1、6.3 牛顿插值(Newtons Interpolation),Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数 l i ( x ) 都需要重新计算。也就是说，Lagrange 插值不具有继承性。,能否重新在Pn中寻找新的基函数 ？,希望每加一个节点时，只在原有插值的基础上附加部分计算量（或者说添加一项）即可。,本讲主要内容: Newton插值多项式的构造 差商的定义及性质 差分的定义及性质 等距节点Newton插值公式,问题1 求作 n 次多项式,(2),为了使 的形式得到简化,引入如下记号,(3),(1),一、 基函数,使满足,De f 1: 由式(3)定义的n+1个多项式
2、 称为Newton插值的以x0 , x1, xn 为节点的基函数, 即,可以证明,这样选取的基函数是线性无关的, 由此得出的问题1的解便于求值, 而且新增加一个节点 xn+1时 只需加一个新项 即,而,依据条件(2),可以依次确定系数 c0 , c1, cn . 如:,取 x = x0 得,取 x = x2 得,为了得到计算系数 ci 的一般方法,下面引进差商的概念., 二、差商(亦称均差) /* divided difference */,称为f (x)在x0 , x1处的1阶差商,称为f (x)在x0 , x1 , x2 处的2阶差商,一般地，n 阶差商：,De f 2:,称为f (x)在
3、x1 , x2 处的1阶差商,给定a , b中互不相同的点 x0, x1, x2 , 以及 f (x)在这些点处相应的函数值 f (x0) , f (x1) , f (x2) ,则,差商的性质:,性质1 (差商与函数值的关系),证: 归纳法. 当k=1时, 有,结论成立.,设 k = m -1 时, 结论成立. 则有,由差商的定义, 当k = m 时, 有,所以k = m 时结论成立, 由归纳假设知性质成立.,性质2 (对称性): 差商的值与结点排列顺序无关. 在n阶差商中任意调整节点的顺序, 差商的值不变.,性质3 (差商与导数的关系),性质4: (重节点差商) 若 f (x)在 xi 处具
4、有k 阶导数, 则有,性质5: (线性性) 若 为常数, 则有,规定：一个点 x0 的零阶差商为 f (x0) .,差商表,xk f (xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 n 阶差商,例1：已知信息构造 f (x) 的插商表。 解： f (x) 的插商表如下：,xi f (xi) 一阶 二阶,例2: f (x) 的插商表,xi f (xi) 一阶 二阶 三阶, 三、牛顿(Newton)插值公式,当n=1时：过两点 和 的直线为,称为1次Newton插值多项式。,当n=2时：构造不超过 2 次的多项式:,易知N2(x)满足插值条件：称之为2次Newton插值多项式。,推广到一般情形: 令,可证
5、 Nn (x) 满足插值条件：称之为n 次Newton插值多项式. 或称为Newton插值公式,注：由Newton插值公式可以看出, 每当增加一个结点时, Newton插值多项式只在原有插值多项式的基础上增加一项, 克服了Lagrange插值不具备继承性的缺点.,差商推导Newton插值： (利用差商的定义),Newton插值的余项：由插值的唯一性或上述推导知,例3: 给定 f (x)=ln x的数据表xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00f (xi) 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1. 构造差商表 2. 分别写出二次、四次Ne
6、wton插值多项式 解: 差商表,xi f (xi ) 一阶 二阶 三阶 四阶,N2(x) = 0.78846 + 0.43505 ( x - 2.20 ) - 0.087375 ( x - 2.20 ) ( x - 2.40 )N4(x) = 0.78846 + 0.43505 ( x - 2.20 )- 0.087375 ( x - 2.20 ) ( x - 2.40 )+0.0225 ( x - 2.20 ) ( x - 2.40 ) ( x - 2.60 )-0.00755 ( x - 2.20 ) ( x - 2.40 ) ( x - 2.60 ) ( x - 2.80 ),例4 :
7、 由函数表求Newton插值函数,解 :,例5 : 推导计算公式,1 12 9 83 36 27 19/24 100 64 37/2 35 225 125 61/2 4 1/4 6 441 216 91/2 5 1/4 07 784 343 127/2 6 1/4 0,解 :,6.4 等距节点插值公式,一、差分的概念及性质,De f 1: 设 为等距节点 上的函数值, 其中 称为步长, 则,和,分别称为 f (x)在 xi 处以 h 为步长的一阶向前差分和一阶向后差分.,和,分别称为 f (x)在 xi 处以 h 为步长的二阶向前差分和二阶向后差分.,分别称为 f (x)在 xi 处以 h 为
8、步长的 m 阶向前差分和 m 阶向后差分. 称为差分算子.,差分的性质,Prop1: 各阶差分可用函数值线性表示, 其计算公式为,其中 为组合数, 即,Prop2: 差分与差商的关系,Prop3: 差分与导数的关系,在 x0 与 xn 之间,在 x0 与 xn 之间,二、等距节点插值,当插值节点 x0 , xn 为等距分布时, Newton插值公式可以简化.,给定等距节点 后, 将差分与差商的关系式代入Newton插值多项式, 可得,令 , 则有,称为Newton前插多项式, 或Newton前插公式.,Newton前插公式的余项,类似地, 如果要求 xn 附近的某点 x 的函数值, 设 xn
9、-1 x xn , 记 x = xn + t h (-1 t 0), 则有,称为Newton 后插公式 . 其余项为,注: 若要计算的插值点 x 较靠近点 x0 , 则用向前插值公式 ,这时t = (x - x0)/n 的值较小, 数值稳定性较好. 反之, 若 x 靠近 xn , 则用向后插值公式 .,向前与向后差分的关系,注: 计算靠近 x0 或 xn 的点的值时, 都只需构造向前差分表 .,故后插公式又可表示成:,例: 给定 f (x)在等距节点上的函数值表如下:xi 0.4 0.6 0.8 1.0f (xi) 1.5 1.8 2.2 2.8 分别用Newton向前和向后差分公式 , 求
10、f (0.5) 及 f (0.9)的近似值.解: 先构造向前差分表如下:xi f i f i 2f i 3f i 0.4 1.50.6 1.8 0.30.8 2.2 0.4 0.11.0 2.8 0.6 0.2 0.1x0 = 0.4, h = 0.2, x3 =1.0 . 分别用差分表中对角线上的值和最后一行的值, 得Newton向前和向后插值公式如下:,当 x=0.5 时, 用公式(1) , 这时 t = (x - x0)/h = 0.5. 将t = 0.5 代入(1), 得f (0.5)N3(0.5)=1.64375. 当 x=0.9 时, 用公式(2), 这时t = (x3 - x)/
11、h = 0.5 . 将 t = 0.5 代入(2), 得f (0.9)N3(0.9)=2.46875.,6. 5 分段低次插值,一、龙格现象与分段线性插值,利用插值多项式逼近连续函数时 时, 并非插值多项式的次数越高越好. 因为当插值多项式的次数较高时, 给自变量一个小的扰动, 就可能引起函数值较大的变化, 从而使得截断误差很大. 这种现象称为龙格现象.,例如：对于连续函数 ，在区间 上取等距插 值节点,当n =10时, 10次插值多项式L10(x)以及函数 f (x)的图形见P185,由此可见, L10(x)的截断误差R10(x)= f (x)-L10(x)在区间 的 两端非常大. 这种现象
12、称为Runge现象. 不管n 取多大, Runge 现象依然存在. 避免Runge现象的方法之一就是采用分段低次 插值. 最简单的就是分段线性插值.,分段线性插值,Def：设函数 个有序插值节点 满足 称之为区间a , b的一个划分。其中 和 称为边界点， 称为内节点。记子区间的,最大长度,则称分段线性函数,为f (x) 在区间a , b上关于划分 的分段线性插值多项式。 其中, 插值基函数,当i = 0时没有第1式，当i = n 时没有第2式。事实上，分段线性 插值多项式即为：,几何意义：以每两个相邻节点为插值点构造一次插值(即直线 段), 用各直线段所连成的折线近似代替曲线 y = f (
13、x) .,误差估计：若 f (x) 在插值区间a , b上二阶导数连续，并记，则分段线性插值的余项有如下估计式：,二、分段二次插值,设 , 已知 f (x)在节点上的函数值 . 在区间 上采用二次插值 , 此时插值节点为,截断误差,若节点等距, 记 , 则,设,则,此时,若,则,例: 已知 y = f (x) 的观测数据如下,求分段线性插值和分段二次插值 P1(x) 和 P2(x) .,6. 6 Hermite 插值,分段线性插值简单易操作, 但插值曲线不光滑, 即在内节点处一节导数不连续, 这种情况往往不能满足实际应用的需要. 为了克服这一缺陷, 通常添加一阶导数作为插值条件 .,一、 两个
14、节点的情形： 设 x0 , x1为插值节点， x0 x1，且已知在区间x0 , x1上求多项式 H (x)，使得满足插值条件,由于有4个条件，所以H (x)应为次数不超过3次的多项式，称为 Hermite三次插值。,定理1：设 ，则在区间x0 , x1上满足插值条件的不超过3次的多项式H (x)存在且唯一，并可构造如下：,其中插值基函数 为三次多项式,如果 ，则插值余项为,其中 在 x0 与 x1 之间。,插值基函数的性质:,插值函数的唯一性：设H (x)和 都是满足插值条件的不超过3次的Hermite插值多项式，则 是不超过3次的多项式，且满足这说明 x0 和 x1 都是P (x)的二重根，
15、从而P (x)为4次多项式，这是不可能的。,二、 一般情形的Hermite 插值（二重Hermite 插值）,对于函数 , 已知 f (x)在a , b上n+1个互异节点处的函数值 及导数值 , 求一个次数不超过 2n+1次的多项式 H2n+1(x) , 使之满足插值条件:,由于插值条件有2n+2个, 所以插值多项式不超过2n+1次. 并 且易知这种插值多项式是存在唯一的.,插值基函数: 借助于Lagrange插值基函数,(1),则 称为插值节点 上的插值基函数.,满足插值条件(1)的Hermite插值多项式可写成基函数的线性组合,由条件(2), 显然有,下面求满足条件(2)的基函数,由,由条
16、件(2)知, 在 x = xj 处有,解得,类似地, 由,于是,由条件(2)知, 在 x = xj 处有,解得,因此Hermite插值多项式为:,(2) 类似于Lagrange插值余项的讨论, 有Hermite插值多项式的余项,于是,说明: (1) 类似于两节点情形, 可以得到一般情形Hermite插值多项式的唯一性.,(3) 几何意义: 曲线 y =H2n+1(x) 与 y = f (x) 在插值节点处有公共切线.,(4) 特例: n=1是, 即为前面介绍的两节点Hermite插值 .,例1: 求不超过3次的多项式 H (x)，使之满足插值条件：,解： (1) 公式法 令,则,Hermite
17、插值多项式的求法1：（一般情形的Hermite插值）(1) 直接利用公式；(2) 待定系数法；(3) 利用插商表。,(2) 待定系数法 令 ，由条件可得：,解得：,(3) 插商表,xi f ( xi ) 一阶 二阶 三阶,三、 特殊情形的Hermite 插值,在带导数的插值问题中, 有时插值条件中的函数值个数与导数值个数不相等, 为特殊情形的Hermite插值.,如: 给定函数表如下,求次数不高于4 的多项式 H4(x) , 使之满足:,Hermite插值多项式的求法2: (特殊情形的Hermite插值,即插值条件中函数值个数和导数值个数不相等)(1) 待定系数法(Newton插值多项式或一般
18、情形的Hermite插值多项式为基础)；(2) 利用插商表。,10 以Newton插值多项式为基础,设,其中A, B为待定系数. 显然,由条件 求得常数 A, B后, 便可得 H4(x).,20 以一般情形的Hermite插值多项式为基础,设,设,由条件H4( x2 ) = y2 求得 C 后, 便可得H4(x).,其中C 为待定系数, H3(x)为满足,的次数不高于3 的Hermite 插值多项式. 显然,30 类似于一般情形, 利用差商表可得相应插值多项式,例2: 求不超过4次的多项式 P (x)，使之满足插值条件：,解：(1) 待定系数法 可得：,(2) 插商表,xi f ( xi )
19、一阶 二阶 三阶 四阶,例3: 已知 ，求H3 (x).,解：(1) 待定系数法 设 ，代入条件，可得：,(2) 构造插商表,xi f ( xi ) 一阶 二阶 三阶,四 分段Hermite 插值,De f ：设函数 ，对于划分,记 ，且,则称分段三次函数,为 f (x)在区间a , b上关于划分 的分段Hermite三次插值多项式。其中插值基函数如下确定：,由定理1可知，H3 ( x )满足边界条件：,以及内节点的衔接条件:,若 , 则有,故,注: 分段线性插值不能保证在插值节点处的光滑性; 分段二次插值不能保证在 处的光滑性; 分段三次插值能够保证插值节点处的光滑性, 但在节点处的凹凸性 不能保证与 f (x) 相同.,
