1、1第 17 讲 导数与函数的极值、最值1函数 f(x)2 x36 x218 x7 在1,4上的最小值为( )A64 B61 C56 D512从边长为 10 cm16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )A12 cm 3 B72 cm 3C144 cm 3 D160 cm 33已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为y x381 x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )13A13 万件 B11 万件C9 万件 D7 万件4(2017 年广东东莞二模)已知函数 f(x) xex x2 mx
2、，则函数 f(x)在1,2上的最m2小值不可能为( )Ae m B mln2m32 12C2e 24 m De 22 m5(2017 年广东惠州三模)设曲线 f(x)e x x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1，总存在曲线 g(x)3 ax2cos x 上某点处的切线 l2，使得 l1 l2，则实数 a的取值范围为( )A1,2 B(3，) C. D.23， 13 13， 236对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足( x1) f( x)0，则必有( )A f(0) f(2)2f(1)7已知 f(x) xex， g(x)( x1) 2 a，若 x1， x2R，使得 f(x
3、2) g(x1)成立，则实数 a 的取值范围是_8(2015 年安徽)设 x3 ax b0，其中 a， b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号) a3， b3； a3， b2； a3， b2； a0， b2； a1， b2.9已知函数 f(x) ax 3ln x，其中 a 为常数2x(1)当函数 f(x)的图象在点 处的切线的斜率为 1 时，求函数 f(x)在 上的(23， f(23) 32， 3最小值；(2)若函数 f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求实数 a 的取值范围210(2015 年江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为
4、进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1， l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图 X2171， M， N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1， l2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1， l2的距离分别为 20 千米和2.5 千米，以 l1， l2所在的直线分别为 x 轴， y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C符合函数 y (其中 a， b 为常数)模型ax2 b(1)求 a， b 的值；(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t.请写出公路 l 长度的函数解
5、析式 f(t)，并写出其定义域；当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度图 X21713第 17 讲 导数与函数的极值、最值1B 解析： f( x)6 x212 x186( x22 x3)6( x3)( x1)，由 f( x)0，得 x3 或 x1；由 f( x)0，得1 x3.故函数 f(x)在1,3上单调递减，在3,4上单调递增， f(x)min f(3)22769183761.2C 解析：设盒子容积为 y cm3，盒子的高为 x cm，则 y(102 x)(162 x)x4 x352 x2160 x(0 x5) y12 x2104 x160.令 y0，得 x2 或 x (舍去
6、)203 ymax6122144(cm 3)3C 4.D5D 解析： f( x)e x1， g( x)3 a2sin x，在 f(x)上取点( x1， y1)，在g(x)上取点( x2， y2)，要 l1 l2，需 3a2sin x2 1e，3 a2sin x3 a2，3 a2，(0,1)，(0,1)3 a2,3 a2则有Error!解得 a .1ex 1 13 236C 解析：不等式( x1) f( x)0 等价于Error!或Error!可知 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，或者 f(x)为常数函数，因此 f(0) f(2)2 f(1)7. 解析： f( x)e x x
7、exe x(1 x)，当 x1 时， f( x)0，函数1e， )f(x)单调递增；当 x1 时， f( x)0，函数 f(x)单调递减，所以函数 f(x)的最小值为f(1) .而函数 g(x)的最大值为 a，则由题意，可得 a，即 a .1e 1e 1e8 解析：令 f(x) x3 ax b，求导得 f( x)3 x2 a，当 a0 时，f( x)0，所以 f(x)单调递增，且至少存在一个数使 f(x)0，至少存在一个数使 f(x)0，所以 f(x) x3 ax b 必有一个零点，即方程 x3 ax b0 仅有一根，故正确；当 a0 时，若 a3，则 f( x)3 x233( x1)( x1
8、)，易知 f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在1,1上单调递减，所以 f(x)极大 f(1)13 b b2， f(x)极小 f(1)13 b b2，要使方程仅有一根，则 f(x)极大 f(1) b20 或者 f(x)极小 f(1) b20，解得 b2 或 b2，故正确所以使得三次方程仅有一个实根的是.9解：(1)由题意可知 f( x) a ， f 1，2x2 3x (23)即 a 1，解得 a1.92 92故 f(x) x 3ln x，则 f( x) .2x x 1 x 2x2由 f( x)0，得 x1 或 x2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 32， 2)
9、 2 (2,3f( x) 0 f(x) 13ln 2 从而在 上， f(x)有最小值，最小值为 f(2)13ln 2.32， 3(2)f( x) a (x0)2x2 3x ax2 3x 2x2由题设得方程 ax23 x20 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为 x1， x2，4则Error! 解得 0a .98即实数 a 的取值范围为 .(0，98)10解：(1)由题意知，点 ， 的坐标分别为 ，(20,2.5)(5， 40)将其分别代入 y ，得Error!ax2 b解得Error!(2)由(1)知， y (5 x20)，1000x2则点 的坐标为 .(t，1000t2)设在点 处的切线 l
10、 交 x 轴， y 轴分别于 ， 两点， y ，2000x3则 l 的方程为 y (x t)1000t2 2000t3由此得 ， .(3t2， 0) (0， 3000t2)故 f(t) ， t5,20(3t2)2 (3000t2)2 32 t2 4106t4设 g(t) t2 ，则 g( t)2 t .4106t4 16106t5令 g( t)0，解得 t10 .2当 t(5,10 )时， g( t)0， g(t)是减函数；2当 t(10 ，20)时， g( t)0， g(t)是增函数2从而，当 t10 时，函数 g(t)有极小值，也是最小值，2所以 g(t)min300.此时 f(t)min15 .3答：当 t10 时，公路 l 的长度最短，最短长度为 15 千米2 3
