积分, 从1684年起发表微积分论文. 他是历史上,最大的符号学者之一, 所创设的微积分符号, 远,优于Newton的符号, 很多一直沿用至今.,Leibniz多才多艺, 他在1671年左右制造出一,种手摇计算机, 甚至研究过中国古代哲学.,Newton和Leibniz是微积分的奠基者, 从那时,起, 数学乃至几乎所有科学领域开始了新纪元.,
