1、 1 1.21.10 答案 在王矜奉固体物理概念题和习题指导p10 第 17 题 3.10 设晶 体中 每 个 振子的 零 点 振动能 为 1 2 ，使用 德拜模型 求 晶体的零 点 振动能。 证明: 根据量子力学零点能是谐振子所固有的， 与温度无关， 故 T=0K 时 振动能 0 E 就是各振动 2 模零点能之和。 00 0 0 1 2 m EEgdE 将 和 2 23 3 2 s V g v 代入积分有 4 0 23 39 16 8 mm s V EN v ，由于 0 9 8 mB D B D kEN k 得 一股晶体德拜温度为 2 10 K ， 可见零点振动能是相当大的， 其量值可与温升
2、数百度所需热能 相比拟 4.1，根 据 k a 状 态简并微 扰 结果， 求 出 与E 及E 相应的 波函数 及 ? ， 并说明它 们 的特性 说 明它们都 代 表驻波， 并 比较两个 电 子云分布 2 说明 能 隙 的来源( 假设 n V = * n V ) 。 解令k a ，k a ，简并微扰波函数为 00 () () kk A xBx 0* () 0 n EkEAVB 0 0 n VA E k EB 取EE 带入上式，其中 0 () n EEkV V(x)0, 0 n V , 从上式得到 B= -A, 于是 00 () () nn ix ix aa kk A Axx ee L = 2 s
3、in An x a L 取EE ， 0 () n EEkV , nn VA VB AB 得到 00 () () nn ix ix aa kk A Axx ee L = 2 cos An x a L 由教材可知， 及 均为驻波 在驻波状态下，电子的平均速度 () k 为零产生 驻波因为电子波矢 n k a 时，电子波的波长 22 a kn ，恰好满足布拉格发射条件，这 时电子波发 生全反射， 并与反射波 形成驻波由 于两驻波的 电子分布不 同，所以对 应不同 代 入 能量。 32.1 ，马德 隆 常数的计 算 解 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键， 取任一负离子作参考离 子 （这样
4、马德隆常数中的正负号可以这样取， 即遇正离子取正号， 遇负离子取负号） ，用 r 表 示相邻离子间的距离，于是有 (1 ) 1 1 1 1 2 . 234 j ij r r rrrr 前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面， 故对一边求和后要乘 2 ， 马德隆常数为 234 (1 ) . 34 n xxx xx x 当 X=1 时， 有 111 1 . 2 234 n 4.3 ， 电子 在周期场 中 的势能 22 2 1 () , 2 mbxn a na b x na b 当 () Vx 0 ， x na b 当(n-1)a+b 其中 d 4
5、b ， 是常数 试 画出此势 能 曲线， 求其 平均值及 此 晶体的第 一 个和第二 个 禁带度 解(I) 题 设势能曲线如下图所示 (2) 势能的平均值：由图可见， () Vx 是个以a 为周期的周期函数，所以 111 21 . 234 22 n 4 111 () () () () aa b Lbb Vx Vx Vxd x Vxd x Laa 题设 4 ab ， 故积分上限应为 3 abb ， 但由于在 ,3 bb 区间内 () 0 Vx ， 故 只需在 , bb 区间内积分这时， 0 n ，于是 22 22 2 3 2 11 1 () ( ) 223 6 bb bb bb bb mm VV
6、 x d xbx d xb xxm b aaa 。 （3 ） ，势能 在-2b,2b 区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数 2 0 00 21 () c o s , () c o s () c o s 222 2 bb mm m mmm Vx V V xV Vx x d x Vx x d x bbbbb 11 2 22 1 0 2, 1 ( ) c o s 2 b gg mx EVm E bx d x bb 第一个禁带宽度 以 代入上式, 利用积分公式 2 23 2 cos sin 2cos sin u u mudu mu mu mu mu mm 得 2 2 3 16m b 1 g E 第二个
7、禁带宽度 2 2 2, 2 g EVm 以 代入上式, 代入上式 2 2 22 0 () c o s b g mx Eb xd x bb 再次利用积分公式有 2 2 2 2m b 2 g E 3.3 ，考虑 一 双原子链 的 晶格振动 ， 链上最近 邻 原子间力 常 数交替为 c 和 10 c 令 两种原 子质 量相同， 且 最近邻间 距 为 2 a 求 在 1 s v 和k a 处的 () k 大略地画出色 散 关系 此问 题模 拟如 2 H 这样的 双原子分 子 晶体。 解 a / 2 C 10c 1 s u 1 s v s u s v 1 s u 1 s v 2 1 2 10 s sss
8、 s du M CV u CV u dt ， 2 1 2 10 , s ss ss dV M Cu V Cu V dt 将 ,. isKa i t isKa i t ss uu eeVV ee 代入上式有 2 2 10 11 , 10 11 , ika ika M uC eV C u M VCe uC V 5 是 U ，v 的线 性齐次方程组，存在非零解的条件为 2 2 11 , (10 ) ( 10), 11 iKa iKa MC Ce Ce M C =0 ，解出 24 2 2 2 22 20 (1 ) 0 11 121 20 1 . MM CCc o n K a C conKa M 当 K
9、=0 时， 当 K= /a 时 2 2 22 / , 0, CM 2 2 20 / , 2/, CM CM 2 与K 的关系如下图所示这是一个双原子( 例如 2 H )晶体 2.6 ， bcc 和 fcc Ne 的结 合 能， 用 林纳 德琼斯(Lennard Jones)势计算 Ne 在 bcc 和 fcc 结 构 中的结 合 能 之比值 解 12 6 12 6 1 () 4 ( ) ( ) ,() ( 4) ( ) ( ) 2 nl ur ur N A A rr rr 2 66 6 12 00 61 2 () 1 02 2 r A A du r ruN rAA 2 2 066 2 01 2
10、1 2 () 12.25 / 9.11 ( ) /( ) 0.957 ( ) 14.45 /12.13 bcc bcc fcc fcc ur A A ur A A 2.7 对于 2 H ， 从气 体 的 测量得 到 Lennard Jones 参数 为 6 50 10 , 2.96 . JA 计 算 fcc 结构的 2 H 的结合 能 以 KJ/mol 单位)，每个 氢分子可 当 做球形来 处 理结合 能 的 实验值为 0.751kJ mo1，试与计 算 值比较 解 以 2 H 为基团，组成 fcc 结构的晶 体，如略去动能，分子间按 Lennard Jones 势 相互作用，则晶体的总相互作
11、用能为： 12 6 12 6 2. ij ij ij UN P P RR 61 2 14.45392; 12.13188, ij ij ji PP 16 23 50 10 , 2.96 , 6.022 10 / . erg A N mol 6 12 6 28 16 2.96 2.96 2 6 022 10 / 50 10 12.13 14.45 2.55 / . 3.16 3.16 U Um o le r g K J m o l 0 将 R 代入 得到 平衡时 的晶 体总能 量为 。 因此， 计算得到的 2 H 晶体的结合能为 2 55KJ mol ， 远大于实验观察值 0.75lKJ mo1
12、 对 于 2 H 的晶体， 量子修正是很重要的， 我们计算中没有考虑零点能的量子修正， 这正是造 成理论和实验值之间巨大差别的原因 4.8 ， 证明 一 个自由简 单 晶格在第 一 布里渊区 顶 角上的一 个 自由电子 动 能比该区 一边 中 点大 2 倍(b)对于一个简 单立力晶 格 在第一布 里 渊区顶角 上 的一个自 由 电子动能 比 该 区 面 心 上 大多少 ？(c)(b)的结果对于 二 价金属的 电 导率可能 会 产生什么 影 响 7 解（a ）二维简单正方晶格的晶格常数为 a ， 倒格子晶格基矢 22 , A iB j aa 第一布里渊区如图所示 2 222 ,. , 2 B x
13、yz iB Kij aa a KKK m A 区边中点的波矢为K 角顶 点的波矢为 自由电子能量 22 222 2 , 222 Ax K mm am a A点能量 22 2 222 22 2, 222 Bxy KK mm a am a B点能量 所以 /2 BA b) 简单立方晶格的晶格常数为a ，倒格子基矢为 222 , Ai Bj Ck aaa 第一布里渊区如图7 2 所示 a a 0 72 2 ; 2 A ma A点能量 222 2 222 222 3, 222 Bxyz KKK mm a a a m a B点能量 所以 /3 BA (c) 如果二价金属具有简单立方品格结构， 布里渊区如
14、图 7 2 所示 根据自由电子理 论， 自由电 子的能量为 2 222 2 x yz KKK m ，FerM 面应 为球面 由(b) 可知， 内切于 4 点的内切球的体积 3 4 3 a ，于是在 K 空间中，内切球内能容纳的电子数为 3 3 4 2 1.047 33 2 V NN a 其中 3 VN a 二价金属每个原子可以提供 2 个自 由电子，内切球内只能装下每原子 1.047 个电子， 余下的 0.953 个电子可填入其它状态中 如果布里渊区边界上存在大的能量间隙， 则余下 的电子只能填满第一区内余下的所有状态( 包括 B 点) 这样， 晶体将只有绝缘体性质 然 而由(b) 可知， B
15、 点的能员比 A 点高很多， 从能量上看， 这种电子排列是不利的 事实上， 对于二价 金 属，布里 渊 区边界上 的 能隙很小 ， 对于三维 晶 体，可出 现 一区、二 区 能带 重 迭这样 ， 处于第一 区 角顶附近 的 高能态的 电 子可以“ 流 向”第二 区 中的能量 较 低的 状 态， 并形成横跨一、 二区的球形 Ferm 面 因此， 一区中有空态存在， 而二区中有电子存 在，从而 具 有导电功 能 实际上 ， 多数的二 价 金届具有 六 角密堆和 面 心立方结 构 ，能 带 出现重达，所以可以导电 4.12， 正方 晶 格 设有二 维正方晶 格 ， 晶体势为 22 ,4 c o sc
16、 o s. x y Uxy U aa 用基本方 程 ，近似求 出 布里渊区 角 , aa 处的能隙 解以 , ij 表示位置矢量的单位矢量，以 12 , bb 表示倒易矢量的单位矢量，则有， 8 11 22 11 22 1 2 2 , , rx iy iGG bG b g bgbgg a 为整数。 晶体势能 22 ,4 c o sc o s. x y Uxy U aa 2222 11 11 11 ix ix iy iy iG G G Ur Ue e e e U e 11 10 20 . 0 GG G UU UU 其中 ，而其他势能傅氏系数 。这样基本方程 () 0 kG G CK UGKG 变
17、为 11 11 11 11 11 11 11 11 0 K G GGG CKUCKG UCKG UCKG UCKG 求布里渊区角顶 , aa ，即 11 1 (,) 1 1 22 2 kG G 处的能隙， 可利用双项平面波近似 () () ( ) iKr i K G r CKe CK Ge 来处理。 当 11 11 , 11 22 KGKG 时依次有 11 11 11 , 11 11 22 KG G KG G 而其他的 11 KG ， 11 11 KG G ，所以在双项平面波近似下上式中只有 11 11 , 11 11 ; 22 11 11 , 11 11 ; 22 CG CKG CG CG
18、CKG CG 1 11 2 1 11 2 11 11 11 0 22 11 11 11 0 22 G G CG U CG CGU CG 1 11 2 G u u 1 11 2 G = 0 ，因 为 2 22 2 11 2 11 11 22 1 11 22 GG G mm a 22 22 2 () 0 , UUU ma 由行列式有 解得 = 9 2. u + 所以在 （ ,- ）处的能 隙为 = aa3.1 ，已知一维单原子链，其中第 j 个格波，在第n 个格点引起的位移为， sin( _ ) nj j j j j at n a q ， j 为任意 个 相位因子 ， 并已知在 较 高温度下 每
19、个格波的 平均 能量为， 具 体计算每 个 原子的平 方 平均位移 。 解任意 一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即 sin( ) nn jjjjj jj a t naq （1 ） 2*2* nn jn jn jn j n j jjjj j 由于 nj nj 数目非常大为数量级， 而且取正或取负几率相等， 因此上式得第 2 项与第一项 相 比是一小量，可以忽略不计。所以 22 nn j j 由于 nj 是时间t 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为 0 22 2 0 0 11 sin( ) 2 T jjjj jj a t naq dt a T （2 ） 已知较高温度下
20、的每个格波的能量为 KT ， nj 的动能时间平均值为 00 2 2 22 2 00 0 00 11 1 sin( ) 22 4 LT T nj j j nj j j j j j j dw a T dx dt L a t naq dt w La Td tT 其中 L 是原 子链的长度， 使质量密度， 0 T 为周期。 所以 22 11 42 nj j j Tw L aK T （3 ） 因此 将此式代入（2 ）式 有 2 2 nj j KT PL 所以每个原子的平均位移为 22 22 1 nn j jj j j j KT KT PL PL 3.9,写出量 子 谐振子系 统 的自由能 ， 证 明在
21、经典 极 限下， 自 由能 为 0 q Bn q B FUkT kT 证明: 量子谐振子的自由能为 1 1 2 q B q kT Bn q B FUkT e kT 经典极限意味着（温度较高） BT g k 10 应用 2 1 . x ex x 所以 2 1 . q B qq kT BB e kT kT 因此 0 1 11 2 qq qB n B n qq BB FU kT UkT kT kT 其中 0 1 2 q q UU 3.11 ， 一维复 式格子 24 1 51 . 6 71 0 , 4 , 1 . 51 0 / M mgN m m 4 (1 . 5 11 0 / ) , dyn cm
22、即 求（1 ） ，光 学波 00 max min , ，声学 波 max A 。 （2 ） ，相 应声 子 能 量是多 少 电 子伏。 （3 ） ，在 300k 时的平均声 子数。 （4 ） ，与 0 max 相对应的电 磁 波波长在 什 么波段。 解（1 ） ， 4 13 1 max 24 22 1 . 5 1 0/ 3.00 10 , 4 5 1.67 10 A dyn cm s M 42 4 13 1 max 24 24 2 2 1.5 10 4 5 5 1.67 10 / 6.70 10 4 5 1.67 10 5 1.67 10 o Mm d y nc m s Mm 4 13 1 m
23、ax 24 22 1 . 5 1 0/ 5.99 10 51 . 6 71 0 A dyn cm s m （2 ） 16 13 1 2 max 16 13 1 2 max 16 13 1 2 min 6.58 10 5.99 10 1.97 10 6.58 10 6.70 10 4.41 10 6.58 10 3.00 10 3.95 10 A o o se V se V se V （3 ） max max max max / 11 0.873, 0.221 11 AO BB AO kT kT nn ee min min / 1 0.276 1 O B O kT n e （4 ） 2 28.1
24、 c m 3.8，有 N 个 相同原子 组 成的面积 为 S 的二维晶格 ， 在德拜近 似下计算 比 热， 并论述 在低温 极 限 比 热正比 与 2 T 。 证明：在k 到kd k 间的独立振动模式对应于平面中半径n 到nd n 间圆环的面积 2 ndn ， 11 且 2 2 53 2 22 2 Ls ndn kdk kdk d v 即 则 2 33 2 2 0/ 22 22 2 0 33 3 21 21 21 mD D B B x BB BB kT kT x DD d skT skT kT kT sd x d x EE ve v e ve ， 2 0,( ) vs E TE T CT T
25、3 时， 7.1 ，InSb 电子有效质 量 0.015 e mm ，介电常 数 18 ，晶格常 数 6.49 aA 。试计算 ； (1)施主的电 离能；(2) 基态 轨 道 的半径 ；(3)施主 均匀分布， 相邻杂质 原 于的轨道 之 间将产生 交 叠时掺有 的 施主浓度 应 该高于多 少 ？ 解（1 ） 由于施主电离能 D E 是氢原子电离能 i E 的 2 0 * m m 倍， 4 2 0 * 0.014 13.6 ( ) 6.59 10 ( ) (1 7 ) i D mE E eV eV m （2 ） ， 2 28 00 00 2 4 17 0.52 ( ) 6.31 10 ( )6.
26、31 10 ( ) * * 0.014 m aaAAm me m （3 ） ，如果 施主的电子与类氢基态轨道发生重叠，则均匀分布于InSb 中施主杂质浓度 D N 就 一定满足 332 0 2 83 11 (2 ) 1, ( ) 4.98 10 ( ) 2( 2 6 . 3 1 1 0 ) DD aN N m a 4.7,有一一 维 单原子链 。 间距为 a 。 总 长度为 Na。求（1 ） ， 用紧 束缚近似 求 出原子 s 态 能级对 应的能带 E(k)函数。 （2 ） 求出其能 态 密度函数 的 表达式。 （3 ） ， 如 果 每个原 子 s 态只 有一个电 子，求等 于 T=0K 的费
27、 米能 级 0 F E 及 0 F E 处的 能态密度 。 解 01 01 01 ( 1 ) ,() ( ) 2c o s 2c o s ika ika ss E k J J e e J J ka E J ka 0 () () s ik R s Ek E J Jpe (2) , 11 21 ()2 2 22 s i ns i n Ld kN a N NE dE J a ka J ka (3), 0 0 00 0 2 2()2 2 2 22 F k F FF Nak Na Nk d kkk a 12 00 0 1 1 1 () 2c o s ,() 2 sin 2 FF sF NN EE kEJ
28、 aEN E aJ Ja a 4.2,写出一 维 近自由电 子 近似，第 n 个能带(n=1 ，2 ，3) 中， 简约波数 2 k a 的 0 级波 函数。 解 222 1 () * 24 11 1 1 () im x ixim x imx ikx ikx aa aa k xee eeee LL L L 第一能带： * 2 1 0, 0, ( ) 2 ix a k mmxe a L 第二能带： 23 * 2 22 1 ,1 ,( ) x ix aa k bbbbm m x e aa L i i 2a 则即 （ e = e ） 第三能带： 25 * 22 22 1 1 ,1 , ( ) ixix ix aa a k cc m m x ee e aa LL 即 3.7 ，设三 维 晶格的光 学 振动在 q=0 附近的长 波 极限有 2 0 ()qA q 求证： 1/2 00 23 / 2 1 () , 4 V f A ; 0 ()0 , f . 解 1 1 2 2 22 00 0 0 0()0 , 0 Aq f Aq q A 时， 依据 3 () 2 ,() () 2 q q Vd s qA q f q ，并带入上边结果有 1/2 1/2 00 331 / 2 2 23 / 2 0 11 4 2 () 22 2 q Vd sV AV f AA q
