1、浙江省重点中学协作体 2015 届高三高考摸底测试数学理试题（解析版）【试卷综评】突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求.选择题部分（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1已知全集 RU，集合 ,12|,0|2 ZnxNxM，则 NM（ ） 。A0 B1 C0，1 D【知识点】集合的交集
2、.【答案解析】B解析 ：解 ： 由 题 意 可 知 集 合 ,集合 ，所以01M=奇 数,故选B.1MN=【思路点拨】先求出两个集合在求交集即可.2若 )0(sin)(:,2: xfqZkp 是偶函数，则 p 是 q 的（ ） 。A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【知识点】必 要 条 件 、 充 分 条 件 与 充 要 条 件 的 判 断 ;函 数 的 奇 偶 性 .【答案解析】A解析 ：解 ： 若 ，则 ，所以=+2kpj()sin+)cos2fxkxpww=有 ，故函数为偶函数，充分性成立；若 是偶函数，则()fx=- (xj，即 ，所以 （舍去）( (
3、)sin()sinxxwjj- kjj-或 ，解得 ，故选A.2xkpwjj+-+=+2kjp【思路点拨】根 据 函 数 奇 偶 性 的 定 义 和 性 质 ， 结 合 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 定 义 即 可 得到 结 论 3一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是 2的圆，则这个几何体的表面积是（ ） 。A 16 B 14 C 12 D 8【知识点】由三 视 图 求 几 何 体 的 表 面 积 .【答案解析】A 解析 ：解 ： 由 三 视 图 可 知 该 几 何 体 为 一 个 球体 的 ， 缺 口 部 分 为 挖 去 球 体 的 球 的 半 径 ，34 2R
4、=正视图俯视图左视图这 个 几 何 体 的 表 面 积 等 于 球 的 表 面 积 的 加 上 大 圆 的 面 积 34,故 选 A23S4R16pp=+=【思路点拨】由 三 视 图 可 知 该 几 何 体 为 一 个 球 体 的 ， 缺 口 部 分 为 挖 去 球 体 的 ，14据 此 可 得 出 这 个 几 何 体 的 表 面 积 4 ,2， ， ，则 x与 y的大小关系为（ ） 。()logcsinxpa()logsinypa=A y B C x D不确定 【知识点】换底公式；比较大小.【答案解析】C解析 ：解 ： 因 为 ，,42pa“， ，所以 ，然后两边同时取以 为底的对()log
5、csinxpa=()logsinypa=0,xy数可以得到 ， ，所以由两式可lllixpllogcslinppp=得 ，即 ，故选C.logyp【思路点拨】首先根据 的范围判断出 ，然后两边同时取以 为底的对数即可a0,xy比较大小.5二项式 61()x的展开式中常数项为（ ）。A-15 B15 C-20 D20【知识点】二 项 式 定 理 的 应 用 ;二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式 ;求 展 开 式 中 某 项 的 系 数 .【答案解析】B 解析 ：解 ： 二 项 式 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为61x-， 令 ， 求 得 r=4， 故 展 开 式 中 常 数 项
6、为 ，()36216rrrTCx-+=0r- 4615C=故 选 ： B【思路点拨】先 求 得 二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式 ， 再 令 x的 幂 指 数 等 于 0， 求 得 r的 值 ，即 可 求 得 常 数 项 的 值 6若函数 yfx在 0,上的导函数为 f，且不等式 ffx恒成立，又常数 ,ab满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ） 。A ff B afbf C D .【知识点】利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 导 数 的 运 算 【答案解析】A 解析 ：解 ： 令 ， 则 ；()()0fxg=()2()0xffgx-=又 xffx， ； 函 数 在
7、上 是 增 函 数 ()0g()gx0,+又 0ab， ， 即 ， bfafabfaf故 选 ： A.【思路点拨】构 造 ， 求 ， 利 用 利 用 导 数 判 定 g（ x） 的 单()()0fxg=()gx调 性 ， 可 以 得 出 结 论 7函数 )2|)(2sin)(xf 的图象向左平移 6个单位后关于原点对称，则函数在 0,上的最小值为（ ） 。A 32 B 12 C 12 D 32【知识点】函 数 的 图 象 变 换 ； 函 数 的 值 域 .sin()yxwj=+【答案解析】A 解析 ：解 ： 函 数 )2|)(sin(xf 的 图 象 向 左 平 移 6个 单位 后 ， 所 得
8、 图 象 对 应 的 函 数 解 析 式 为 (isin()63f xppjj=+=+）再 由 所 得 图 象 关 于 原 点 对 称 ， 可 得 为 奇 函 数 ， 故sin2)3fxj），3kpj+= 可 得 函 数 ， 又 因 为 ， ，所以就j-(sin2-)3fxp=） 0,2xp0,x有，故当 ，函数有最小值，最小值为 3，故选 A.22-,3xp-x【思路点拨】根 据 的 图 象 变 换 规 律 可 得 ， 所 得 图 象 对 应 的 函 数 解 析sin()yAwj=+式 为 根 据 为 奇 函 数 ，(si23fxpj） (sin2)3fxpj=+）可 得 ,求 得 的 值
9、可 得 函 数 解 析 式 ， 然 后 在 定 义 域 内 求 最 值 即 可 .3kpj+j8将 1234 四个数字随机填入右方 的方格中每个方格中恰填一数字但数字可重复使用 试问事件 方格的数字大于AB方格的数字且 方格的数字大于 方格的数字的机率为（ ） 。CDA B C D 1696425649256【知识点】古 典 概 型 及 其 概 率 计 算 公 式 ； 排 列 、 组 合 的 运 用 。【答案解析】B解析 ：解 ： 因为将4 个数字可重复的填入4个方格中所以共有种填法,设填入A,B两方格的数字分别为 ,且 此时数对 有以下6种425=ab,ab填法 同理填入C,D 两方格的数字
10、也有6种填法13,2,1,3因此所求机率为 故选 B6954【思路点拨】先求出四个数字随机填入 的方格中的总数，再求出满足题意的基本事件2数，最后求比值即可.9将一圆的六个等分点分成两组相间的三点 它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星如图所示的正六角星是以原点 为中心其中 分别为原点 到两个顶点的向量 若OxyO将原点 到正六角星 12 个顶点的向量都写成为 的形式axby则 的最大值为（ ） 。abA2 B3 C4 D5 【知识点】向量的表示；分类讨论.【答案解析】D解析 ：解 ：因为若求 的最大值所以考虑右图中的 6 个顶点之向量即可ab讨论如下(1) 若 故 OA
11、x,1,0(2) 若 故 3BFyx,3,1ab(3) 若 故 2C2(4) 若 23DEyxOCyxxyx故 ,3,2ab(5) 若 故 OFyx,1,ab(6) 若 故 ,0,1ab因此 的最大值为 故选 Da325【思路点拨】根据题意分类讨论即可.10设 f为实系数三次多项式函数.已知五个方程式的相异实根个数如下表所述 20x1 10fx11f3 213 关于 f的极小值 试问下列（ ）选项是正确的A 01 B 201 C 10 D 不存在 【知识点】方程的根与函数的关系；函数的极值.【答案解析】C解析 ：解 ： 方程式 的相异实根数等价于函数()()fxkfxk与直线 两图形的交点数依
12、题意可得两图形的略图有以下两种情形()yfxyk(1)当 的最高次项系数为正时 (2) 当 的最高次项系数为负时 ()fx因为极小值点 位于两水平线 与 之间所以其 坐标 （即极小值）的范A0y1y围为 故选 C10【思路点拨】方程式 的相异实根数等价于函数 与直线()()fxkfxk()yfx的交点数，然后画图形即可.yk非选择题部分（共 100 分）二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分11某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 表示，椐统计，随机变量 的概率分布如下图，则 的数学期望为 。【知识点】离 散 型 随 机 变 量 的 期 望 .0 1 2 3p.3a【答
13、案解析】 解析 ：解 ： 由 概 率 分 布 的 性 质 有 ， 解 得1.7 0.1321a+=， 的 概 率 分 布 为0.2a=，故答案为： .E0.1.320.4.17x=+=17【思路点拨】对 于 随 机 变 量 的 所 有 可 能 的 取 值 ， 其 相 应 的 概 率 之 和 都 是 1， 所 以 可以 求 出 a值 ， 再 利 用 数 学 期 望 的 定 义 求 解 12如右图，如果执行右面的程序框图，输入正整数 ，满足mn,，那么输出的 等于 。mnP【知识点】循 环 结 构 的 程 序 框 图 ； 排 列 公 式 .【答案解析】 解析 ：解 ： 第 一 次 循 环 ：nA；
14、1,+1kp=-第 二 次 循 环 ： ；()2, 2kpmn=-+第 三 次 循 环 ： ;()33m-第 m次 循 环 ： (),12.1kpnn=-+-此 时 结 束 循 环 ， 输 出 ()mnmA=故答案为： .mnA【思路点拨】分 析 程 序 中 各 变 量 、 各 语 句 的 作 用 ， 再 根 据 流 程 图 所 示 的 顺 序 可 知 ： 该程 序 的 作 用 是 利 用 循 环 计 算 并 输 出 变 量 P的 值 ， 用 表 格 对 程 序 运 行 过 程 中 各 变 量 的值 进 行 分 析 即 可 13已知 x、 y满足约束条件 21yx，若目标函数 (0,)zaxb
15、y的最大值为 7,则 ba43的最小值为 。【知识点】基 本 不 等 式 在 最 值 问 题 中 的 应 用 ； 简 单 线 性 规 划 【答案解析】7 解析 ：解 ： 作 出 不 等 式 组 21yx表 示 的 平 面 区 域 ，得 到 如 图 的 ABC 及 其 内 部 ， 其 中 A（ 1， 0） ， B（ 3， 4） ， C（ 0， 1）0 1 2 3p30.4 0.2设 (0,)zaxby， 将 直 线 ： 进 行 平 移 ， 并 观 察 直 线 在 xlzaxby=+l轴 上 的 截 距 变 化 ， 可 得 当 经 过 点 B 时 ， 目 标 函 数 z 达 到 最 大 值 ,l即
16、 347+=因 此 ， ，()1341257abab+ ， 可 得 ，0,ab24= ， 当 且 仅 当 时 ， 的 最()341155277ab+=+1ab=34ab+小 值 为 7 故 答 案 为 ： 7【思路点拨】作 出 题 中 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 ， 得 到 如 图 的 ABC 及 其 内 部 ， 利用 直 线 平 移 法 求 出 当 x=3 且 y=4 时 ， 取 得 最 大 值 为 7，zaxby+即 再 利 用 整 体 代 换 法 ， 根 据 基 本 不 等 式 加 以 计 算 ， 可 得 当34ab+时 的 最 小 值 为 71=14设 nS是各项均为非
17、零实数的等差数列 n的前 项和，且满足条件 4210a，则9的最大值为 。【知识点】等差数列的通项公式、性质、前n项和公式；三角换元,三角函数的最值.【答案解析】 412解析 ：解 ： 由 4210a， 可 设 ， ， 所1cosarq=10sinar以 设 na的 公 差 为 ， 则 ，rd9sind-所 以 ， 所 以 ，sico9rdq-=910 s9rq=()19 sinco(si)10co8in()222raSqq-+=,)0cos8in41i4qj=所 以 9的 最 大 值 为 ,故答案为 。1【思路点拨】由 4210a， 可 设 ， ， 代 入 求 和 公 式 ， 利 用1cos
18、arq=10sinar三 角 函 数 的 有 界 性 即 可 求 得 其 最 大 值 15已知椭圆 C： 的左右焦点分别为 ，点 P 为椭圆 C 上的任意一2(0)yxb12,F点，若以 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆 C 的离心率12,FP的取值范围是 。【知识点】椭圆的定义与离心率.【答案解析】 解析 ：解 ： 因 为 点 P 的 横 坐 标 满 足 ，且当点21, 0x0cx-P 在短轴顶点时， 一定是锐角或直角，所以 ，所以椭圆 C 的离心率的取12FP2bac值范围是 ，故答案为 .2,21,【思路点拨】先确定出点 P的 横 坐 标 的范围，在根据 是锐角或直角
19、解不等式组0x12FP即可.16把座位编号为 1、2、3、4、5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为： 。（用数字作答）【知识点】排 列 、 组 合 的 应 用 .【答案解析】 解析 ：解 ： 先 将 票 分 为 符 合 条 件 的 4份 ， 由 题 意 ， 4人 分 5张 票 ，96且 每 人 至 少 一 张 ， 至 多 两 张 ， 则 三 人 一 张 ， 1人 2张 ， 且 分 得 的 票 必 须 是 连 号 ， 相当 于 将 1、 2、 3、 4、 5这 五 个 数 用 3个 板 子 隔 开 ， 分 为 四 部
20、 分 且 不 存 在 三 连 号 在 4个 空 位 插 3个 板 子 ， 共 有 种 情 况 ， 再 对 应 到 4个 人 ， 有 种 情 况 ， 则34C=42A=共 有 种 情 况 496=故 答 案 为 【思路点拨】根 据 题 意 ， 先 将 票 分 为 符 合 题 意 要 求 的 4份 ， 用 隔 板 法 易 得 其 情 况 数目 ， 再 将 分 好 的 4份 对 应 到 4个 人 ， 由 排 列 知 识 可 得 其 情 况 数 目 ， 再 由 分 步 计 数原 理 ， 计 算 可 得 答 案 17 已知 在 上是增函数， 方程 有|Ma()2sinfxa,3|Nb|130xb实数解，
21、设 ，且定义在 R 上的奇函数 在 内没有最小值，则NDmxnf2)(D的取值范围是 。 m【知识点】利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 奇 函 数 【答案解析】 解析 ：解 ： 在 上是增函数，可 得32|Ma()2sinfxa,34且 ， 即 ， 解 得 ， 故 ,23Tp0a23p32a3|2Ma= 方程 有实数解， ， 所 以 可 得 |Nb|10xb|1Nbhx=mxnf2)( ()hx内 没 有 最 大 值 ， 下 面 对 在 内 的 最 大 值 进 行 研 究 ：Dh由 于 ， 令 ， 可 解 得 ， 令 ， 可 解 得 ，()21mx+()0x()0hxxD，
22、解 得 ， 符 合 题 意312m+综 上 讨 论 知 ， m 的 取 值 范 围 是 ， 故 答 案 为 .3232m【思路点拨】先 确 定 出 集 合 的 范 围 ， 求 出 集 合 的 范 围 再 根 据,MND在 内 没 有 最 小 值 ， 对 函 数 的 最 小 值 进 行 研 究 ， 可 先 求 其 导 数 ， 利 用xnf2)(D导 数 研 究 出 函 数 的 单 调 性 ， 确 定 出 函 数 的 最 小 值 在 区 间 的 左 端 点 取 到 即 可 ， 由于 直 接 研 究 有 一 定 困 难 ， 可 将 函 数 变 为 ， 构 造 新 函21()xfm=+， 将 研 究
23、原 函 数 没 有 最 小 值 的 问 题 转 化 为 新 函 数 没 有 最 大 值 的 问 题 ， 利()mhx=+用 导 数 工 具 易 确 定 出 新 函 数 的 最 值 ， 从 而 解 出 参 数 m 的 取 值 范 围 【 典 型 总 结 】 本 题 主 要 考 查 函 数 的 单 调 性 与 其 导 函 数 的 正 负 情 况 之 间 的 关 系 ， 三 角函 数 的 周 期 求 法 及 对 三 角 函 数 图 象 特 征 的 理 解 ， 指 数 函 数 的 值 域 及 集 合 的 运 算 考查 了 转 化 的 思 想 及 分 类 讨 论 的 思 想 ， 计 算 的 能 力 ，
24、本 题 综 合 性 强 涉 及 到 的 知 识 点 较多 ， 属 于 综 合 题 中 的 难 题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18 （本小题满分14 分）在 ABC中，三个内角分别为 CBA,，且 Acos2)3cos(（1 ） 若 6, 3,求 （2 ） 若 )0(B，且 54)cos(BA，求 sin【知识点】两 角 和 差 的 正 余 弦 公 式 的 应 用 ; 正弦定理.【答案解析】（1） （2 ） .61C3si10-=解析 ：解 ： 因为 ，得 ，Aco)3cos( Acos23sincos即 ，因为 ，且 ，A3sin,0所以 ，所以 。ta（1 ）因为 ， ， ，所以1cossin22C36cs,0C3sinC又 ，621362inoi)i(i AAB由正弦定理知： ，即 。Bsini 1（2 ）因为 ，所以 ，)3,0(3,0，所以 ，1cos(sin2BA5)sin(BA所以 . 1034)sin(cociii BA
