1、计算流体力学讲义第四讲 有限差分法（2）李新亮 ；力学所主楼219； 82543801,知识点： 离散误差的Fourier分析;间断周围数值振荡的原因；GVC格式；模型方程向N-S方程的推广；,1,讲义、课件上传至 (流体中文网） - “流体论坛” -“ CFD基础理论 ”,Copyright by Li Xinliang, 3.3 差分格式的进一步分析,1. 耗散与色散误差,2,Copyright by Li Xinliang,精确解,1阶迎风,2阶迎风,数值实验,时间推进： 3步TVD型Runge-Kutta, 且时间步长足够小（误差忽略）空间离散： 1阶及2阶迎风格式 （20个网格点
2、）,实验观察到的现象 两类误差：振幅误差相位误差 （波速误差）,Copyright by Li Xinliang,3,对以上“实验现象”进行理论分析,半离散分析： 假设时间推进是精确的，仅分析空间离散带来的误差（难度小、常用） 全离散分析： 同时分析时、空离散的误差 （难度大）,考查问题：,实际上就是普通三角函数，采用复数形式仅仅是为了理论推导方便。 用实数形式 sin(kx), cos(kx)推导形式上略显繁琐。,精确解：,差分格式：,（1）,其他格式 ,假设对于：,有,隐含假设: 线性差分格式 非线性系统作用于单波，会产生多个谐波,（2）,差分没有误差,Copyright by Li Xi
3、nliang,4,令：,（1）式化为：,“半离散化”： 空间导数差分计算，时间方程（常微）精确计算,如果 ， 无误差,分析 （修正波数）与误差的关系,理想情况：的误差导致解的幅值误差 耗散误差的误差导致解传播速度的误差 色散误差,假设对于：,有,反映了一个波内的点数。 PPW （波内的点数）=,Copyright by Li Xinliang,5,耗散、色散误差分别由修正波数 的实部和虚部决定。,关键参数： 修正波数,含义： 反应波数（谱）空间内差分的误差,任意函数：,定义：,求导数，精确解,差分解,Fourier 分析的任务 计算出 ，并考差其与 的逼近程度。,考察格式分辨率（resolut
4、ion）的重要指标精度： 反映 时的情况分辨率：网格点数很少（例如波里面只有6个点）时的性能 对于多尺度问题，分辨率更重要。 牺牲精度，提高分辨率,优秀的差分格式，1个波长里面6个点 即可,精度 分辨率,Copyright by Li Xinliang,6,如何计算修正波数？,定义：,方法1. 理论计算根据差分具体表达式及定义计算,例1：,令,则：,于是：,1阶迎风,例2：,2阶迎风,Copyright by Li Xinliang,7,方法2： 数值计算,定义：,Step 1）选取计算域0,2p, 计算网格（例如64，128）Step 2）给定波数 k, 生成函数值Step 3) 调用差分子
5、程序，得到导数值Step 4) 通过Fourier反变换，得到谱：,假设已有求差分的子程序（黑箱，已知是线性的）,线性 黑箱,强调：研究CFD本身，不能只使用理论手段，还要用数值手段,根据修正波数的定义， 有,Step 5) 改变k的值，重复2-5， 得到 对于 的依赖关系。画图,非线性情况会产生高次谐波，造成 step 4 中隐含的假设无法成立将Fourier分析手段拓展到非线性系统 需要研究的课题,隐含条件：只有波数为k的那个谱不为0 （线性系统）,Copyright by Li Xinliang,8,中心差分格式的色散特性 0： 精确解； 1 ： 4阶普通 2： 6阶普通； 3：4阶紧致
6、 4： 6阶紧致； 5：6阶超紧致,迎风差分格式的色散特性 0： 精确解， 1： 2阶迎风 2： 5阶迎风偏心 3： 3阶迎风紧致 4： 5阶迎风紧致,每个波长里面2个网格点， 谱方法的分辨率， 差分法分辨率的极限（只有无穷阶精度才能达到）,20阶超紧致格式 接近谱方法,Copyright by Li Xinliang,9,不同差分格式的色散误差曲线,结论： 要求分辨率相同的情况下，采用高阶格式可放宽空间网格步长，从而减少计算量,重要方向： 高分辨率差分格式,0： 精确解 1： 2阶迎风 2: 3阶迎风 3： 3阶迎风紧致 4： 5阶迎风紧致,指定误差要求的情况下，不同差分格式能模拟的最大a
7、(a 越大，所需网格越少）,作业题1： 构造高分辨率差分格式，并进行理论分析及数值实验,针对单波方程：,对于空间导数，构造出一种不超过6点格式；并进行Fourier误差分析，画出kr,ki的曲线。要求：精度不限； 网格基架点数不超过6个；能够分辨的波数范围尽量宽；（即kr,ki曲线近可能接近准确解）给出差分的具体表达式， 画出kr,ki的曲线；说明构造格式的阶数，并采用本PPT第5页的方法给出的精度验证；,形如：,另外，进行如下数值验证：,空间采用20个网格点，采用新构造的差分格式离散；时间推进采用3步Runge-Kutta方法，时间步长可足够小（例如0.01）。给出t=20,50两个时刻的数
8、值解，与精确解比较（画图），并给出数值解的L2模误差。,10,Copyright by Li Xinliang,提示：1. 如不使用优化技术，则格式构造方法简单， Taylor展开后解代数方程组即可。2. 建议尝试使用优化技术,例： 假设格式形式如下,如果要求其有5阶精度，则通过Taylor展开可得到6个方程，6个系数可直接解出。我们要求其有4阶精度（当然3阶，2阶也可），于是Taylor展开只能提供5个方程。 6个未知数（a1-a6）， 5个方程； 有1个自由参数。 调整这个自由参数，使得kr,ki曲线最为理想。如何调整？ 1) 可以人工调整，观察kr,ki曲线，选取满意的。2）可自动调整，
9、设立一个优化目标函数。 例如调整自由参数，使得该目标函数取最大值。思路：牺牲精度，提高分辨率,11,Copyright by Li Xinliang,附录： 部分差分格式,表中的迎风差分格式均针对 a0,当a0时， 需把下标的“j+k” 换成 “j-k” （例如把j+2 换成j-2, 把j-1换成j+1); 并在表达式前加上“-”号。 例：,迎风偏斜格式： 上游的基架点更多些 （或上游权重更大）,12,Copyright by Li Xinliang, 3.4 数值解的群速度及间断处数值振荡来源,对于：,有,修正波数,数值解,色散误差： 数值解传播的速度与精确解不一致,数值解传播偏快,数值解传
10、播偏慢,0： 精确解； 1： 2阶迎风 ； 2： 5阶迎风偏心 3： 3阶迎风紧致 ；4： 5阶迎风紧致,快格式(FST) ：慢格式(SLW): 混合格式(MXD):,特点： 波数越高，误差越严重,1. 色散误差与群速度,13,Copyright by Li Xinliang,t=0.5时刻的精确解及数值解,空间离散： 五种不同格式； 时间推进： 3阶Runge-Kutta,【数值实验】 波的传播问题,观察现象：1） 高波数成分误差严重，低波数成分误差不明显；2） 二阶Pade格式的解传播速度快于精确解，其余格式偏慢；3）迎风型格式有耗散，尤其是二阶迎风格式；,概念： 群速度 波包传播的速度,
11、14,Copyright by Li Xinliang,2. 间断附近数值振荡的来源,【数值实验】 间断的传播,计算域0,1; 计算网格点100时间推进： 3阶Runge-Kutta空间离散： 1） 二阶中心差分,2阶迎风及2阶中心格式的色散特性,2） 二阶迎风差分,15,Copyright by Li Xinliang,过激波数值振荡的根源 色散误差导致群速度不一致,快格式,慢格式,波前振荡,波后振荡,= + + + ,群速度控制的基本思路 （群速度控制 GVC: Fu & Ma）：间断前、后分别采用快格式和慢格式， 可有效抑制振荡 Zhuang & Zhang: 抑制波动原则,示意图： 间
12、断的Fourier分解,好思路,16,Copyright by Li Xinliang,利用GVC的思想构造可计算间断的差分方法,1） 间断的前后判据,简易方法： 则j点在间断左侧,j-1,j,j+1,则j点在间断右侧,原理： 越靠近间断，振荡越剧烈,（a0 时， 右侧为“前”）,2） 根据GVC的思想构造格式,间断前：快格式； 间断后：慢格式；,格式 GVC2,3） 改写成为守恒型,非线性情况，通常守恒型效果更好,NND,格式 GVC2a,17,Copyright by Li Xinliang,4） a 0 时， 同样思路构造（利用对称性，仅需把下标j+k换成j-k即可）,采用GVC2a (
13、NND 2a)格式的计算结果 消除振荡,使用NND2a （守恒形式）；NND2 （普通形式）及1阶迎风格式的计算结果,将j换成j+1,18,Copyright by Li Xinliang,作业题2： 构造更高分辨率的GVC格式,对于空间导数，构造出一种不超过6点的GVC格式。要求：a. 精度不限； b. 网格基架点数不超过6个；c. 求解模型方程,计算结果间断尽量保持“锐利”; 计算结果振荡尽量小。,振荡的定量判据： 总变差（Total Variation）：间断“锐利”的定量判据： 间断区内的点数？ （自行设计）,给出差分格式的表达式、色散/耗散分析 （ki,kr曲线）； 给出模型方程t=
14、0.2的结果（空间100个网格点，计算域0,1，时间推进可采用3阶Runge-Kutta方法）；与精确解及NND2a进行比较（画在同一张图上）,建议： 利用优化方法,19,Copyright by Li Xinliang, 3.5 从模型方程推广到N-S方程（Euler方程）,格式F+ 格式F-,（教科书第6章）,对流项：信息（波）从上游传至下游 上游信息更重要 迎风差分 扩散项： 信息从中心向周围扩散 不区分上、下游 中心差分 迎风差分优点： 有效利用信息传播的方向，增强稳定性,微分与差分方程的影响域,N-S方程：,单波方程：,单波方程 一个波，容易判断波传播方向 N-S对流项（Euler）
15、 方程组：多波问题， 复杂,双曲方程组的原则 特征分解，找到独立传播的波,常系数矩阵A的情况 完全解耦，独立求解,变系数矩阵A的情况 局部讨论,20,Copyright by Li Xinliang,1. Jacobian 系数矩阵及其性质,重要性质,特点： A 可以像常数一样，和求导运算交换,21,Copyright by Li Xinliang,2. 对流项的分裂,目的： 确定波传播方向，便于使用迎风差分 方法： 1） 逐点分裂 2） 严格特征分裂,1） 逐点分裂,利用性质,=,+,优点：耗散小 缺点：导数间断,方式 A:,特点： 不必进行矩阵运算，计算量小,Steger-Warming
16、分裂,A: Steger-Warming 分裂,22,Copyright by Li Xinliang,Steger-Warming 具体步骤 （以一维为例）,已知,1） 计算 2） 计算 3） 计算 4） 带入（1）式得到 5） 利用不同的迎风格式，分别计算,（1）,（后差，前差）,6）,计算,7） 时间推进,23,Copyright by Li Xinliang,二维问题的steger-Warming 分裂,令：,则：,具体使用步骤， 以计算 为例,令 计算特征值分裂特征值，计算带入左式，计算正、负流通矢量计算,计算 设置 ，并注意,对于曲线坐标系,仅需令,三维问题同样处理 二维、三维具体
17、 公式见傅德薰等计算空气动力学 4.7节 （158-162） 书中公式有一定的排版错误，使用前务必重新仔细推导！,24,Copyright by Li Xinliang,B: L-F分裂,特点：,正特征值 负特征值,=,+,缺点：耗散偏大,局部L-F分裂，每个点上计算 全局L-F分裂，全局（一维）上计算,足够大,数学性质（光滑性）最好，但耗散偏大,常数,与迎风格式结合，等价于人工粘性,例如，可取,25,Copyright by Li Xinliang,方式很多,=,+,S-W:,L-F:,=,+,Van Leer:,=,+,26,Copyright by Li Xinliang,分裂后 失去了
18、A的性质（可以像常数一样与求导交换）,逐点分裂： 优点： 无需矩阵运算，计算量小缺点： 分裂后改变了特征方向， 耗散大,利用了性质,一般情况下：,变系数， 不能与导数交换,实质： 没有做到解耦；只是把原变量重新组合，组合后波的传播方向的保证 f+ 向正向传播，f-向负向传播缺点： 由于未解耦，各变量的误差会相互传递,27,Copyright by Li Xinliang,概念澄清：流通矢量分裂本身不带来耗散， 但其会影响到差分的耗散;,举例：,分裂过程,耗散,如果差分格式无耗散（例如都用中心差分），则通量分裂不带来耗散。,=,+,向上平移,向下平移,分裂,差分格式,耗散,分裂后的流场越偏离原先
19、流场，则总体耗散越大,精确满足，不引入误差！,如使用低精差分度格式， 则对分裂形式敏感 （推荐使用特征分裂） 如使用高精度格式（低耗散），则对分裂形式不敏感 （可使用逐点分裂）,28,Copyright by Li Xinliang,2. 严格特征分裂 基架点上冻结系数,常系数方程组：,完全解耦,变系数情况 局部冻结系数,在基架点上系数 不变,计算：,在差分基架点上Aj 不变， 可按常矩阵处理,局部冻结系数,分别采用后差和前差,优点： 严格保证（局部）特征方向，数值解质量好； 缺点： 大量矩阵运算，计算量大。,29,Copyright by Li Xinliang,通常写成守恒型差分，计算,在
20、基架点上系数 不变,具体步骤：假设已知 U， 且针对模型方程（线性单波方程）已构造出差分格式,（1）,1） 计算出,教材130页的公式(6.1.11-6.1.13), 式中用到各变量在j+1/2的值（例如 ） 可使用j, j+1 点值的算术平均 （如 ） 或Roe平均 （教材6.4节）；由 计算；方法很多，例如前面介绍的 或,30,Copyright by Li Xinliang,均可,本人感觉会限制精度（例如2阶）；但数值实验没发现问题。 张树海 JCP 2009 对其进行了深入探讨；欢迎对该问题进行研究。,2） 在网格基上计算,计算fj+1/2用到的点,注意，在该网格基上（例如k=j-1,
21、j,j+1） 保持不变,例如：,3) 利用已构造好的差分格式，计算通量4） 得到总通量,5） 计算差分 （j点处）,步骤的算法描述 （注意： 实际上是两重循环） do j=1,Ndo k=j-1,j+1 (网格基，可以是更多或更少点)enddoenddodo j=1,Nenddo,需要多次矩阵运算，计算量大守恒性好，耗散小，数值解质量好,31,Copyright by Li Xinliang,作业题3：针对如下Sod 激波管问题,计算其数值解，画出t=0.14时刻密度、速度及压力的分布；并与精确解进行比较（要求画在一张图上）。要求： 1） 空间网格数100， 时间推进格式选用3阶Runge-Kutta,时间步长自选。2） 可选用逐点分裂，也可选用特征分裂。3） 建议采用本讲作业题2（或作业题1）自行构造的差分格式计算。（作业题2是激波捕捉格式，效果应当会好些）。如果作业题1和作业题2遇到困难，也可采用现有的差分格式。,32,Copyright by Li Xinliang,
