1、1一次函数、反比例函数知识点总结及经典试题（1）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为_，把 y 称为_，y 是 x 的_。判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的_允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为_；（2）关系式含有分式时，分式的_；（3）关系式含有二
2、次根式时，_；（4）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式.6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：_（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值） ；第二步：_（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点） ；第三步：_（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来） 。8、函数的表示方法列表法：一目了然，
3、使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。（2）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如 （ ， 是常数，且 ）的函数，叫做一次函数，其中 x 是自变量。当 时，一ykxb0k 0b次函数 ，又叫做正比例函数。ykx一次函数的解析式的形式是 ，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式yxb当 ， 时， 仍是一次函数0bk当 ， 时，它不是一次函数正比例函数是一次函数的特例
4、，一次函数包括正比例函数2、正比例函数及性质一般地，形如 y=kx(k 是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) k 不为零 x 指数为 1 b 取零当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时，图像经过_象限；k0，y 随 x 的_；k0 时，向上平移；当 b0，_；k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b0 b03图象从左到右上升，_经过_象限 经过_象限 经过_象限k0 时，向上平移；当 b0 时，直线经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大
5、而增大；（从左向右上升）k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 个单位；bb0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移 个单位.7、直线 （ ）与 （ ）的位置关系1bxky02bxky0（1）两直线平行 且 （2）两直线相交2k1 21k（3）两直线重合 且 （4）两直线垂直 8、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.反比例函数：（一）反比例函数的概念
6、41 （ ）可以写成 （ ）的形式，注意自变量 x 的指数为 ， 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一限制条件；2 （ ）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解 析式中的 k，从而得到反比例函数的解析式；3反比例函数 的自变量 ，故函数图象与 x 轴、 y 轴无交点（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数 的图象时，应注意自变量 x 的取值不能为0，且 x 应对称取点（关于原点对称）（三）反比例函数及其图象的性质1函数解析式： （ ）2自变量的取值范围：3图象：（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直 越小，图象的弯曲度越大（2）图象的位置
7、和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线当 时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）在双曲线的另一支上图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）和（ ， ）在双曲线的另一支上4k 的几何意义：如图1，设点 P（a，b）是双曲线 上任意一点，作 PAx 轴于 A 点，PBy 轴于 B 点，则矩形 PBOA 的面积是 （三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是 ） 如图2
8、，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上，作 QCPA 的延长线于 C，则有三角形PQC 的面积为 图1 图255说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论（2）直线 与双曲线 的关系：当 时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称（四）充分利用数形结合的思想解决问题典型测试题1.下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x2 的是（ ）Ay= By= Cy= Dy= 21224x2x2 正比例函数 ，当 m 时，y 随 x 的增大而增大.(35)yx3 函数 y=(k-1)x，y 随
9、 x 增大而减小，则 k 的范围是 ( )A. B. C. D.0k1k1k14 若 m0, n0, 则一次函数 y=mx+n 的图象不经过（ ）A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限5 用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示） ，则所解的二元一次方程组是 ( ).A B C D2031xy千2103xy千21035xy千201xy千6.若一次函数 kb的图象经过第一象限，且与 轴负半轴相交，那（ ）A 0k， B 0， C 0k， bD 0k， b7.一次函数 y=kx+b（ k,b 是常数， k0）的图象如图 9 所示，则不
10、等式 kx+b0 的解集是（ ）A x-2 B x0 C x-2 D x08.如图，一次函数图象经过点 A，且与正比例函数 yx的图象交于点 ，则该一次函数的表达式为（ ）A 2B 2yx C 2yxD 2yx9.如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象.根据图象下列结论错误的是（ ）A.轮船的速度为 20 千米/时 B.快艇的速度为 40 千米/时 第 4 题x(千 千 )y(千 千 )快快快快86160o 2 480O xyAB 12xy k026C.轮船比快艇先出发 2 小时 D.快艇不能赶上轮船 10.一次函数 1ykxb与 yxa的图象如图，则下列
11、结论 0k； 0a；当 3时， 12中，正确的个数是（ ）11.函数 y=ax+b 与 y=bx+a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）12、一次函数 y=kxb 的自变量的取值范围是3 x 6，相应函数值的取值范围是5y 2，求这个一次函数的解析式。13 函数 y= 中自变量 x 的取值范围是_514函数 y=kx+b（k0）的图象平行于直线 y=2x+3，且交 y 轴于点（0，-1） ，则其解析式是_ 15.若直线 y=x+k 不经过第一象限，则 k 的取值范围为 。16.把直线 y= 向下平移 3 个单位得到的函数解析式为 。132x17.若 y=kx+（2k1）的图象经过原点
12、，则 k= ；当时 k= 时，这个函数的图象与轴交于（0，1）18.甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价 20 元，乒乓球每盒定价 5 元.现两家商店搞促销活动，甲店:每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店: 按定价的 9 折优惠。某班级需购球拍 4 付，乒乓球若干盒(不少于 4 盒)。(1)设购买乒乓球盒数为 x(盒 )，在甲店购买的付款数为 y 甲 (元) ，在乙店购买的付款为 y (元) ，分别写出在这两家商店购买的付款数与乒乓球盒数 x 之间的函数关系式；(2)就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算。19. 求下列一次函数的解析式：（1）图像过点（1，1）且与直线 平行
13、；（2）图像和直线 在 y 轴上相交于同一点，且过（2，3）点.20.已知一次函数 .求：（1） m 为何值时， y 随 x 的增大而减小；（2） m， n 满足什么条件时，函数图像与 y 轴的交点在 x 轴下方；（3） m， n 分别取何值时，函数图像经过原点；（4） m， n 满足什么条件时，函数图像不经过第二象限.xyO 32a1ykb721.已知一次函数 的图象经过点 及点 （1，6），求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积22.如图，直线 L： 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，在 y 轴21y上有一点 C（0，4）,动点 M 从 A 点以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左
14、移动。（1）求 A、B 两点的坐标；（2）求COM 的面积 S 与 M 的移动时间 t 之间的函数关系式；（3）当 t 何值时COMAOB，并求此时 M 点的坐标。23. 如图，A、B 分别是 轴上位于原点左、右两侧的点，点 P(2,p)在第一象限，直线 PA 交 轴于点 C(0,2)，直线 PB 交 轴于点 D， .(1) 的面积是多少？（2）求点 A 的坐标及 p 的值.（3）若 ，求直线 BD 的函数解析式. 24. 已知直线 11:bxkyl经过点（1，6）和（1，2） ，它和 x 轴、y 轴分别交于 B 和 A；直线212:bxkyl经过点（2，4）和（0，3） ，它和 x 轴、y
15、轴的交点分别是 D 和 C。（1）求直线 1l和 2的解析式；来源:学科网（2）求四边形 ABCD 的面积；（3）设直线 1l与 2交于点 P，求PBC 的面积。来源:学科网25.网络时代的到来，很多家庭都拉入了网络，电信局规定了拨号入网两种收费方式，用户可以任选其一：A：计时制 0.05 元/分；B：全月制：54 元/月（限一部分人住宅电话入网）此个 B 种上网方式要加收通信费 0.02 元/分。8（1） 某用户月上网的时间为 x 小时，两种收费方式的费用分别为 y1（元）y 2（元） ，写出 y1 、y 2 与 x 之间的函数关系式；（2） 在上网时间相同的条件下，请你帮该用户选择哪一种方
16、式上网更省钱？反比例函数：1反比例函数的概念（1）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ） Ay=3x B C3xy=1 D（2）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ） A B C D 2图象和性质（1）已知函数 是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么 k=_若 y 随 x 的增大而减小，那么 k=_（2）已知一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数 的图象位于第_象限（3）若反比例函数 经过点（ ，2） ，则一次函数 的图象一定不经过第_象限（4）已知 ab0，点 P（a，b）在反比 例函数的图象上，则直线 不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限
17、 C第三象限 D第四象限（5）若 P（2，2）和 Q（m，）是反比例函数 图象上的两点， 则一次函数 y=kx+m 的图象经过（ ） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限（6）已知函数 和 （k0） ，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A B C D3函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点 ， ，且 ，则的值为（ ） 9A正数 B负数 C非正数 D非负数（2）在函数 （a 为常数）的图象上有三个点 ， ，则函数值 、 、 的大小关系是（ ） A B C D （3）下列四个函数中： ； ； ； y 随 x 的增大而减小的函数有（ ） A0个 B1
18、个 C2个 D3个（4）已知反比例函数 的图象与直线 y=2x 和 y=x+1的图象过同一点，则当 x0时，这个反比例函数的函数值 y 随 x 的增大而_ （填“增大”或“减小” ） 4解析式的确定（1）若 与 成反比例， 与 成正比例，则 y 是 z 的（ ） A正比例函数 B反比例函数 C一次函数 D不能确定（2）若正比例函数 y=2x 与反比例函数 的图象有一个交点为 （2，m） ，则 m=_，k=_，它们的另一个交点为_（3）已知反比例函数 的图象经过点 ，反比例函数 的图象在第二、四象限，求 的值（4）已知一次函数 y=x+m 与反比例函数 （ ）的图象在第一象限内的交点为 P （x
19、0，3） 求 x0的值；求一次函数和反比例函数的解析式5面积计算（1）如图，在函数 的图象上有三个点 A、B、C，过这三个点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 、 、 ，则（ ） A B C D第（1）题图 第（2）题图（2）如图，A、B 是函数 的图象上关于原点 O 对称的任意两点， AC/y 轴，BC/x 轴，ABC 的面积 S，则（ ） AS=1 B1S2 CS=2 DS210（3）如图，RtAOB 的顶点 A 在双曲线 上，且 SAOB=3，求 m 的值第（3）题图 第（4）题图（4）已知函数 的图象和两条直线 y=x，y=2
20、x 在第一象限内分别相交于 P1和P2两点，过 P1分别作 x 轴、y 轴的垂线 P1Q1，P1R1，垂足分别为 Q1，R1， 过 P2分别作 x 轴、y 轴的垂线 P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为 Q 2，R 2，求矩形 O Q 1P1 R 1和 O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小（5）如图，正比例函数 y=kx（k0）和反比例函数 的图象相交于 A、C 两点，过 A 作 x 轴垂线交 x 轴于B，连接 BC，若ABC 面积为 S，则 S=_第（5）题图 第（6）题图（6）如图在 RtABO 中，顶点 A 是双曲线 与直线 在第四象限的交点，ABx 轴于 B 且 SABO=
21、 求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点 A、C 的坐标和AOC 的面积（7）（7）如图，已知正方形 OABC 的面积为9，点 O 为坐标原点，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 在函数（ k0，x0）的图象上，点 P （m，n）是函数 （k0，x0）的图象上任意一点，过 P 分别作 x轴、y 轴的垂线，垂足为 E、F，设矩形 OEPF 在正方形 OABC 以外的部分的面积为 S 求 B 点坐标和 k 的值； 当 时，求点 P 的坐标； 写出 S 关于 m 的函数关系式116综合应用（1）若函数 y=k1x（k10）和函数 （k2 0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则 k1
22、和 k2（ ） A互为倒数 B符号相同 C绝对值相等 D符号相反（2）如图，一次函数 的图象与反比例数 的图象交于 A、B 两点：A（ ，1） ，B（1，n） 求反比例函数和一次函数的解析式； 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的 取值范围（3）如图所示，已知一次函数 （k0）的图象与 x 轴、 y 轴分别交于A、B 两点，且与反比例函数 （m0）的图象在第一象限交于 C 点，CD 垂直于 x 轴，垂足为 D，若OA=OB=OD=1 求点 A、B、D 的坐标； 求一次函数和反比例函数的解析式（4）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于第一象限C、D 两点，坐标轴交于 A、B 两点，连结 OC，OD（O 是坐标原点） 利用图中条件，求反比例函数的解析式和 m 的值； 双曲线上是否存在一点 P，使得POC 和POD 的面积相等？若存在，给出证明并求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由（5） （5）不解方程，判断下列方程解的个数 ；
