第6章 函数插值-2

1、,f (x) 与 g (x) 在区间 a,b上带权,正交：,【注】,(1)正交函数序列,(2)正交多项式序列 :正交函数序列的,是 i 次多项式.,(3)正交多项式序列一定是线性无关序列.,（3）,（4）,当 f（x）0时，（f , f ）0,数值分析函数逼近,6.4 最佳平方逼近,为,n次多项式线性空间:,广义多项式空间：,数值分析函数逼近,上的权函数 .,设,的2-范数定义为：,则,与,在2-范数意义下的距离定义为：,即：,6.4.1 最佳平方逼近及其计算,一、最佳平方逼近,逼近问题:,求,使满足,数值分析函数逼近,令,求,达到最小,使,设,对,即,法方程,数值分析函数逼近,（6-11）,（6-10）,二、最佳平方逼近的计算,法方程存在唯一解,使,Sn* (x)为最佳平方逼近:,数值分析函数逼近,也即,.,8,证明： 因为,所以满足(6.10)式，即,也即,，所以,故,是法方程（6.11）的解，,其中,三、平方误差,数值分析函数逼近,10,四、常用的最佳平方逼近,对于,取,由于,则法方程的系数矩阵,法方程,例5,。

2、ITY,工程力学系,二维单元：,三角形,矩形,四边形,平面应力（应变）单元,平板单元,壳单元,壳单元,平板单元,平面应力单元,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,轴对称单元：,绕对称轴旋转形成环状单元,环状单元,二维单元离散,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,三维单元：,四面体,六面体,四面体单元,六面体单元,三维实体单元,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,2 插值函数,一次单元：线性单元，只有角结点。
,二次单元：在角结点间的边界上配置一个边内结点。
,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,三次单元：边界上配置二个内结点。
,3 特殊单元,弹簧单元、阻尼单元、间隙单元、界面单元、刚体单元、 集中质量单元等。
,模拟裂纹的奇异单元,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,。

3、函数 插值也就是对函数的离散数据建立简单 的数学模型。
,Def：当精确函数 y = f (x) 非常复杂或未知时, 在区间a , b上一系列互异节点 x0, x1, ,x n 处测得函数值 y0 = f (x0), , yn = f ( xn), 由此构造一个简单易算的近似函数 g(x) f (x), 满足条件g ( xi) = f ( xi) (i = 0, n) (*) 这个问题称为“插值问题”,插值问题的定义,这里的 g(x) 称为f (x) 的插值函数。
,节点 x0 xn称为插值节点, f (x) 称为被插函数，,条件(*)称为插值条件, 区间a , b称为插值区间,f(x),g(x),最常用的插值函数是 ?,代数多项式,用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值,本章主要讨论的内容,插值函数的类型有很多种,插值问题,插值法,插值函数,一、插值问题解的存在唯一性？ 二、插值多项式的常用构造方法？ 三、插值函数的误差如何估计？,代数插值,一 代数插值问题解的存在惟一性,给定区间a , b上互异的n+1个点 的一 组函。

4、差商的定义及性质 差分的定义及性质 等距节点Newton插值公式,问题1 求作 n 次多项式,(2),为了使 的形式得到简化,引入如下记号,(3),(1),一、 基函数,使满足,De f 1: 由式(3)定义的n+1个多项式 称为Newton插值的以x0 , x1, xn 为节点的基函数, 即,可以证明,这样选取的基函数是线性无关的, 由此得出的问题1的解便于求值, 而且新增加一个节点 xn+1时 只需加一个新项 即,而,依据条件(2),可以依次确定系数 c0 , c1, cn . 如:,取 x = x0 得,取 x = x2 得,为了得到计算系数 ci 的一般方法,下面引进差商的概念., 二、差商(亦称均差) /* divided difference */,称为f (x)在x0 , x1处的1阶差商,称为f (x)在x0 , x1 , x2 处的2阶差商,一般地，n 阶差商：,De f 2:,称为f (x)在x1 , x2 处的1阶差商,给定a , b中互不相同的点 x0, x1, x2 , 以及 f (x)在这。