第二部分,思想方法精析,第四讲 转化与化归思想,核心知识整合,一、转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未
第4讲-差分方法2Tag内容描述：
1、为基本定理、基本公式或基本图形问题 2换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题,3数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径 4等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的 5特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题 6构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题 7坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径 8类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求,9参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决 10补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集UA使原问题获得解决，体现了正难则反的原则,命题热点突破,命题方向1 特殊与一般的转化,2019,规律总结 化一般为特殊的应用 (1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、。
2、为基本定理、基本公式或基本图形问题 2换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题,3数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径 4等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的 5特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题 6构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题 7坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径 8类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求,9参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决 10补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集UA使原问题获得解决，体现了正难则反的原则,命题热点突破,命题方向1 特殊与一般的转化,2019,规律总结 化一般为特殊的应用 (1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、。
3、cc0dcbff560c149.office.live.com/browse.aspx/.Public,Copyright by Li Xinliang,2,知识回顾： 单调、保单调和TVD,概念： 网格Reynolds数单调格式、保单调格式及TVD格式Harten定理： 正系数原则,TVD,保单调,单调,TVD格式= 1阶迎风+ j *（修正项）,二阶精度区,TVD区,二阶精度TVD区（二者交集）,Copyright by Li Xinliang,3,知识回顾：WENO格式,基本思路,j-3, j-2,j-1,j,j+1,j+2,j-3,j-2,j-1,j； j-2,j-1,j,j+1； j-1,j,j+1,j+2,五个基架点被分成三个组,1） 若高精度逼近 ， 必然利用多个基架点2） 如果该基架点内函数有间断，会导致振荡3） 间断不可能处处存在4） 把基架点分成多个组（模板），每个模板独立计算j点导数的逼近。
得到多个差分5）根据每个模板的光滑程度，设定权重6） 对多个差分结果进行加权平均 。
光滑度越高，权重越大。
如果某模板存在间断，则权重趋于。
4、/cid-1cc0dcbff560c149.office.live.com/browse.aspx/.Public,Copyright by Li Xinliang,Copyright by Li Xinliang,2,知识回顾,1. 有限差分基本原理,差商 - 微商,待定系数法,2. 基本概念,差分格式、截断误差、精度,差分方程、修正方程,显格式、隐格式,全离散、半离散,守恒性、非守恒型,3. 相容性、稳定性; Lax等价定理,Copyright by Li Xinliang,3,4.1 差分格式的误差分析,概念澄清1： 精度 vs. 分辨率,描述 网格充分密集时差分格式的误差特性,描述网格有限的情况下，差分格式的误差特性,2 阶精度,误差,4阶精度,格式1,格式2,3阶精度,显然： 足够小的情况下， 格式1误差更小并非足够小的情况下，格式2 有可能误差更小,精度特性,分辨率特性,Copyright by Li Xinliang,4,概念澄清2： 有效网格,目的： 计算差分 ，,Case 1,Case 2,网格点数增加了一倍， 但问题也复杂了一倍,用同一差。
5、167; 3.3 差分格式的进一步分析,1. 耗散与色散误差,2,Copyright by Li Xinliang,精确解,1阶迎风,2阶迎风,数值实验,时间推进： 3步TVD型Runge-Kutta, 且时间步长足够小（误差忽略）空间离散： 1阶及2阶迎风格式 （20个网格点）,实验观察到的现象 两类误差：振幅误差相位误差 （波速误差）,Copyright by Li Xinliang,3,对以上“实验现象”进行理论分析,半离散分析： 假设时间推进是精确的，仅分析空间离散带来的误差（难度小、常用） 全离散分析： 同时分析时、空离散的误差 （难度大）,考查问题：,实际上就是普通三角函数，采用复数形式仅仅是为了理论推导方便。
用实数形式 sin(kx), cos(kx)推导形式上略显繁琐。
,精确解：,差分格式：,（1）,其他格式 ,假设对于：,有,隐含假设: 线性差分格式 非线性系统作用于单波，会产生多个谐波,（2）,差分没有误差,Copyright by Li Xinliang,4,令：,（1）式化为：,“半离散化”： 空间导数差分计算，时间方程（常微）精确计算,如。
