1、广东省惠州市 2015 届高三 10 月第二次调研考试数学(文）试题2014.10 本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4考生必须
2、保持答题卡的整洁考试结束后，将答题卡一并交回参考公式：锥体的体积公式 ，其中 为锥体的底面积， 为锥体的高.13VShh一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1.设集合 ，集合 ，则 ( )3,21,0A240BxABA B C D ,2.复数 ( 为虚数单位 )在复平面上对应的点位于 ( )ziiA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知命题 ，则 为 ( ):p2,40xRxpA B ,200,4xRxC D24.已知向量 ， ，则 ( )(3,7)B(2,3)C1ACA. B
3、. C. D. 152， 15， 52， -152， -5.下列函数中，在区间 上为增函数的是( )0,)A B C Dln(1)yx|1|yx12xysinyx6.若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为( ),xy20xy2zxyA B C D62347.已知函数 的部分()sinfxx(0,)2A图象如图所示,则函数 的表达式是( )yfA. B. ()2si(3fxsin()3fxC. D. in)f()2i1f8.方程 有实根的概率为 （ ）20(,1xA B C D134349.圆心在 ，半径为 的圆在 轴上截得的弦长等于 ( )(,2)5xA B C D43662810.某学校要召
4、开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数 与该班人数 之间的函数关yx系用取整函数 ( 表示不大于 的最大整数）可以表示为 ( )yxxA B C D10310y410xy510y二、填空题：（本大题共 5 小题，分为必做题和选做题两部分每小题 5 分，满分 20 分）（一）必做题：第 11 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答11.抛物线 的准线方程是 .240xy12.在等比数列 中， ， ，则 _.na5478a913.在 中， ， ， ，则 _.ABC3BC6AC（二）选做题：第 14、15
5、 题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （xOyl4xtyt为参数）.以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标OC方程为 ，则直线 和曲线 的公共点有_ 个.42sinlC15.（几何证明选做题）如图，在半径为 3 的圆 中，直径 与OAB弦 垂直，垂足为 （ 在 、 之间）. 若 ，CDEA5E则 _.A三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分 12 分）设向量 ， ， .3sin,axcos,inbx0,2（1）
6、若 ，求 的值；b（2）设函数 ，求 的最大值()fxa()fx17.（本小题满分 12 分）移动公司在国庆期间推出 4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠 200 元，选择套餐二的客户可获得优惠 500 元，选择套餐三的客户可获得优惠 300 元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率. (1) 求某人获得优惠金额不低于 300 元的概率；(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出 6 人，再从该 6 人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率. 18.（本小题满分 14 分）如图，菱形 ABCD的边长为
7、6，60， O.将菱形 ABCD沿对角线 折起，得到三棱锥 ，点 M是棱A BCDE O入网人数套餐 套餐 套餐 套餐种类1 2 350 100150BC的中点， 32DM.（1 ） 求 证 ： /O平 面 ABD；（2 ） 求 三 棱 锥 的 体 积 .19.（本小题满分 14 分）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ( 且 )nanS12a1nnS2*nN（1）求证：数列 是等差数列；1nS（2）求 和 .na20.（本小题满分 14 分）已知椭圆 过点 ，点 是椭圆的左焦点，点 、 是椭圆 上C6(1,)2M(2,0)FPQC的两个动点，且 、 、 成等差数列PFQ（1）求椭圆 的标准
8、方程；（2）求证：线段 的垂直平分线经过一个定点 .A21.（本小题满分 14 分）设函数 ， 且 . 曲线 在点21lnafxxbR1ayfx处的切线的斜率为 0.1,f（1 ）求 的值；b（2 ）若存在 ，使得 ，求 的取值范围 .1,x1afxABABC CDMODO惠州市 2015 届高三第二次调研考试文科数学答案与评分标准一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 AB CDACDB1【 解析】方程 解得 ，则40x2x,22BB2【 解析】由题意可知， ，则对应的点为1zii(1,)3【 解析】将全称命题改为特称
9、命题即可4【 解析】 ，则(,0)ACB(,5)2AC5【 解析】 ，所以 在区间 上为增函数.或者用排除cos2yxsinyx0法6【 解析】由约束条件画出可行域如图所示，则根据目标函数画出直线 ，01:2lyx由图形可知将直线 平移至 点取得 的Az最小值，解方程组 20xy得 ，即 代入可得 .1xy(,)A3z7【 解析】从图可知 ，且 ，得 ，故 ，将2152TT2T点的坐标代入函数 ，且 得 所以函数5(,2)1()sin()fx23yfx的表达式为 .()2sin3fx8【 解析】方程 有实数根时， 得 ，由几何概型知 .0x140n114P9【 解析】圆心 到 轴的距离为 ，圆
10、半径 ，由勾股定理知(1,2)2dy25rxyl0: x+2y=0y=xA(1,1)2x-y+2=0x+y-2=0半弦长为 ，则弦长为 .24rd810【 解析 】当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以 10 再用这个余数与 3 相加，若和大于等于 10 就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数 与该班人数 之间的函数关系，用取整函数 ( 表示不大于 的最yxyxx大整数)可以表示为 或者用特值法验证也可310二、填空题（本大题共 5 小题，共 20 分。第 14、15 题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分 ）11 12 1
11、3 14 15 1y1641111【 解析 】化为抛物线的标准方程 ，则 ，得 ，且焦点在 轴上，2xyp2y所以 ，即准线方程为 .2py12【解析】由等比数列的性质知 ，故 .2597a916a13【 解析 】因为 ，所以 ，而 ，所以siniABCsiniABCABC，所以 .C414【 解析 】直线的普通方程为 ，圆的普通方程为 ，圆0xy228xy心到直线的距离为 ，所以直线 和曲线 相切，公共点只有241drlC个 .115【 解析 】因为 ，且 ，所以 ，5CE3Or22235EO所以 . 或者由相交弦定理 ，21A 2()ABCED即 ，且 ，得 .(2)5ErAEr1三、解答
12、题：本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16. （本小题满分 12 分）解：本题考查平面向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质(1)由 ， 12222(3sin)(i)4(sin)axx分， 2 分222(cos)(i)1b及 ，得 .又 ，从而 ， 4 分a4nx0,1sin2x所以 . 6 分6x(2) 2311()3sincosisincos2in()62fabxxxx9 分 50,2,6xx则时， 取最大值 1. 11 分,当 即 0,32sin()6x所以 的最大值为 . 12()fx分17. （本小题满分 12 分）解（1）设事件 =“某人获
13、得优惠金额不低于 300 元”， 1 分A则 . 4 分1505()6P（2 ）设事件 =“从这 6 人中选出两人，他们获得相等优惠金额” ， 5 分B由题意按分层抽样方式选出的 6 人中，获得优惠 200 元的 1 人，获得优惠 500 元的 3人，获得优惠 300 元的 2 人， 6 分分别记为 ，从中选出两人的所有基本事件如下：131,abc， ， ， ， ， ， ， ， ， ，122a1b31c2b3， ， ， ， ，共 15 个. 9 分2c31cc其中使得事件 成立的为 ， ， ， ，共 4 个 10 分B123212c则 . 12 分4()15PB18. （本小题满分 14 分）
14、解（）证明：因为点 O是菱形 ABCD的对角线的交点，所以 是 AC的中点.又点 M是棱 的中点，所以 是 的中位线， /. 2 分 因为 平面 BD, 平面 AB，4 分所以 /O平面 A. 6 分（）三棱锥 M的体积等于三棱锥 M的体积. 7 分由题意， 3,因为 2D,所以 90O， D. 8 分又因为菱形 ABC，所以 AC. 9 分因为 OM,所以 平面 B，即 O平面 10 分ABM所以 3为三棱锥 DM的高. 11 分AB的面积为1139sin20622A，13 分=ABS所求体积等于93ABMSOD. 14 分MABDV19.（本小题满分 14 分）解（）证明：当 时， ， 2
15、 分2n112nnnass由上式知若 ，则1()nss0，由递推关系知 ，10a()nN由式可得：当 时， 4 分212s 是等差数列，其中首项为 ，公差为 . 6 分ns1a(2) ， . 8 分112()2()n n2nsABCMOD当 时， ， 102n12()nnas分当 时， 不适合上式， 1211s分 14 分,(,)21,2,)nnNa20. （本小题满分 14 分）解：(1)设椭圆 C 的方程为 ， 1 分21(0,)xyab由已知，得 2 分2614ab解得 3 分2椭圆的标准方程为 . 4 分214xy(2)证明：设 ， ，由椭圆的标准方程为 ，1(,)P2(,)Q214x
16、y可知 ， 5221111 1)Fxyx分同理 ， 62Qx分， 7226(1)(MF分， ，2PQF122()4()x. 81x分()当 时，由 得 ，12x214xy2211()0xy.1212yy设线段 的中点为 ，由 ，PQ(,)Nn12PQykxn得线段 的中垂线方程为 ， 11 分()，该直线恒过一定点 . 12(21)0xny,02A分()当 时， ， 或 ， ，12x6(,)P(1,)Q6(,)P6(1,)2Q线段 的中垂线是 x 轴，也过点 .Q,02A综上，线段 的中垂线过定点 . 14 分1(,)（2 ）问【解法二】（）若 斜率存在时：P设 直线为Qykxb联立 ，消 得： 5 分21422(1)40kxb设点 ，则： 6 分12(,)(,)PxyQ122(3)4kbx 由于 且|FMF12,所以 ，12|Px|x又因为 ，其中 ，故|MFea2,1Mea2|F可得 ，从而 8 分12x12ykb
