1、上海戏剧学院附中 2015 届高三上学期 11月月考数学试卷(文理合卷）（本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟） 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1 (理)计算： . nCn2642lim(文) .21lin2.若 i是关于 x的实系数方程 的一个复数根，则20xc_c3设集合 25,log(3),AaBb，若 2AB，则 AB 。4.若函数 ，则方程 的解 ()10xf1()lg()fxx5. 在二项式 的展开式中，含 的项的系数是 5246. 以 为起点作向量 ， ，终点分别为 、 已知：OabAB， ， ，则 的面积
2、等于 2a5b6aAB7. 在锐角 中， 分别是角 所对的边，且 ，ABC,bc,C32sinac则角 的大小为 8.阅读右边的程序框图，若输出 s的值为 7，则判断框内可填写_9 （理）设 为定义在 上的奇函数，当 时，()fxR0x（ 为常数） ，则 _()2xfb1(文)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x 2x，则 f(1)_.10. 从 5 名候选同学中选出 3 名，分别保送北大小语种（每个语种各一名同学）：俄罗斯语、阿拉伯语与希伯莱语，其中甲、乙二人不愿学希伯莱语，则不同的选法共有 _种。11.（理）已知双曲线 1(a0 ，b0)的两条渐近线均和圆 C：
3、x 2y 26x50 相切，x2a2 y2b2且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为 _（文）已知双曲线 1(a0 ，b0)的左顶点与抛物线 y22px( p0)的焦点的距离为x2a2 y2b24，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为( 2，1) ，则双曲线的焦距为_12.（理）数列 na的首项为 3， nb为等差数列且 1(*)nnbaN若则 32b，102b，则 8 _（文）已知等差数列 na的前 项和为 5,1nSa，则数列 1na的前 100项和为_13对实数 a 和 b，定义运算“” ；abError!设函数 f(x)( x22)( x1)，xR.若函数yf(
4、x) c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是_14. 若椭圆 1 的焦点在 x 轴上，过点 作圆 x2y 21 的切线，切点分别为x2a2 y2b2 (1，12)A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，选对得 4 分，否则一律得零分15对于函数 yf( x)，x R， “y| f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“yf(x) 是奇函数”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件16. 下面是关于复数 21zi的四个命题：其中的真命题为 （ ）1:pz 2:p
5、zi 3:pz的共轭复数为 1i 4:pz的虚部为()A23,()B 12, ()C, ()D,17函数 f(x) cosx 在0，) 内 ( )xA没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点18已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，0,)()fx()3(2)ffx0,2)x设 在 上的最大值为 ，且 的前2()fxx(f2,n*naNnan项和为 ，则 的值为 nSlimn（ ）A3 B C2 D532三、解答题（本大题满分 78 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19(本题满分 14 分)已知命题 ： ，其中 为常数，命题 ：把三阶行列式 中第P
6、lim0nccQxc8146325一行、第二列元素的代数余子式记为 )(xf，且函数 )(xf在 上单调递增。若命题4,是真命题，而命题 是假命题，求实数 的取值范围。Qc20(本题满分 15 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 8 分.（理）已知向量 (cosin,si)xxa, (cosin,3cos)xxb,设函数()fxb)R的图象关于直线 对称。其中 ,为常数,且 1(,)2. ()求函数 (fx的最小正周期; ()若 )y的图象经过点 (,0)4，求函数 ()fx在区间 30,5上的取值范围.（文）已知向量 ,函数(sin1)(3cos2)(0A
7、mxx ， ， ，的最大值为 6. ()fx()求 ;A()将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短()yfx12为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 的图象。求 在 上的值域. 12()ygx()gx50,2421 (本题满分 15 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 8 分. (理)根据统计资料，某工艺品厂每日产品废品率 与日产量 (件)之间近似地满足关px系式 (日产品废品率= )。已知每生产一件正2(,158)10pxN (日 废 品 件 数日 产 量 件 数品可赢利 千元，而生产一件废品则亏损 千元。该车间的日利润 按照日正品赢
8、利额减1T去日废品亏损额计算。(1)将该车间日利润 (千元)表示为日产量 (件)的函数；Tx(2)当该车间的日产量为多少件时，日利润额最大？最大日利润额是几千元？(文)沪杭高速公路全长 千米。假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于16千米/时且不高于 千米/时的时速匀速行驶到杭州，已知该汽车每小时的运输成本6020(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 (千米/时)的平方成正比，y v比例系数为 ；固定部分为 元。.(1)把全程运输成本 (元)表示为速度 (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；yv(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多
9、少元？(结果保留整数)22(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题（I）满分 6 分，第 2 小题（II）满分 6 分. 已知抛物线 C: )0(2pxy上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5.（1）求抛物线 C 的方程；（2）设直线 bk与抛物线 C 交于两点 ),(1yxA， ),(2yB，且 ay|21（0a，且 为常数） .过弦 AB 的中点 M 作平行于 轴的直线交抛物线于点 D，连结AD、 BD 得到 ABD.（I）求证： )1(62kba；（II）求证： 的面积为定值 .23 (本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满
10、分 6 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 6 分.（理）有 个首项都是 1 的等差数列，设第 个数列的第 项为nmkmka，公差为 ，并且 成等差数列(,12,3, )mk d123,nna（）证明 （ ， 是 的多项式） ，并求 的值；12mdp3 p12p（）当 时，将数列 分组如下：, m(每组数的个数构成等差数列 )123456789(),) (,)d设前 组中所有数之和为 ，求数列 的前 项和 m4()0)mc2mcdnnS（）设 是不超过 20 的正整数，当 时，对于（）中的 ，求使得不等式NnN成立的所有 的值1(6)50nnSd（文）有 个首项为 1，项数为 的等差
11、数列，设其第 m(3, )N n个等差数列的第 k项为 mka，且公差为 d. 若 1，(, )mn (,23,)2d，13,nnaa也成等差数列（）求 m（ ）关于 m的表达式； （）将数列 d分组如下： 1()d， 234,)， ， ， ， ， ），5(d678d9（每组数的个数组成等差数列） ，设前 组中所有数之和为4()0)mc，求数列2mc的前 n项和 nS；（）设 N是不超过 20 的正整数，当 N时，对于（）中的 nS，求使得不等式成立的所有 的值1(6)50nnSd解答（文理合） 一、填空：1、 （理） （文）2 2、 3 3、 1,2,5 4、 3 5、 106、 47、 3
12、8、 ?i9、 （理）-3 （文） 310、 611（理） 1. （文）2x25 y24 512、 （理 ）3 （文） 10 13、 (2 ，1(1,214、 1x25 y24二、选择题：15、B. 16、 C 17、B 18、D三、解答题：19、解析:因为命题 是真命题，所以 。P1c，414)(2cxxcxf若函数 在 上单调递增，则 ，f,(42c2而命题 是假命题，故 。Q21c因此满足题意的实数 的取值范围为 。)21,(20（理）解析:()因为 22()sincos3sincofxxx cos23sinxx2sin()6x. 由直线 x是 ()yf图象的一条对称轴,可得 i1, 所
13、以 262kZ,即 1()23kZ. 又 1(,), ,所以 ,故 56. 所以 fx的最小正周期是 . ()由 ()yf的图象过点 (,0)4,得 ()0f, 即 52sin2sin6,即 2. 故 ()i()3fx, 由 05,有 566x, 所以 1sin()123,得 52sin()236x, 故函数 )fx在 0,5上的取值范围为 1,. （文）解析:() , 62sinco2sin32cossinco3)( xAxAxxAnmf则 ; 6A()函数 y=f(x)的图象像左平移 个单位得到函数 的图象, 126)12(sin6xy再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,
14、得到函数. )34sin(6)(xg当 时, , . 25012)34sin(,67x6,3)(xg故函数 在 上的值域为 . ()gx,4,21（理）解：(1) ；2142(1)(,18)0xTxpNxA(2)令 则 ，0,t9,t30Tt因为 ，当且仅当 即 时取等号.而 ，32t3,ttN所以当 时， 有最小值 11，56t或0t从而 T 有最大值 4，此时， 45x或（文）解：(1) 2120(0.)(.),6,120yvv(2) 166.9当且仅当 即 时取等号，20.,v20156.20.所以，当汽车以 105km/h 的速度行驶时，全程的运输成本最小，约为69622、解 （1）依
15、题意得： 452p，解得 2.所以抛物线方程为 yx .（2） （I）由方程组 2,4kb消去 得： 240kyb.（）依题意可知： 0.由已知得 12yk， 12yk. 由 a，得 21()4ya，即 226bk，整理得 26kb.所以 1()ak . （II）由（I）知 AB中点 2,)Mk，所以点 2(,)Dk，依题意知 122ABDbkSMya.又因为方程（）中判别式 60，得 10.所以 2ABbka ，由（I）可知26k，所以316DS. 又 a为常数，故 AB的面积为定值. 23（理科）解：（）由题意知 1()mnmad，212 21()()nad同理， ， ，3232()n4343nad(1) 1n又因为 成等差数列，所以 .23,nnaa 2132(1)nnnnaa故 ，即 是公差为 的等差数列21 1nddd 1d所以， 212()()()mm令 ，则 ，此时 12,p2p1p（）当 时， 3d* ()mdN数列 分组如下： m123456789(), ,)d按分组规律，第 组中有 个奇数，所以第 1 组到第 组共有 个奇数2(1)m注意到前 个奇数的和为 ，k135k所以前 个奇数的和为 . 2m24()即前 组中所有数之和为 ，所以 4()mc因为 ，所以 ，从而 0mcmc *21)2()mdN所以 .234157(312nnnS
