二元函数的极值与最值

1、专题对点练 6 导数与函数的单调性、极值、最值专题对点练第 6 页 1.(2017 辽宁大连检测,理 20)已知函数 f(x)=ln(x-1)+ (aR).+1(1)若函数 f(x)在区间 (1,4)内单调递增,求 a 的取值范围;(2)若函数 y=f(x)的图象与直线 4x-3y-2=0 相切,求 a 的值.解 (1)f(x)= ,1-1+(+1)-(+1)2 =(+1)2+(-1)(-1)(+1)2 函数 f(x)在区间(1,4) 内单调递增, f(x)0 在(1,4)内恒成立, (x+1)2+a(x-1)0,即 a =-x-3+ =- -4 在(1,4)内恒成立, x(1,4), x-(+1)2-+1 4-+1 (-1)+ 4-11(0,3), x-1+ 4,取等号条件为当且仅当 x=3,4-1 - -4- 8, a- 8.(-1)+ 4-1(2)设切点为(x 0,y0),。

2、1第十节 第二课时 函数的极值与最值课时作业A 组基础对点练1设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f ( x)，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则函数 y xf ( x)的图象可能是( )解析： f(x)在 x2 处取得极小值，在 x2 附近的左侧 f ( x)0.在 x2 附近的右侧 f ( x)0，当22 时，对函数 f(x) a10 的单调性进行研究，求导后发现 f(x)在xln x(2，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，即函数 f(x)在 x2 时的最小值为 f(e)；当x2 时， f(x)( x a)2e 是对称轴方程为 x a 的二次函数，欲使 f(2)是函数的最小值，则Error! Error!2 a6，故选 D.答案：D7(201。

3、课时规范练A 组 基础对点练1(2018岳阳模拟)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )Ayx 3 By ln(x)Cy xex Dyx2x解析：A、B 为单调函数，不存在极值，C 不是奇函数，故选 D.答案：D2设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f ( x)，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则函数 yxf (x )的图象可能是( )解析：f(x)在 x2 处取得极小值， 在 x2 附近的左侧 f (x)0. 在 x2 附近的右侧 f ( x)0，当20，f(x)为增函数，A 正确，x(3,5)，f(x)0，故 x0 不取得极大值，C 错答案：C6已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(e x1)( x1) k(k1,2)，则( )A当 k1 。

4、1专题能力训练 7 导数与函数的单调性、极值、最值一、能力突破训练1.已知函数 f(x)的导函数为 f(x),且满足 f(x)=af(1)x+ln x,若 f =0,则 a=( )(12)A.-1 B.-2 C.1 D.2w3.若定义在 R上的函数 f(x)满足 f(0)=-1,其导函数 f(x)满足 f(x)k1,则下列结论中一定错误的是 ( )A.f B.f(1) 1-12C.f D.f(1-1) -14.已知常数 a,b,c都是实数, f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为 f(x),f(x)0 的解集为 x|-2 x3 .若 f(x)的极小值等于 -115,则 a的值是( )A.- B.8122 13C.2 D.55.(2018全国 ,理 14)曲线 y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为 -2,则 a= . 6.在曲线 y=。

5、12.11.2 导数与函数的极值、最值课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标1.已知函数 f(x)的定义域为( a， b)，导函数 f( x)在( a， b)上的图象如图所示，则函数 f(x)在( a， b)上的极大值点的个数为( )A1 B2C3 D4解析：由函数极值的定义和导函数的图象可知， f( x)在( a， b)上与 x轴的交点个数为 4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故 x0 不是函数 f(x)的极值点，其余的 3个交点都是极值点，其中有 2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有 2个答案：B2函数 f(x) x34 x m在0,3上的最大值为 4，则 m的值为( )13A7 B283C3 D4解析： f( x) x。

6、1第 17 讲 导数与函数的极值、最值1函数 f(x)2 x36 x218 x7 在1,4上的最小值为( )A64 B61 C56 D512从边长为 10 cm16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )A12 cm 3 B72 cm 3C144 cm 3 D160 cm 33已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为y x381 x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )13A13 万件 B11 万件C9 万件 D7 万件4(2017 年广东东莞二模)已知函数 f(x) xex x2 mx，则函数 f(x)在1,2上的最m2小值不可能为( )Ae m B mln2m32 12C2e 2。

7、1课堂达标(十五) 导数与函数的极值、最值A 基础巩固练1(2018岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A y x3 B yln( x)C y xe x D y x2x解析 由题可知，B、C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数 y x3单调递增(无极值)，而 D 选项中的函数既为奇函数又存在极值答案 D2(2018哈尔滨调研)函数 f(x) x2ln x 的最小值为( )12A. B112C0 D不存在解析 f( x) x 且 x0.1x x2 1x令 f( x)0，得 x1.令 f( x)0，得 0 x1. f(x)在 x1 处取得极小值也是最小值，f(1) ln 1 .12 12答案 A3设函数 f(x) ax2 bx c(a， b， cR)若 x1 为函数 f(x)ex的。

8、1规范答题示例 8 函数的单调性、极值与最值问题典例 8 (12 分)已知函数 f(x)ln x a(1 x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围审题路线图 .求 f x 讨 论 f x 的 符 号 fx单 调 性 fx最 大 值 解 fxmax2a 2规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板2解 (1) f(x)的定义域为(0，)， f( x) a(x0).1x若 a0，则 f( x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增.若 a0，则当 x 时， f( x)0；(0，1a)当 x 时， f( x)0 时， f(x)在 上单调递增，在 上单调递减.6(0，1a) (1a， )分(2)由(1)知，当 a0 时， f(x)在(0。

9、1规范答题示例 9 函数的单调性、极值与最值问题典例 9 (12 分)已知函数 f(x)ln x a(1 x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围审题路线图 .求 f x 讨 论 f x 的 符 号 fx单 调 性 fx最 大 值 解 fxmax2a 2规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板2解 (1) f(x)的定义域为(0，)， f( x) a(x0)1x若 a0，则 f( x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增若 a0，则当 x 时， f( x)0；当 x 时，(0，1a) (1a， )f( x)0 时， f(x)在 上单调递增，在 上单调递减.6(0，1a) (1a， )分(2)由(1)知，当 a0 时， f(x)。

10、课时作业A 组基础对点练1(2018岳阳模拟)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )Ayx 3 By ln(x)Cy xex Dyx2x解析：A、B 为单调函数，不存在极值，C 不是奇函数，故 选 D.答案：D2设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f ( x)，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则函数 yxf (x )的图像可能是( )解析：f( x)在 x2 处取得极小值，在 x2 附近的左 侧 f (x)0. 在 x2 附近的右侧 f (x)0，当22 时，对函数 f(x) a10 的单调性进行研究，求导后发现 f(x)在(2，e)上单xln x调递减，在(e ，)上单调递增，即函数 f(x)在 x2 时的最小值为 f(e)；当 x2 时。

11、1规范答题示例 8 函数的单调性、极值与最值问题典例 8 (15 分)已知函数 f(x)ln x a(1 x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围审题路线图 .求 f x 讨 论 f x 的 符 号 fx单 调 性 fx最 大 值 解 fxmax2a 2规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板解 (1) f(x)的定义域为(0，)， f( x) a(x0)1x若 a0，则 f( x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增若 a0，则当 x 时， f( x)0；当 x 时， f( x)(0，1a) (1a， )0 时， f(x)在 上单调递增，在 上单调递减.6 分(0，1a) (1a， )(2)由(1)知，当 a0 时， f(x。

12、1专题对点练 6 导数与函数的单调性、极值、最值1.已知函数 f(x)=ln x+ (aR) .+1(1)若函数 f(x)在区间(0,4)上单调递增,求 a的取值范围;(2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y=2x相切,求 a的值 .2.已知函数 f(x)=ln x+ax2-x-m(mZ) .(1)若 f(x)是增函数,求 a的取值范围;(2)若 a0时,求函数 f(x)的极值;(2)若不等式 f(x)0恒成立 .F (x)在(0, + )上恒为正值,F (x)在(0, + )上单调递增 .F (1)=0,x 0=1代入 式得 a=4.2.解 (1) f(x)= +ax-1,依题设可得 a ,(1-12)而 =- ,当 x=2时,等号成立 .112 (1-12)2+1414所以 a的取值范围是 .14,+)(2)由(1)可知 f(x)= 。

13、1课时作业 15 导数与函数的极值、最值一、选择题1(2018岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A y x3 B yln( x)C y xe x D y x2x解析：由题可知，B，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数 y x3单调递增(无极值)，而 D 选项中的函数既为奇函数又存在极值答案：D2函数 y 的最大值为( )ln xxAe 1 BeCe 2 D.103解析：令 y 0，解得 xe.当 xe 时， y0，所以1 ln xx2y 极大值 f(e) ，在定义域内只有一个极值，所以 ymax .1e 1e答案：A3从边长为 10 cm16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子。

14、1专题能力训练 7 导数与函数的单调性、极值、最值一、能力突破训练1.已知函数 f(x)的导函数为 f(x),且满足 f(x)=af(1)x+ln x,若 f =0,则 a=( )(12)A.-1 B.-2 C.1 D.22.函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是( )3.若定义在 R上的函数 f(x)满足 f(0)=-1,其导函数 f(x)满足 f(x)k1,则下列结论中一定错误的是 ( )A.f B.f(1) 1-1C.f D.f(1-1) -14.已知常数 a,b,c都是实数, f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为 f(x),f(x)0 的解集为 x|-2 x3 .若 f(x)的极小值等于 -115,则 a的值是( )A.- B.8122C.2 D.55.(2018全国 ,理 。

15、楚雄师范学院毕业论文（设计）楚 雄 师 范 学 院本 科 生 毕 业 论 文题 目：二元连续函数在有界闭区域上的最值研究 系 （院）： 数学系 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 学 号： 20091021135 指导教师： 职称： 副教授 论文字数： 5000字左右 完成日期： 2013 年 5 月 教务处抑制楚雄师范学院毕业论文（设计）目 录摘要： .。

16、1专题突破练 6 函数的单调性、极值点、极值、最值1.已知函数 f(x)= (k为常数,e 是自然对数的底数),曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与 x轴平行 .(1)求 k的值;(2)求 f(x)的单调区间 .2.(2018山东潍坊一模,文 21节选)已知函数 f(x)=aln x+x2.(1)若 a=-2,判断 f(x)在(1, + )上的单调性;(2)求函数 f(x)在1,e上的最小值;(3)略3.(2018山东师大附中一模,文 21)已知函数 f(x)=(x-a)ex(aR) .(1)当 a=2时,求函数 f(x)在 x=0处的切线方程;(2)求 f(x)在区间1,2上的最小值 .24.(2018山西晋城一模,文 21)已知函数 f(x)= ax2+(a-1)x+(1-2a)ln x(a0).(1)若。

17、楚雄师范学院毕业论文（设计）I楚 雄 师 范 学 院本 科 生 毕 业 论 文题 目：二元连续函数在有界闭区域上的最值研究 系 （院）： 数学系 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 韩金伟 学 号： 20091021135 指导教师： 黄英 职称： 副教授 论文字数： 5000字左右 完成日期： 2013 年 5 月 教务处抑制楚雄师范学院毕业论文（设计）I目 录摘要： .。

18、1一个带约束条件的二元函数最值的求法(四)一个带约束条件的二元函数最值的求法江苏省东海县白塔高级中学 陈大连 邮编 222345 电话 15051150243近年来高考与各地的模拟考试中悄然出现一种平时练习中不太常见的数学问题求带约束条件的二元函数最大值或最小值，这种问题因条件与目标函数的不同其解法也往往不同. 本文将给出一道典型小题的多种解法并对解法加以说明，以帮助读者能够迅速解决这种问题并增强解题的灵活性.问题（2015 届江苏省宿迁市高三一模第 9 题）已知实数x , y 满足 x 2-xy +y 2=1，则 x +y 的最大值为 .解法 1 令 x +y =t 。

19、7.7 二元函数的极值与最值,教学要求：,1. 理解二元函数极值和条件极值的概念;,3. 会用拉格朗日乘数法求条件极值.,2. 掌握二元函数极值存在的必要条件、充分条件; 会求二元函数的极值.,4. 会求简单二元函数的最大值和最小值, 并会解决一些简单的应用问题.,如果f (x)在闭区间a ,c上连续, 则f (x)在a ,c上必定能取得最大值与最小值.,复习：一元函数的极值、最值.,（1）极值：由P146极值点定义： 端点没有资格做极值点,极值点一定在区间内部.,（2）最值：,闭区间上连续函数最值只能在极值点和端点处取得.,在区间a, b上，,区间a, c上,x,o,y,a,c。

20、二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1二元函数的无条件极值(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。(2)二元函数取得极值的必要条件： 设 在点 处可微分且),(yxfz),(0y在点 处有极值，则 ， ，即 是驻点。),(0yx 0),(0yxf0yx(3) 二元函数取得极值的充分条件：设 在 的某个领域内),(xfz),0y有连续上二阶偏导数，且 ，令 ，),(0yxf,(0yf Axf(， ，则Byxf),(0 Cfy,0当 且 A0，f 为极小。