1、CHONGQING UNIVERSITY,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,第2章 单元和插值函数的构造,主讲教师：严 波,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,2.1引 言,1 单元类型和形状,一维单元：,直线,曲线,直线单元 （杆、梁单元）,曲线单元 （索单元）,杆单元、梁单元、索单元,空间梁单元,空间杆单元,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,二维单元：,三角形,矩形,四边形,平面应力（应变）单元,平板单元,壳单元,壳单元,平板单元,平面应力单元,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,轴对称单元：,绕对称轴旋转形成环状
2、单元,环状单元,二维单元离散,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,三维单元：,四面体,六面体,四面体单元,六面体单元,三维实体单元,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,2 插值函数,一次单元：线性单元，只有角结点。,二次单元：在角结点间的边界上配置一个边内结点。,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,三次单元：边界上配置二个内结点。,3 特殊单元,弹簧单元、阻尼单元、间隙单元、界面单元、刚体单元、 集中质量单元等。,模拟裂纹的奇异单元,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,2.2 一维单元,1 Lagrange单元,x1,x2
3、,xn,x,y,f(x),用一较简单的函数(x)代替 f(x)，使,称 (x)为插值函数。若(x)为多项式，称为多项式插值。,1)插值函数,已知函数f(x)在a,b上一系列点上的值,可由 (x)确定a,b上其它点的函数值。,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,例子：2点插值,xk,xk+1,x,y,f(x),(x),xk,xk+1,x,y,1,xk,xk+1,x,y,1,线性组合,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,2) Lagrange插值公式,设函数f(x)在a,b上一系列互不相同的点,上的值,构造一个（n-1）次的多项式,具有形状函数Ni(x)的性质，
4、可以作为有限单元的插值函数。,讨论：,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,3)Lagrange单元,一次单元,x1,xn,l,作变换：,可得：,自然坐标,x1,xn,l,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,例子：,一次单元,x1,x2,l,x1,x3,x2,二次单元,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,2 Hermite单元,若场方程的最高阶导数为m，要求场函数及其m-1阶导数在结点上均连续。如梁、板、壳结点的挠度和转角均要连续，转角即为挠度的一阶导数关系。,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,1 三角形单元,i,j,m,
5、P,Ai,Am,Aj,(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),Li=0,Lj=0,Lm=0,1）面积坐标,特点：, 在本点为1，其它点为0, 与三角形的具体形状及其在总体坐标系中的位置无关。,自然坐标,2）与直角坐标间的转换关系,2.3二维单元,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,可以证明：,结论：三角形域内点的坐标和位移可以通过相同的插值函数分别由结点的坐标和位移得到。,等参变换,3）面积坐标的微分运算,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,4）面积坐标表示的插值函数,一次单元,插值函数的构造式,通过除结点 i 以外所有结点的直线方程的左端项,直线方
6、程在结点 i 的取值,3 (0,0,1),1 (1,0,0),2(0,1,0),L3=0,L1=0,L2=0,4 (1/2,1/2,0),5(0,1/2,1/2),6 (1/2,0,1/2),L1-1/2=0,L3-1/2=0,L2-1/2=0,二次单元,三次单元,略。,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,2 Lagrange矩形单元,(0,0),(r,0),(0,p),(r,p),缺点：随着插值函数方次的增高而增加内结点，从而增加自由度，且不能提高计算精度。应用不多。,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,3 Serendipity单元,1 (-1,-1),
7、2 (1,-1),3 (1,1),4 (-1, 1),-1=0,+1=0,-1=0,+1=0,1）四结点双一次单元,同理：,统一形式：,2）变结点单元,5 (0,-1),可以构造变结点的过渡单元。,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,1 四面体单元,利用体积坐标：,1,2,3,4,一次单元：4结点,二次单元：10结点,5,6,7,8,9,10,2.4 三维单元,角结点：,棱内结点：,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,2 Serendipity六面体单元,一次单元：8结点,二次单元：20结点,1,2,3,4,5,6,7,8,9,13,12,11,14,10,
8、15,16,17,18,19,20,角结点：,典型的棱内结点,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,2.5 阶谱单元,1 自适应分析：,p方案：网格不变，提高单元的阶次后重分析。,h方案：单元阶次不变，细化网格后重分析。,对于p方案，希望提高单元阶次后仍可使用已计算的低阶单元的单元结果。阶谱单元可以解决这一问题。,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,1,2,l,2 一维阶谱单元,Lagrange单元,在单元内增加结点3,3,代入插值表达式,原线性单元的插值函数,原线性单元的插值函数,原线性单元的结点参数,不再是结点3的函数值,CHONGQING UNIVERS
9、ITY,工程力学系,3 讨论：,H1 和 H2 在结点 3 不再等于 0,H1 , H2, H3 不再具有标准 C0 型单元插值函数所具有的性质， 称为阶谱函数。,线性单元的刚度矩阵,三次阶谱单元的刚度矩阵,形成高阶单元的刚度矩阵时，低阶单元的刚度矩阵可以保持不变地被利用。,CHONGQING UNIVERSITY,工程力学系,2.6 小结,一维单元：,Lagrange单元， Hermite单元,三角形单元和四面体单元：,广义Lagrange插值函数法（划线法）,四边形单元和六面体单元：,变结点单元构造法（Serendipity单元）,阶谱单元,注意：本章所讨论的单元都是建立在自然坐标内的规范化的单元。,
