1、第4节 数列求和及综合应用,考纲展示,1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.,2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.,知识链条完善,考点专项突破,知识链条完善 把散落的知识连起来,知识梳理,1.数列求和的基本方法 (1)公式法 (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.,(5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过
2、程的推广. (6)并项求和法 一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)n f(n)类型,可采用两项合并求解. 2.数列应用题的常见模型 (1)等差模型:当增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比. (3)递推模型:找到数列中任一项与它前面项之间的递推关系式,可由递推关系入手解决实际问题,该模型是递推模型.等差模型、等比模型是该模型的两个特例.,对点自测,1.已知数列an满足an+1-an=2,a1=-5,则|a1|+|a2|
3、+|a6|等于( ) (A)9 (B)15 (C)18 (D)30,C,解析:由题意知an是以2为公差的等差数列,又a1=-5,所以|a1|+|a2|+ |a6|=|-5|+|-3|+|-1|+1+3+5=5+3+1+1+3+5=18.故选C.,2.若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则数列an的前n项和为( ) (A)2n+n2-1 (B)2n+1+n2-1 (C)2n+1+n2-2 (D)2n+n-2,C,3.一个球从100 m高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下,当它第10次着地时,经过的路程是( ) (A)100+200(1-2-9) (B)100+100(1-2
4、-9) (C)200(1-2-9) (D)100(1-2-9),A,答案:2 018,5.已知数列an的前n项和为Sn且an=n2n,则Sn= .,答案:(n-1)2n+1+2,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一 分组转化法求和,(2)若bn=2(an+ ),求数列bn的前n项和Sn.,分组法求和的常见类型 (1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组法求an的前n 项和.,反思归纳,【跟踪训练1】 已知数列an的通项公式是an=23n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)n nln 3,求其前n项和Sn.,考点二 裂项相消法求和,(2)设bn= ,求数列bn
5、的前n项和.,(1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.,反思归纳,【跟踪训练2】 (2018长沙模拟)已知数列an为等差数列,其中a2+a3=8,a5 =3a2. (1)求数列an的通项公式;,考点三 错位相减法求和 【例3】 (2017天津卷)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求an和bn的通项公式;,解:(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q. 由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12.
6、 而b1=2,所以q2+q-6=0.解得q=-3或q=2. 又因为q0,所以q=2.所以bn=2n. 由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8, 由S11=11b4,可得a1+5d=16, 联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以,数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n.,(2)求数列a2nbn的前n项和(nN*).,反思归纳,(1)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比,然后作差求解; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项
7、对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.,解:(1)由题意,得 =a1+n-1,即Sn=n(a1+n-1), 所以a1+a2=2(a1+1),a1+a2+a3=3(a1+2),且a2=3,a3=5. 解得a1=1,所以Sn=n2, 所以当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 又n=1时也满足. 故an=2n-1.,【跟踪训练3】 (2018江西百校联盟联考)已知数列an的前n项和为Sn,数列 是公差为1的等差数列,且a2=3,a3=5. (1)求数列an的通项公式;,(2)设bn=an3n,求数列bn的前n项和Tn.,备选例题,【例1】 在数列an中,an+1
8、+(-1)nan=2n-1,则数列an的前12项和等于( ) (A)76 (B)78 (C)80 (D)82,解析:因为an+1+(-1)nan=2n-1,所以a2-a1=1,a3+a2=3,a4-a3=5,a5+a4=7,a6-a5=9, a7+a6=11,a11+a10=19,a12-a11=21,所以a1+a3=2,a4+a2=8,a12+a10=40,所以从第一项开始,依次取两个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始,依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项,以16为公差的等差数列,以上式相加可得, S12=a1+a2+a3+a12=(a1+a3)+(a5+a7)+(a9+a11)+(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12) =32+8+24+40=78.故选B.,【例3】 已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列bn的通项公式;,
