1、正比例函数与一次函数综合练习 50 题1如图，已知函数 y= x+b 的图象与 x 轴，y 轴分别交于点 A、B，与函数 y=x的图象交于点 M，点 M 的横坐标为 2，在 x 轴上有一点 P（a ，0） （其中 a2） ，过点 P 作 x 轴的垂线，分别交函数 y= x+b 和 y=x 的图象于点 C、D（1）求点 M、点 A 的坐标；（2）若 OB=CD，求 a 的值，并求此时四边形 OPCM 的面积2如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过点 B（6，0）的直线 AB 与直线 OA 相交点 A（4，2） ，动点 M 在直线 OA 上运动（1）求直线 AB 的解析式（2）求OAC 的面
2、积（3）是否存在点 M，使 OMC 的面积是OAC 的面积的 ？若存在求出此时点 M 的坐标；若不存在，说明理由3如图，一次函数 y=x+m 的图象与 x 轴和 y 轴分别交于点 A 和点 B，与正比例函数 y= x 图象交于点 P（2，n） （1）求 m 和 n 的值；（2）求POB 的面积；（3）在直线 OP 上是否存在异与点 P 的另一点 C，使得OBC 与OBP 的面积相等？若存在，请求出 C 点的坐标；若不存在，请说明理由4如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l1：y=mx（m0）与直线l2：y=ax +b（a0 ）相交于点 A（1，2） ，直线 l2 与 x 轴交于点 B
3、（3，0） （1）分别求直线 l1 和 l2 的表达式；（2）过动点 P（0，n）且平行于 x 轴的直线与 l1，l 2 的交点分别为 C，D，当点C 位于点 D 左方时，写出 n 的取值范围5如图，一次函数 y=ax+b 的图象与正比例函数 y=kx 的图象交于点 M（1）求正比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使正比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围；（3）求MOP 的面积6在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=x+7 的图象交 y 轴于点 D，且它与正比例函数 y= x 的图象交于点 A（1）求点 D 的坐标；（2）求线段 OA 的长；（3）设 x 轴上有一点
4、P（a，0） ，过点 P 作 x 轴的垂线（垂线位于点 A 的右侧） ，分别交 y= x 和 y=x+7 的图象于点 B、C ，连接 OC，若 BC= OA，求OBC 的面积7如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=x+b 的图象与正比例函数 y=kx 的图象都经过点 B（3，1）（1）求一次函数和正比例函数的表达式；（2）若直线 CD 与正比例函数 y=kx 平行，且过点 C（0，4） ，与直线 AB 相交于点 D，求点 D 的坐标 （注：二直线平行， k 相等）（3）连接 CB，求三角形 BCD 的面积8如图，经过原点的直线 l1 与经过点 A（0，24）的直线 l2 相交于点B（18，6
5、 ） 在 x 轴上有一点 P（a，0 ） （a0） ，过点 P 作 x 轴的垂线分别交直线 l1、l 2 于点 C、D（1）求直线 l2 的表达式；（2）若线段 CD 长为 12，求此时 a 的值；9如图，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点 A（3，4） ，且OA=OB（1）求两个函数的解析式； （2）直线 AB 交 x 轴于点 C，求AOC 的面积；（3）在 x 轴上存在一点 p，使AOP 是等腰三角形，直接写出所有符合要求的点 P 的坐标10如图，直线 y=x+6 交直线 y=x+6 于点 A，直线 y=x+6 与直线 y=2x 相交于点B，直线 y=x+6 与直线 y=2x 相
6、交于点 C（1）求点 B 的坐标；（2）求三角形 ABC 的面积；（3）若点 P 是直线 y=2x 上的动点，当ABP 的面积等于AOC 的面积时，求点 P 的坐标11如图，已知直线 l1： y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与直线l2：y= x 交于点 P直线 l3：y= x+4 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，与直线 l1 交于点 Q，与直线 l2 交于点 R（1）点 A 的坐标是 ，点 B 的坐标是 ，点 P 的坐标是 ；（2）将POB 沿 y 轴折叠后，点 P 的对应点为 P，试判断点 P是否在直线 l3 上，并说明理由；（3）求PQR 的面积12如图
7、，直线 y= x+3 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D，点 P 是直线y= x+3 上的一个动点（点 P 在第一象限） ，过 P 作 PFx 轴于点 F，交直线 CD于点 E，设点 P 的横坐标为 m（1）若 PE=5EF，求 m 的值；（2）过点 P 作 PGCD 交 y 轴于点 G，判断四边形 PECG 的形状，并说明理由13观察如图，A 点为正比例函数 y= x 与一次函数 y=x+7 的图象的交点 （1）求点 A 的坐标；（2）设 x 轴上一点 P（a，b ） ，过点 P 作 x 轴的垂线（垂线位于点 A 的右侧）分别交 y= x 和 y=x+7 的图象于点 B，C ，连接
8、OC，若 BC= OA，求OBC 的面枳14如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y= x+6 分别与 x 轴、y 轴交于点B、C，且与直线 l2：y= x 交于点 A（1）分别求出点 A、B、C 的坐标；（2）若 D 是线段 OA 上的点，且COD 的面积为 12，求直线 CD 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设 P 是 x 轴上的点，使得 P 到点 A、D 的距离和最小；求点 P 的坐标15如图，已知函数 y= x+b 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，与数 y=x图象交于点 M，点 M 的横坐标为 2，在 x 轴上有点 P（a ，0） （其中 a2） ，过点 P 作 x
9、轴的垂线，分别交函数 y= x+b 和 y=x 的图象于点 C、D（1）求点 A 的坐标；（2）若 OB=CD，求 a 的值；（3）在（2）条件下若以 OD 线段为边，作正方形 ODEF，求直线 EF 的表达式16如图，平面直角坐标系中，已知直线 y=x 上一点 P（2，m） ，C（0，n）为y 轴上一点，以 P 为直角顶点作等腰 RtPCD，过点 D 作直线 ABx 轴，垂足为 B，直线 AB 与直线 y=x 交于点 A（1）求 m 的值，并求出直线 PC 的函数表达式（用含 n 的式子表示） ；（2）判断线段 OB 和 OC 的数量关系，并证明你的结论；（3）当OPCADP 时，求点 A
10、的坐标17如图 1，直线 l1：y= x+3 与坐标轴分别交于点 A，B，与直线 l2：y=x 交于点 C（1）求 A，B 两点的坐标；（2）求BOC 的面积；（3）如图 2，若有一条垂直于 x 轴的直线 l 以每秒 1 个单位的速度从点 A 出发沿射线 AO 方向作匀速滑动，分别交直线 l1，l 2 及 x 轴于点 M，N 和 Q设运动时间为 t（s） ，连接 CQ当 OA=3MN 时，求 t 的值；试探究在坐标平面内是否存在点 P，使得以 O、 Q、C、P 为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由18如图 1，在直角坐标系中，点 A 坐标为（0，12） ，
11、经过原点的直线 l1 与经过点 A 的直线 l2 相交于点 B（m，n）（1）若 m=9，n=3，求直线 l1 和 l2 的解析式；（2）将BAO 绕点 B 顺时针旋转 180得BFE，如图 2，连接 AE，OF；证明：四边形 OFEA 是平行四边形；若四边形 OFEA 是正方形，则 m= ，n= 19如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0） ，B 为直线 y= x 上的一个动点，延长 AB 至 C，使得 AB=BC，过点 C 作 CDx 轴于点 D，交直线OB 于点 F，过点 A 作 AEOB，交直线 CD 于点 E（1）求直线 AE 的解析式；（2）在点 B 的运动过程中，线段
12、 CF 的长是否发生改变？若不变，请求出线段CF 的长；若改变，请说明理由；（3）若 AD=EF，点 D 在点 A 的右侧，直接写出 tanCAD 的值；（4）连接 BE，在点 B 的运动过程中，是否存在点 E，使ABE 为直角三角形？若存在，直接写出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由20已知如图，直线 y= x+4 与 x 轴相交于点 A，与直线 y= x 相交于点P（1）求点 P 的坐标；（2）求 SOPA 的值；（3）动点 E 从原点 O 出发，沿着 OPA 的路线向点 A 匀速运动（E 不与点O、A 重合） ，过点 E 分别作 EFx 轴于 F，EB y 轴于 B设运动 t 秒时，F
13、 的坐标为（a，0） ，矩形 EBOF 与OPA 重叠部分的面积为 S求：S 与 a 之间的函数关系式21已知如图，直线 y=kx+b 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，与直线 y=3x 交于点 C，且 |OA6|+ =0，将直线 y=kx+b 沿直线 y=3x 折叠，与 x 轴交于点D，与 y 轴交于点 E（1）求直线 y=kx+b 的解析式及点 C 的坐标；（2）求BCE 的面积；（3）若点 P 是直线 y=3x 上的一个动点，在平面内是否存在一点 Q，使以点A、C、P、Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 P、点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由22如图，在平面直角坐标系中
14、，直线 l1：y= x+6 分别与 x 轴、y 轴交于点B、C，且与直线 l2：y= x 交于点 A（1）点 A 的坐标是 ；点 B 的坐标是 ；点 C 的坐标是 ；（2）若 D 是线段 OA 上的点，且COD 的面积为 12，求直线 CD 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设 P 是射线 CD 上的点，在平面内是否存在点 Q，使以O、C 、 P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由23如图，直线 OC、BC 的函数关系式分别是 y1=x 和 y2=2x+6，动点 P（x，0）在 OB 上运动（0x3） ，过点 P 作直线 m 与 x 轴垂直（1）
15、求点 C 的坐标，并回答当 x 取何值时 y1y 2？（2）设COB 中位于直线 m 左侧部分的面积为 s，求出 s 与 x 之间函数关系式（3）当 x 为何值时，直线 m 平分COB 的面积？24如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=mx+n（m0）的图象与 x 轴交于点 A（3 ，0） ，与 y 轴交于点 B，且与正比例函数 y=2x 的图象交于点C（ 3，6） （1）求一次函数 y=mx+n 的解析式；（2）点 P 在 x 轴上，当 PB+PC 最小时，求出点 P 的坐标；（3）若点 E 是直线 AC 上一点，点 F 是平面内一点，以 O、C、E 、F 四点为顶点的四边形是矩形，请直接
16、写出点 F 的坐标25已知：如图 1，在AOB 中，OA=AB= ，BO=2，点 B 在 x 轴上，直线l1：y=kx +3（ k 为常数，且 k0）过点 A，且与 x 轴、 y 轴分别交于点 D，C，直线 l2：y=ax（ a 为常数，且 a0）与直线 l1 交于点 P，且DOP 的面积为 （1）求直线 l1，l 2 的解析式；（2）如图 2，直线 l3y 轴，与直线 l1，x 轴分别交于点 M，Q，且直线 l3 与线段 OA 或线段 OP 交于点 N若点 Q 的横坐标为 m（1m2） ，求APN 的面积 S 关于 m 的函数关系式26已知：如图 1，在平面直角坐标系中，直线 1：y= x+
17、4 与坐标轴分别相交于点 A、B 与 2：y= x 相交于点 C（1）求点 c 的坐标；（2）若平行于 y 轴的直线 x=a 交于直线 1 于点 E，交直线 l2 于点 D，交 x 轴于点 M，且 ED=2DM，求 a 的值；（3）如图 2，点 P 是第四象限内一点，且BPO=135，连接 AP，探究 AP 与BP 之间的位置关系，并证明你的结论27如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 l：y= x+8 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直线 l2 与直线 l 交于 C 点，tanCOA=2（1）求点 C 的坐标；（2）动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 以每秒 5 个
18、单位的速度向终点 B 运动，同时动点 Q 从点 B 出发，沿线段 BO 以每秒 4 个单位的速度向终点 O 运动设PBQ 的面积为 S，运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若BQP 与BOC 相似，求出符合题意的 t 值及点 P坐标28如图，已知直线 y=x+7 与直线 y= x 交于点 A，且与 x 轴交于点 B，过点 A作 ACy 轴与点 C点 P 从 O 点以每秒 1 个单位的速度沿折线 OCA 运动到 A；点 R 从 B 点以相同的速度向 O 点运动，一个点到终点时，另一个点也随之停止运动（1）求点 A 和点 B 的坐标；（2）过点 R 作直线
19、 ly 轴，直线 l 交线段 BA 于点 Q，设动点 P 运动的时间为t 秒当 t 为何值时，以 A，P，O ，R 为顶点的四边形的面积为 13？是否存在以 A、P、R 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由29 （1）如图 1，直线 AB：y=2x+8 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，与直线OC：y= x 交于点 C求点 C 的坐标；OAC 的面积（2）如图 2，已知直线 OC：y= x，作AOC 的平分线 ON，OAC 的面积为5，且 OA=4，P、Q 分别为线段 OA、OE 上的动点，连结 AQ 与 PQ，试探索AQ+PQ 是否存在最小值？若存在
20、，求出这个最小值；若不存在，说明理由30如图，已知点 P（m，5）在直线 y=kx（k0）上，线段 OP 的垂直平分线交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B，连接 AP，BP ，得“ 筝形”四边形 PAOB（1）当 m=2 时，求 tan POA 的值；（2）若直线 x=5 交 x 轴于点 C，交线段 AB 于点 D（异于端点） ，记“ 筝形”四边形 PAOB 的面积为 s，DCB 的面积为 t，试比较 s 与 2t+ 的大小，并说明理由31如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交于点A（ 3， 0） ，与 y 轴交于点 B，且与正比例函数 y= x 的图
21、象交点为C（ m，4） 求：（1）一次函数 y=kx+b 的解析式；（2）若点 D 在第二象限，DAB 是以 AB 为直角边的等腰直角三角形，直接写出点 D 的坐标；（3）在 x 轴上求一点 P 使POC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标32如图：在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y= 与一次函数y=x+7 的图象交于点 A（1）求点 A 的坐标；（2）在 y 轴上确定点 M，使得AOM 是等腰三角形，请直接写出点 M 的坐标；（3）如图、设 x 轴上一点 P（a，0） ，过点 P 作 x 轴的垂线（垂线位于点 A 的右侧） ，分别交 y= 和 y=x+7 的图象
22、于点 B、C，连接 OC，若 BC= OA，求ABC 的面积及点 B、点 C 的坐标；（4）在（3）的条件下，设直线 y=x+7 交 x 轴于点 D，在直线 BC 上确定点 E，使得ADE 的周长最小，请直接写出点 E 的坐标33如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+4 的图象经过点 A（1，3） ，点 B 是一次函数 y=kx+4 的图象与正比例函数 y= x 的图象的交点（1）求一次函数 y=kx+4 的表达式；（2）求点 B 的坐标（3）在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，直接写出满足条件的点 P 的坐标及PAB 的面积34如图，已知直线 l：y= x+b 与 x
23、轴、y 轴分别交于点 A，B，直线l1：y= x+1 与 y 轴交于点 C，设直线 l 与直线 l1 的交点为 E（1）如图 1，若点 E 的横坐标为 2，求点 A 的坐标；（2）在（1）的前提下，D（a，0）为 x 轴上的一点，过点 D 作 x 轴的垂线，分别交直线 l 与直线 l1 于点 M、N，若以点 B、C 、M、N 为顶点的四边形为平行四边形，求 a 的值；（3）如图 2，设直线 l 与直线 l2：y= x3 的交点为 F，问是否存在点 B，使BE=BF，若存在，求出直线 l 的解析式，若不存在，请说明理由35如图，直线 MN 与 x 轴，y 轴正半轴分别交于 A，C 两点，分别过
24、A，C 两点作 x 轴，y 轴的垂线相交于 B 点，直线 y=x 与直线 MN 交于点 P，已知AC=10， OA=8（1）求 P 点坐标；（2）作AOP 的平分线 OQ 交直线 MN 与点 Q，点 E、F 分别为射线 OQ、OA上的动点，连结 AE 与 EF，试探索 AE+EF 是否存在最小值？若存在，请直接写出这个最小值；若不存在请说明理由；（3）在直线 MN 上存在点 G，使以点 G，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出 G 点的坐标36如图，已知直线 y=x+1 与 y 轴交于点 A，一次函数 y=kx+b 的图象经过点B（0 ，1 ） ，与 x 轴以及 y=x+1 的
25、图象分别交于点 C、D，且点 D 的坐标为（1，n） （1）则 n= ，k= ，b= ；（2）求四边形 AOCD 的面积；（3）在 x 轴上是否存在点 P，使得以点 P，C，D 为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由37如图，一个正比例函数 y1=k1x 的图象与一个一次函数 y2=k2x+b 的图象相交于点 A（3，4） ，且一次函数 y2 的图象与 y 轴相交于点 B（0， 5） ，与 x 轴交于点 C（1）判断AOB 的形状并说明理由；（2）若将直线 AB 绕点 A 旋转，使AOC 的面积为 8，求旋转后直线 AB 的函数解析式；（3）在 x 轴上求一
26、点 P 使POA 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标38如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，C 为 x 轴正半轴上一点，S ABC =9（1）求点 C 的坐标；（2）若线段 AB 上一点 M 到坐标轴的距离相等求点 M 的坐标及直线 OM 的函数表达式；若点 P 为直线 OM 上一动点，且 APM=CPM，求点 P 的坐标39如图 1，已知直线 y=3x+6 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，点 C 在 x 轴负半轴上，S BOC =3SBOA（1）求直线 BC 的函数表达式；（2）如图 2，一条直线 y=mx 经过原点，与
27、直线 AB，BC 分别交于点 E、F，若SBOE =SBOF ，求 m 的值；（3）如图 3，将（2）中直线 EF 向上平行移动后经过点 B，与 x 轴交于点 G，设 H 为线段 BG 上一点（含端点） ，连接 AH，一动点 M 从点 A 出发，沿线段AH 运动到 H，再沿线段 HB 运动到 B 后停止，若点 M 在 AH 上的速度为每秒 1个单位，在 HB 上的速度为每秒 个单位，当点 H 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？40已知直线 y=2x10 与直线 y= x 相交于点 A，与 x 轴相交于点 B（1）求OAB 的面积（2）若 OC 平分 AOB 交 AB 于 C，在
28、 OA 上截取 OD=OB，连接 CD，证明：OCDOCB；求OAC 的面积；求点 C 的坐标41如图，已知一次函数 y=kx+32k（k0） ，A（2，1） ，C（2， 3） ，B（1 ，3 ） （1）求证：点 M（2，3 ）在直线 y=kx+32k（k0）上；（2）当直线 y=kx+32k（k0）经过点 C 时，点 P 是直线 y=kx+32k（k0）上一点，若 SCBP =2SABC ，求点 P 的坐标；（3）当直线 y=kx+32k（k0）与ABC 有公共点时，直接写出 k 的取值范围42如图 1，在平面直角坐标系中，A（0，4） ，C（4，0）且 AB 平行于 x 轴，点 B 在函数
29、 y= x 的图象上（1）求 BC 的函数解析式；（2）如果有一经过 B 点的直线将四边形 ABCO 的面积分成两个相等的部分，求这条直线的解析式；（3）如图 2，M，N 分别为线段 BC 上两点，且 OMBC，BNA=45，试判断线段 AN，MO，MC 三边的数量关系，并证明43如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x 与 x 轴交于点 A，与直线y= x 交于点 B（1）求点 B 的坐标；（2）点 B 关于 x 轴的对称点为点 C，求AOC 的面积；（3）过点 B 作 BDx 轴于点 D，动点 P 从点 D 出发，在射线 DB 上以每秒 1 个单位长度的速度向下运动，运动的时间为 t 秒，连接 OP，将线段 OP 以点 O 为旋转中心，逆时针旋转 90得线段 OP，连接 AP，APO 的面积为 S，在点 P运动过程中（不包含点 D） ，S 的值是否与 t 的值有关？如果有关，请直接写出S 与 t 的函数关系式；如果无关，请直接写出 S 的值
