1、伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 第一章 晶体的 结构及其对称性 1.1 石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构， 试问它是简单还是复式 格子。 为什么？作出这一结构所对应的两维点阵和初基元 胞。 解： 石墨层中原子排成 的六角网状结构是复式格子。 因为 如图点 A 和点 B 的格点在晶格结构中所处的地位不同， 并 不完全等价，平移AB,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。 1.2 在正交直角坐标系 中，若矢量 k l j l i l R l 3 2 1 + + = ， i ， j ， k 为单 位向量。 ( ) 3 , 2 , 1 = i l i
2、为整数。问下列情况属于什么点阵？ （a）当 i l 为全奇或全偶时； （b）当 i l 之和为偶数时。 解： 11 2 2 33 12 3 l R la la la li l j lk =+ =+ ( ) . 2 , 1 , 0 , , 3 2 1 = l l l 当l 为全 奇或全 偶时 为面 心立方 结构点 阵， 当 3 2 1 l l l + + 之和为偶 数时是 面心 立方结构 1.3 在上题中若 = + + 3 2 1 l l l 奇数位上有负离子， = + + 3 2 1 l l l 偶 数位上有正离 子，问这一离子晶体属于什么结构？ 解：是离子晶体，属于氯化钠结构。 1.4 （a
3、） 分别证明， 面心立方 （fcc） 和体 心立方 （bcc） 点阵的 惯用初基元胞 三基矢间夹角相等，对fcc 为 ，对bcc 为 （b）在 金刚石 结构中 ，作任意 原子与 其四个 最近邻原 子的连 线。证 明任意两条 线之间夹角均为 1 cos 109 27 3 arc = 1 cos 109 27 3 arc = 解:（1）对于面心立方 ( ) 1 2 a a jk = + ( ) 2 2 a a ik = + ( ) 3 2 a a ij = + 1 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 13 2 2 2 aa a a = = = ( ) 12 12 12
4、 1 60 2 aa COS a a aa = = ( ) 23 23 23 1 60 2 aa COS a a aa = = ( ) 13 60 COS a a = （2）对于体心立方 ( ) 1 2 a a i jk = + + ( ) 2 2 a a i jk = + ( ) 3 2 a a i jk = + 123 3 2 aaa a = = = ( ) 12 12 12 1 129 27 3 aa COS a a aa = = = ( ) 13 13 13 1 129 27 3 aa COS a a aa = = = ( ) 23 129 27 COS a a = （3）对于金刚石晶
5、胞 ( ) 1 3 4 ai j k = + ( ) 2 3 4 ai j k = ( ) 2 2 12 12 2 12 2 3 1 4 9 3 4 a COS a = = = 1.5 证明：在六角晶系中密勒指数为（h,k,l ）的晶 面族间距为 2 1 2 2 2 2 2 3 4 + + + = c l a k hk h d 2 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 证明: a ba = = 元胞基矢的体积 a ai = cos 60 cos30 13 22 ba i j ai aj = + = + c ck = 2 00 33 0 22 2 00 a a a a
6、c c = = 倒格子基矢 ) 3 3 ( 2 2 j i a c b a + = = j a a c b 3 3 4 2 = = k c b a c 2 2 = = 倒格矢：* * hkl G ha kb lc =+ 晶面间距 * * * 2 2 2 c l b k a h G d hkl hkl + + = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 22 2 22 ha kb lc h a k b l c hk a b kl b c hl a c += + + + + 2 2 42 3 a a = 2 2 42 3 b a = 2 2 2 c c = 2 22 3 ab a = 0 b
7、c = 0 ac = 1 2 2 22 2 2 22 1 22 2 2 22 42 42 42 42 3 3 33 4 3 hkl d h k l hk a a aa h k kl l ac =+ + = + 3 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 1.6 证明：底心正交的倒点阵仍为底心正交的。 证明：简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体 底心正交点阵的惯用晶胞如图： 1 a ax = 2 22 ab a xy = + 3 a cz = 245 0 , , 33 3 3 m = = 初级晶胞 体积: 2 c abc V = 倒易点阵的基矢： 1 23 2
8、11 2 c b aa x y V ab = = 2 31 24 y c b aa Vc = = 3 12 22 c b aa Z Vc = = 这组基矢 确定的面是正交底心点阵 1.7 证明：正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。 证明：倒易点阵初级元胞的体积: c V 是初基元胞的体积 ( ) 123 c V bbb = 1 23 2 c b aa V = 2 31 2 c b aa V = 3 12 2 c b aa V = ( ) 123 c V aaa = 而 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 23 31 12 2 31 2 1 311 2 2 2 c c bb aa aa V aaa
9、 a aaa a V = = ( ) ( ) ( ) ( ) AB CD AB D C ABCD = 由于 ( ) 0 1 1 3 = a a a ( ) 2 1 2 3 1 21 2 c bb a a aa V = 而 ( ) 3 12 c V a aa = ( ) 2 23 1 2 c bb a V = 4 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 3 1 1 3 12 3 2 3 2 2 2 c c c bb b ab V aa a V V = = = 或:( ) ( ) ( ) 3 12 3 12 3 2 bb
10、b aa a = 现在证明： ( ) b b b b b a 3 2 1 1 2 1 2 = ( ) b b b b b a 3 2 1 1 3 2 2 = ( ) b b b b b a 3 2 1 2 1 3 2 = 又 ( ) 2 23 1 2 c bb a V = 令 ( ) ( ) ( ) ( ) 21 1 123 2 1 12 3 2 2 1 2 c bb c bbb a V bbb = = 又： ( ) ( ) 3 123 2 c bbb V = 代入 ( ) ( ) 3 11 1 3 2 2 c c V ca a V = = 同理 ( ) ( ) 2 3 2 1 1 3 2 2
11、 a b b b b b c = = ( ) ( ) 3 3 2 1 2 1 3 2 a b b b b b c = = 1.8 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。 解： 2 cos A B a ma = = cos 1 2 m = 3 0, , 22 m = = 245 1 , , 33 3 3 m = = 2, , 2 m = = 1.9 试解释为什么： 5 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 （a）四角（四方）晶系中没有底心四角和面心四角点阵。 （b）立方晶系中没有底心立方点阵。 （c）六角晶中只有简单六角点阵。 解 ：（ a）因为四方晶系加
12、底心，会失去4 次轴。 （b）因为立方晶系加底心，将失去 3 次轴。 （c） 六角晶系加底心会失去6 次轴。 1.10 证明：在氯化钠型离子晶体中晶面族（h,k,l ）的衍射强度为 2 2 , , AB hkl A B ff I ff + 当（h,k,l ）为 偶数时 当（h,k,l ） 为奇 数 时 0， 其它情况其中 A f 、 B f 分别为正负离子的散射因子。如何用此结果说明 KCL 晶体中 h,k,l 均为奇数的衍射消失？ 证明：Nacl 初基原胞中有 Na + 和 Cl 两种离子。 ( ) 111 r : 0, 0, 0 , , 222 i AB A、B 分别代表 和 。 因此几何
13、结构因子： ( ) ( ) ( ) 11 2 2 33 123 2 123 2 2 123 123 , , , iii i hx h x hx i i hh h AB AB AB F h h h fe f fe f fh h h f fh h h + + = = + + + = + 为偶 为 奇射强度： ( ) 2 123 I F hhh , 对于 123 hhh + 为奇数的衍射面 AB ff = 则会消 光。 1.11 试讨论金刚石结构晶体的消光法则。 解：金刚石结构中，金刚石单胞有8 个碳原子，坐标为： ( ) 11 1 1 11 111 333 331 313 133 0 , 0 ,
14、0 , , 0 , 0 , 0 , , , , , , , 22 2 2 22 444 444 444 444 444 几何结构因子 ( ) 11 2 2 33 2 jjj i n hx h x hx hkl j F fe + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 exp exp exp 1 exp 2 exp 2 exp exp 1 2 hkl F f inh k ink l in l k f in h k l in h k ink l i l h =+ + + + 6 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 ( ) ( ) ( ) ( )
15、 1 exp sin 1 cos cos 22 hkl nn F f i hkl i hkl n hk n kl = + + + + + + hkl I ( ) ( ) 2 22 1 cos sin 22 hkl f hkl hkl nn F I hkl hkl = + + + + 衍射强度不为零： （1）nh nk nl 都为基数。 （2）nh nk nl 都为偶数（包括零）,且 ( ) 1 2 nh nk nl + 也为偶数。 如不满足以上条件，则这些面的衍射消失，例如金刚石不可能找到（3， 2，1） 或（2 ，2，1） 的一级衍 射斑， 也不可 能有（4 ，4，2）这 样 的二 级衍射斑
16、点。 1.12 证明： 在倒易 空 间中，当 落于一倒 格矢 垂直平分面 上时， 发生 布拉格 反射。 证明：当波矢满足 2 2 h kk k += 时有 0 2 h h k kk + = 令 h k kk = + K 刚好是 h k 中垂直面的反射波。 又 1 2 h d k = ,由图知： 2 sin sin 2 h k k = = 2 sin dm = (其 中 h h k mk = ) DE = 1.13 试证明：具有四面体对称性的晶体，其介电常数为一标量介电常量： 0 = 证明： 由 DE = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 = 各物理量在新旧坐标中： DE =
17、 p AD = E AE = 1 D A AE A AE + = = (由于 对称操作 DE = ) 1 A A AA + = = 7 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 x A 是绕X(a)轴转动90 是一个对称的操作 100 001 0 10 x A = y A 是绕Y(b)轴转动90 也是一个对称操作 00 1 01 0 10 0 y A = 将 代入 AA + = 11 22 23 23 33 00 0 0 = 再将 代入 AA + = 11 11 11 00 00 00 = 1.14 若 的立方结构 如 图所示，设 原子的 散射 因子为 ， 原子的散 射
18、因 子 为 ， （a）求其几何结构因子 ? hkl F = （b）找出（h,k,l）晶面族的X 光衍射强度分别在什么情况下有 2 2 3 AB hkl AB Ff I Ff + (c)设 AB ff = ， 问衍射面指数中哪些反射消失？试举出 五种最简单的。 解： 结构中，单胞中含有3 个B 原子，1 个A 原子。 ( ) 1 23 2 jjj i hx kx lx hkl j F fe + = 取 ( ) 11 1 1 11 0, 0, 0 , , 0 , 0, 0, , 22 2 2 22 AB ( ) ( ) ( ) ( ) ih k ik l ih l hkl A B F f fe e
19、 e + + + = + + 当h+k 与h+l，k+l 均为偶数时 3 hkl A B Fff = + 当h+k，h+l，k+l 其中两个为奇数，一个为偶数时 hkl A B F ff = 当 AB ff = 时有 （0，0，1） （0，1，0） （1，0，0） （0，1，1） 8 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 （1，1，0）（ 1，0，1） 衍射面指数的消光。 1.15 在某立方晶系的铜 射线粉末相中，观察到的衍射角 有下列关系： 12 8 222 2 2 2 2 2 2 22 2 222 222 22 2 222 3 : 4 : 8 : 11 : 12
20、 : 16 : 19 : 20 sin : sin .sin 111 2 0 0 2 2 0 113 222 400 33 1 420 = = + + + + + + +（a）试确定对应于这些衍射角的晶面的衍射面指数； （b）问该立方晶体是简立方、面立方还是体心立方？ 解： 2 22 hkl a d hkl = +又 2 sin hkl dn = ( ) ( ) ( ) 2 22 sin 2a nh nk nl = + sin ( ) ( ) ( ) 2 22 nh nk nl + 12 8 222 2 2 2 2 2 2 22 2 222 222 22 2 222 3 : 4 : 8 : 1
21、1 : 12 : 16 : 19 : 20 sin : sin .sin 111 2 0 0 2 2 0 113 222 400 33 1 420 = = + + + + + + + h k l = (1,1,1) (2,0,0) (2,2,0) 该立方晶体是面心立方. 第二章 晶体的 结合 2.1 导出NaCl 型离子晶体中排斥势指数的下列关系式： 4 00 2 4 18 1 kR n e = + (SI 单位) 其中 k 为体变模量，设 已知 NaC 晶体的 10 2 0 2.4 10 / , 0.281 k N m R nm = = ，求 NaCl 的n=? 解：NaCl 晶体排斥势指数
22、的关系，设晶体有N 个元胞。 则晶体的内能： ) 6 ( 2 n n r B r A N r b r e N U + = + = 其中： 2 e A = ， 2 6b B = 对于NaCl 结构 3 2Nr r = ，（ 3 2r 为元胞的体积） dr Nr dr 2 6 = 9 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 0 2 22 1 0 00 0 1 0 66 r n du du dr du N A nB dV dr dv Nr dr Nr r r + = = = 在 0 r 为平衡位置处： 1 0 1 = n r n A B由 ( ) 4 0 2 2 2 0 2
23、 2 18 1 18 1 0 0 r e n dr u d Nr dr u d r k r r = = = 1 18 2 4 0 + = e kr n （如取SI） 1 18 4 2 4 0 0 + = e k kr n 对于NaCl、CsCl、ZnS 结构 a =1.747、1.762、1.638 2 10 / 10 4 . 2 m N k = nm r 281 . 0 0 = 可求 n 2.2 带e 电荷的两种离子相间排成一维晶格， 设N 为元胞数， B/ 为排斥势， 为正负离子间最短的平衡值。证明，当N 有很大时有： （a）马德隆常数 2ln 2 = ； （b）结合能 ( ) 2 00
24、2 ln 2 1 1 4 Ne UR Rn = ; （c ）当压缩晶格时， ), 且 ，则需做功 , 其中 ( ) 2 00 2 1 ln 2 4 nN Ce R = 解 ：（ a）一维原子链 ， 正负离子的距离为 a， 相距为 的两个离子间的 相互 作用势能： n ij ij ij r b r q r u + = 4 ) ( 2 R a r j ij = (R 为邻近间距总离子间的相互作用势 能) = = 0 2 , 1 1 4 2 ) ( 2 j j n j n j j i ij a b R a R q N r u N U = 1 j j a u 为离子晶格的马德隆常数 10 伊犁师范学院
25、物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 + + = = . 4 1 3 1 2 1 1 1 2 1 j a u . 4 3 2 ) 1 ln( 4 3 2 + + = + x x x x x 令 1 = x . 4 1 3 1 2 1 1 2 ln + + = 2 ln 2 = u (b) 利用平衡条件 0 0 = R dR du n R Nq b n 1 0 2 2 ln = ) 1 ( 2 ln 2 ) ( 1 0 2 n n nR R R Nq R u = ) 1 1 ( 2 ln 2 ) ( 0 2 0 n R Nq R u = (c) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
26、 0 2 2 10 0 0 2 1 2 RR du d u uR u R RR RR dR dR R = = + + + 由于外力做的功等于晶体内能的增量，外力做功的主项 ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 0 0 2 1 R R R dR u d R u R u w = =将 ( ) = 1 0 R R 代入： ( ) = 0 2 2 1 2 ln 2 1 NR q n w 晶体被压缩单位长度的过程中，外力做功的主项： ( ) c R q n NR w 2 1 2 ln 1 2 1 2 2 0 2 0 = = 设 e = 时外力为 ，外力与晶体(格)的形变成正比. ( ) 0 2NR F
27、 = ， ( ) e e NR F 0 2 = ， 为比例函数. ( ) ( ) 0 2 00 00 2 2 00 22 11 22 2 ee NR e ee W Fdx NR NR d NR NR F = = = = 此即为离子链被压缩 0 2 e NR 的过程中外力做功。 ( ) e e e NR c W 0 2 2 = 所以压缩2N 时外力 ( ) 2 0 2 1 2 ln R n q C F e e e = = 2.3 量子固体 在量子固体中， 起主导作用的排斥能是原子的零点能， 考虑晶态 的一11 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 个粗略一维模型，即每
28、个氦原子局限在一段长为 L 的线段上，每段内 的 基态波函数取为半波长为L 的自由粒子波函数。 （a） 试求每个粒子的零点振动能； （b）推导维持该线不发生膨胀所需力的表达式； （c）在平衡时，动能所引致的膨胀倾向被范德瓦尔斯相互作用所平衡， 非常粗略的给出最近邻间的范德瓦尔斯能为 ，其中L 以cm 表示，求L 的平衡值。 解：(a) 根据量子力学，限制在 L 线段内的自由 原子的波函数有 ikx Ae = 形式 2 = k 又 2 = L 的波函数为基态波函数 L L k = = 2 2 0 ， 所以基态 波函数 x L i Ae = 0每个原子的零点动能也就是基态平均动能. 2 2 0 0
29、 * 0 0 0 2 2 2 * 0 8 2 mL d dx dx d m T L L = = (b) 因零点动能会引起线段的膨胀， 为了保持长度为L 的线段结构， 必 须增加力 3 2 2 2 4 8 mL mL dL d dL T d p = = = 有范德瓦尔斯相互作用时，体系总能量 ( ) U T UL = + U（L）是范德瓦尔斯能： 6 60 1.6 10 U L erg = (c) 平衡时： 0 2 60 37 00 6 0 1.6 10 4 L dU dL mL L = 4 80 4 0 10 813 . 5 cm L = 的平衡值 A L 91 . 4 0 = 第三章 晶格动
30、 力学和晶体的热 学性质 3.1 在同 类原子 组成 的一位点 阵中， 若假设 每个原子 所受的 作用力 左右不同， 其力常数如下图所示相间变化 ，且 12 . 试证 明：在这样的系统中，格 波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为 12 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 ( ) 1 2 2 11 2 12 2 12 4 sin 2 11 ka M + = + 解：用 s V 和 s r 分别表示第S 个初基原胞中两个原子相对平衡位置的位移. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 21 1 21 s ss ss s ss ss M u uV uV M V Vu Vu
31、 + = = 令 ( ) t ska i s ue u = ( ) i ska t s V Ve = ( ) ( ) 2 12 12 2 1 2 12 0 0 ika ika M u eV e u M ccV + + = + + + = ( ) ( ) 2 12 12 2 12 12 0 ika ika Me eM + + = + +( ) ( ) 2 2 2 12 12 ika Me + =+ ( ) 2 22 12 1 2 12 1 2 2 12 12 2 12 1 2 cos 4 sin 2 11 ka MM ka M + = + + = + 3.2 具有两维立方点阵的某简单晶格， 设原
32、子的质量为M， 晶格常数为a，最 近 邻原子间相互作用的恢复力常数为c， 假定原子垂直于点阵平面作横振动， 试证明：此二维系统的格波色散关系为 ( ) 2 2 2 cos cos xy M c ka ka = 解：只考虑最近邻作用第（l，m）个原子受四个原子的作用. ( ) ( ) m l m l u u c m l , , 1 : , 1 + +( ) ( ) m l m l u u c m l , 1 , : , 1 ( ) ( ) m l m l u u c m l , 1 , : 1 , + +( ) ( ) 1 , , : 1 , m l m l u u c m l 运动方程： (
33、) ( ) m l m l m l m l m l m l lm u u u u u u c dt u d m , 1 , 1 , , , 1 , 1 2 2 2 2 + + + = + +设 ( ) 0 exp lm x y u u i lk a mk a t = + 13 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 ( ) ( ) 2 4 2 2 cos cos yy xx ik a ik a ik a ik a xy ce e e e c ka ka = + =3.3 求： （a）一维单原子点阵振动的声子谱密度 ( ) ，并作图； （b）一维双原子点阵振动的声子谱密
34、度 ( ) ，并作图. 解：一维单原子链： 1 2 sin 2 qa M = ( ) ( ) 2/ / 2 s L d q dq = 13 Sn = （有个3n 色散关系） 一维单原子链 1 S = ( ) 1 2 2 11 2 cos 22 L1 1 cos 2 L a qa M M a qa = =一维双原子链: ( ) 1 2 22 2 41 1 1 sin 2 m M mM qa mM mM + = + ( ) 1 1 2 2 2 2 41 1 1 sin 2 m M mM qa mM mM + + = + + ( ) 1 4 2 2 41 1 1 sin 2 m M mM qa mM
35、 mM + = + 14 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 4 22 3 2 4 2 L 2 1/ 1/ 2 1 4 1 41 1 1 1/ 1 1 sin 2sin cos 4 2 2 22 1 4 1 4 11 1/ 1 1 sin 2sin cos 4 2 22 2 dd dq dq L mM mM mM qa a qa qa mM mM mM mM mM a qa qa qa mM mM + = + = + + + + + + 3.4 设某 三维 晶体光 频声子的 色散 关系为 ( ) 2 0 q Aq = ， 试
36、证明， 其声 子谱密度为 ( ) ( ) 1 2 0 min 0 3 2 2 0 min , 4 0, 0, V A = 式中 2 2 3 min 0 6 N V = A, N 为晶体的原胞数. 解： ( ) ( ) 3 2 c s qs V ds = 第支 格波的模式密度 3 2 c sq V ds 其中 s 为第 支格波的等频面. 又因为在q=0 附近 ( ) 2 0 q Aq = 等频面是一个球面. 又 22 q A q Aq = = ( ) 1 2 0 2 3/2 2 3 1 4 24 2 c c sq V V q ds Aq A = 3.5 使用德拜近似讨论同类原子所组成的下列系统的
37、低温比热容为 （a）在一维系统中 v CT ； （b）在二维系统中 2 v CT ； 解：对于一维简单格子，按德拜模型： qv = 15 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 d 范围内包含 2 2 dqL dqL Ld dL V = = = ( ) 0 0 L Dd N a = = （N 为原子数目） 0 V a = 比热容： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 / 2 0 / 2 / 2 0 / 2 2 / 2 0 1 1 2 1 B B B B D KT VB KT B KT B KT B x T B x e Dd Ck KT e Le kd V KT
38、 e Tk e x dx V e = = = B D k = B x KT = 在高温时： ( ) 2 2 01 1 x x ex x e V BB L C k Nk a = = 低温时 T D / ( ) ( ) 2 2 22 2 1 1 1 x x x nx n x ex x e e x ne e = = ( ) 2 2 2 2 1 0 1 2 3 1 x nx n x e xdx ne x dx n e = = = = 2 2 3 B V TK C V = 对于二维简单格子： ( ) ( ) 2 2 s qs s dl q = vq = ，所以格波等频（能）线为圆. ( ) ( ) (
39、) 22 2 2 2 22 Sd l S qs VV V = 二维介质有两支格波,一支声学波,一支光学波. ( ) ( ) 2 p s D V = = 2 22 211 pL VVV = + ( ) ( ) 2 2 / 00 / 2 1 1 mm B B KT KT p d S Ed e Ve = = ( ) 2 00 2 mm p S V dN d = = 16 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论 文 1 2 4 mp N V S = ( ) ( ) 2 / 2 2 0 / 2 3 / 2 2 0 1 1 B m B D kT VB kT pB x T B x p s ed Ck V kT e kT s e x dx V e = = B m D k = 当温度较高时： 1 x ex + ( ) 2 3 / 2 2 0 2 22 1 2 2 D x T BB V x p BB D p B sk k T e x dx C V e sk k T VT Nk = = = 当温度较低时： ( ) ( ) 3 3 2 3 00 11 1
