1、第一章 晶体的结构 1第一章 晶体的结构 1.1 试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 解：我们知体心立方格子的基矢为： ()()()123222aaijaaijkaaijkk= + +=+=+null nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnull根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为： ()()()122331222bababa=312aaanull nullnullnull nullnullnull nullnull( )312312aaa a= =null nullnull2322 22 2 222222
2、 222222 2ijkaa aa a aaaaaa i j kaa aaaaaa a = = + +nullnullnullnullnull null null null2222aaj k=+nullnull() ()()2231 32 2 2 22abaa jk ja a= +=+nullnullnull nullnullnullknull同理 ( ) ( )232 2,bikbiaa=+ =+nullnullnullnullnulljnull()()()123222bjabiabia=+=+=+nullnullnullnullnullnullkkjnullnullnull由此可知，体心立
3、方格子的倒格子为一面心立方格子。 第一章 晶体的结构 2我们知面心立方格子的基矢为 ()()()123222aajaaiaai=+=+=+nullnullnullnullnullnullkkjnullnullnull()()()122331222bababa=nullnullnullnullnullnull312aaanullnullnull()312314aaa a= =nullnullnull2300222202200222022ijkaaaaaaaa i j kaaaaa= = + +nullnullnullnullnull null null null2a22 244 4aa aij=
4、 + +nullnullknull() ()222 2231 32 2 2 244 44aaa abaa ijk ija a= +=+nullnullnull nullnullnull nullnullknull同理 () ()232 2,bijkbijaa=+ =+nullnullnullnullnullnullnullknull()()()123222bijabijkabijka=+=+=+nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullknull由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 2.2
5、在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil ）来表示，如图所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 1200的共面轴 上的截距为123,aaanullnull nullnullnullnullnullnull312,aaahk i，第四个指数表示该晶面在六重轴c 上的截距为cl。证明： ()ihk= + 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示： 第一章 晶体的结构 3()()()()()()( )001 , 133 , 110 , 323 , 100 , 010 , 213 . 证明：林鸿生 1.1.4 王矜奉 1.2.3 如图所示，某一晶面 MN 与六角形平面基矢轴上
6、的截距 123,aaanullnull nullnullnullnullnullnull,aaOA n OB n OC nhk=,ai=nullnull)且 = 60 , 120AOB COB AOC有 ()C() (AOB OB AOC+=null面积 面积 面积nullnull 即11 1sin sin sin22 2OA OB AOB OC OB COB OA OC AOC+= o3anullnullnull1anullnull2anullnullnullABC 代入 ,aiaaOA n OB n OC nhk= 60 , 120AOB COB AOC=nullnull和 = ，有 00
7、111( )sin 60 ( )sin 60 ( )sin120222aa aa aannnhk i k hi+=ii ii ii0得111hk ik hi=，两边同乘（hki ）并移项得 ()ihk= + 得证 （2 ）由上可知，h ，k ， i 不是独立的， ()( ) ( ) ( )()()()001 , 133 , 110 , 323 , 100 , 010 , 213 .中各 i 等于 111()(00)0,k+ = + =22i = ， i ，30=41i = ，51i =61i = ，73i = 即得 ih=()( )()( ) ()( ) ( ) ( )001 0001 , 1
8、33 1323 , 110 1100 , 323 3213 ()()()( ) ()( )100 1010 , 010 0110 , 213 2133 . 1.3 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证能占据的最大体积与总体积之比为： （1 ）简单立方6；（2 ）体心立方83；（3 ）面心立方62（4 ）六角密积62；（5 ）金刚石163解： 设 N 为一个晶胞中的刚性原子数， R 表示刚性原子的球半径， V 表示晶胞体积，立方晶格的边长为 a，则致密度为： 第一章 晶体的结构 4343NRV= （1 ）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为 R ，则原胞的晶体学常数 Ra 2= ，则简立方的致密度
9、（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为： 6)2(3413333=RRR341=a（ 2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为 R ，则原胞的晶体学常数3/4Ra = ，则体心立方的致密度为： 83)3/4(342343333=RRaR2= （ 3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为 R ，则原胞的晶体学常数Ra 22= ，则面心立方的致密度为： 62)22(342343333=RRaR4=（ 4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径 为 R ，则原胞的晶体学常数 ， Ra 2= Rac )3/64()3/62( = ，则六角密积的致密度为： 62)3/64(4)2(363462343
10、634623=RRRcaR（5 ）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数 Ra )3/8(=R ，则金刚石的致密度为： 16383 R)3/8(348343333 =RaR.4 设某一晶面族的面间距为 d，三个基矢312,aaanullnullnullnullnullnullnullnull1 的末端第一章 晶体的结构 5别落在离原点距离为 ,的晶面上，试用反证法证明： 是互质的。 分123,hd hd hd123,hhh解：参考王矜奉 1.2.4 设该晶面的单位法向矢量为 n ，由已知条 件可得 112233,an hdanhda= nullnull,n hd=null假定
11、 不是互质的数，则有公约数 p，且 p1；设 为互质的三个数，满足 123,hhh123,kkk3121k23hhhpkk= 则有 112233,an kpdan ,pdan kpd= =nullnullnull原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为 null必定为整数而且nullnullnull nullnullnullnull得 即k今取离11 2 2 33rlala la=+nullnullnullnullnullnullnullnull由于 ,lll 12311 2 2 33rn d la n la n la n= + + nullnull nullnullnull null1
12、1 2 2 33dlkpdlkpdlkpd=+ 11 2 2 331lk lk lkp+= 因为上式左 而边是整数， 右边是分数，显然是不成立的。要式成立，必须满足 p=1。而此时 是互质的。 123,hhh1.5 证明：在立方晶系中，面指数为 ()111hkl 和 ( )223hkl 的两个晶面之间的夹角满足 ()()12 12 121222coshh kk ll+= 解：三个晶轴相互垂直且等于晶格常数 a，则晶胞基矢为 ,12222 22111 22hkl hkl+ +i12 3,aaiaajaak=nullnull null nullnullnullnullnullnullnullnul
13、l其倒格子基矢为 123222,bibibiaaa =nullnull null nullnullnullnullnullnullnull倒格子矢量为 1232()hKhbkblb hikjlka =+= +nullnullnullnullnullnull nullnullnull第一章 晶体的结构 6)的法线方向。 晶面族 的法线方向对应倒格矢代表晶面族 (hkl()111hkl 11112()Khikjlak=+nullnull nullnull晶面族 的法线方向对应倒格矢()223hkl 22222()Khikjlak=+nullnull nullnull设两法线之间的夹角满足 KK12
14、2cosKK 1=nullnullnullnullnullnullii 111 2 2 21212111 111 2 2 2 2 2 222()( )cos22()()()()hi k j lk hi k j l kKKaaKKhi k j lk hi k j lk hi k j l k hi k j l kaa a a + +=+ + + +null nullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnulliinull nullnull nullnullnull nullnullnull nullnullnulliii i()()12 12 1212 122
15、22 222111 222coshh kk llhkl hkl+=+ +i1.6 有一晶格，每一晶格上有一个原子，基矢（以 nm 为单位）分别为 ia 31= ， ja 32= ， )(5.13kjia += 。求： ） 原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？该晶体的倒格子基矢； 角余弦为多少？ 布喇菲格子晶体中原子位置可以认为与格点重合。由右图可见，它是体心立方布喇菲格子，属于立方晶系。试（1 ） 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？ （2 （3 ） （4 ） 密勒指数为（121）晶面族的面间距； （5 ） 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？（6 ） 111与 111晶列之间的夹解：
16、参考徐至中 1-5，中南大学 1.17 （ 1）按基矢123aa 在空间作重复平移，就可得到它的,anullnull nullnullnullnullnullnull3anullnullnull2anullnullnull1anullnull，因为此晶体是简单格子，因此（2 ）原胞体积() ( )27 32313a=nullnull nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnull3 1.5 13.5 10aa i j ijk m = + + = 晶胞体积( )( )27 37Vaa=nullnullnull null nullnull333 210a
17、 i j k m= = 因为2=V，知该晶体属于立方晶系； 奉 1.参考王矜 2.6 我们可以构造新的矢量 123()aca ijk= +nullnull null null null null null第一章 晶体的结构 723()2acb ijk= +nullnullnullnullnull nullnullnull33()2aabc ijk=+= +nullnullnullnullnullnull nullnullnull123,aaanullnull nullnullnullnullnullnull对应体心立方结构. nullnull nullnullnullnullnullnull满
18、足选作基矢的充分条件.可见基矢为, ， ,的晶体为体心立方结构. （3 倒格子基矢的定义123,aaa ia 31=ja 32= )(5.13kjia +=）由 可知： aaa1=kkaaaaabkjkjaaaabkikiaaab5.125.13922)(325.13)(5.422)(325.13)(5.42232121332113232321（4 ）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121 ）晶面族的面间距为 3211121 bK112222bb += d 103030352(322=+=kji以上是参考中南大学的，有些 不妥，因为密勒指数是对晶胞基矢定义的，虽然固体物理学式（1-18 ）
19、也适合计算相应面间距，但此时的倒格子基矢也应是对应的。 从体心立方晶格的特点，结合图，易知 bjck=null，倒格基矢3ai=nullnull33nullnull2ai32323bjck=nullnullnullnull=nullnullnullnullnullnullnullnull12112122 224 2 212133 3dab cijk = = =+ +Knullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull6（ 5）由于面密度 ，其中 是面间距， d d = 是体密度。对布喇菲格子， 等于常数。因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为
20、 ，则该晶面族的面间距 应为最大值，所以有 )(321hhh321hhhd第一章 晶体的结构 833221122d =321321bbbKhhhhhhhhh+max)2(3)2(32=22132121321=+=+kjikjihhhhhhhhhh由此可知，对面指数为（100 ）、（010 ）、（101）、（011）和（ 111）有最大面间距 2/3 ，因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。 （6 ）111 与111晶列之间的夹角余弦为 321321321321111111111111arccosRR )()(aaaaaaaaaaaaRR+= null53.485.15.15.15.15.45.
21、4)5.15.15.1()5.15.45.4(arccos =+=kjikjikjikji1.7 的基矢为 1.8 六角晶胞jia aa 31+= 22jia aa2322+= ka c=3求倒格子基矢。 解：参考王矜奉 1.2.8，中南大学 1.2.13 212333( )(aa 3)()22 22 2aacac =j k 根据倒格子基矢的定义可知： = = + +aaa i j i3()()2312aa222aac+ =i kcaacac2232232ji+= j=b )32(2ji+a第一章 晶体的结构 93122=aab3()( )222aca +=kijcaacac2232232ji
22、+= )32(2ji+a1232=aab12333()( )22 222aaaa+=i j i jaaacaa2223232k= = kc21.9 矢量 a， ， 构成正交系。证明晶面族 的面间距为 b c )(hkl22)()(1clbk+2)(ahdhkl+=kajaiacba321解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为： 由此可求得其倒格子基矢为： =aaaabaaabaaaab222211321322121=kkajjaaiiacababcbacabcabcabc2)(22)(22)(2323133根据倒格子矢量的性质有： 32122bbbK lkhdhklhkl+=222)(
23、)()(12222clbkahlckbha+=+=kji1.10 证明：晶面 、 ()和123()hhh123hhh )123(hhh属于同一晶带的条件是 1231231230hhhhhhhhh= 第一章 晶体的结构 10)null证明：参考王矜奉 1.2.12，徐至中 1-7 相交于同一直线的二个或多个晶面就构成一个晶带， 晶面 相应倒格矢可以写为 123(hhh11 2 2 33hKhbhbhb=+nullnullnull nullnull nullnullnullnull假定三晶面属于同一晶带 uvw （交线为晶带轴，此即为晶带轴的方向指数），带轴的方向矢量为 12Rua va wa=+
24、nullnull nullnull nullnullnullnullnull2)因为倒格矢与晶面垂直，因而也必须与带轴垂直，即满足 ()(11 2 2 33 1 2 20hKR hbhbhb uavawa= + + + + =nullnullnull nullnull nullnull nullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull因为 11 2 2 332, 0( )ijab ab ab ab i j= = nullnull nullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
25、nullnullnullnullnull得 1230hu hv hw+=同理有 1230hu hv hw+= 1230hu hv hw += uvw 有解的条件即为 1231231230hhhhhhhhh= 即证。 1.11 证明：一个晶体不可能有 5 重旋转对称轴。 参考王矜奉 1.2.16，教材 1.7.3 五边形沿竖直轴每旋转 /5 （72 ）恢复原状，但它不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转对称轴中不存在五次轴。 证法 2：如图所示， AB 是同一晶列上 O 格点的两个最近邻格点如果绕通过 O 点并垂直于纸面的转轴顺时针旋转 角则 A 格点转列入 A点若此时晶格自身重合
26、， A点处原来必定有一格点如 果再绕通过 O 点的转轴逆时针旋转 角，则晶格又恢复到 末转动时的状态但逆时针旋转 角， B格点转到 B处，说明 B处原来必有 格点可以图可知，一 把格点看成分布在一族相互平行的晶列上，由 A B晶列与 AB 晶列平行 平行的晶列具有相同的周 ，若设该周期为 a 则有 期2cosA Ba ma=其中 m 为整数，由余弦的取值范围可得 cos / 2 1m = 第一章 晶体的结构 11于是可得 30, , ;22m = 24 51, , , , ;331233 3m = 2, , 2 ;m = 3/2,4/3,5/3 /2,2 /3, /3 分别等于顺时针旋转因为逆
27、时针旋转 ，所以晶格对称转动所允许的独立转角为 2112, , , ,323 上面的转角可以统一写成 2, 1,2,3,4,6nn= 称 n 为转轴的度数，由此可知，晶格的周期性不允许有 5 度旋转对称轴。 1.12 试求面心立方和体心立方晶格中粒子密度最大的晶面。 ，取面间距为 d 的两相邻晶面为底面，（底个圆柱体，则该圆柱体内的格点数等于 解：参考王矜奉 1.2.10.11 设布赖菲格子的体密度（单位格点数）为，在某一晶面族中面积取为 1 单位面积）做一()1dd = 这些格点分布在上下底面上，但属于该圆柱体的只有一个底面，故晶面的面密度 D=d。 因为是常数，所以的越大，面密度 D 也越
28、大。 含有四个格点，1.面心立方 设面心立方的晶格常数为a ，则其晶胞的体积为a3，晶胞中因此面心立方结构体密度为3a选取面心晶体结构的固体物理学原胞，其基矢为4 = )(2)(2)(232)(2)(2)(21+= kja32+=+=jiaaikaaa其倒格子基矢为1+a+=+=+=kjiabkjiabkjib根据固体物理学式（1-14）和（ 1-18） 与晶面族 正交的倒格子矢量为123()hhh( )1232 3Khbhbhb=+nullnullnull null null null)1h则晶面族 的面间距为 123(hhh()()()132 22123 123 1232hh hhaKhh
29、h hhh hhh2d=nullnull+ + + + +null 显然，上式中分母越小，d 越大，故面指数最简单的晶面族 面间距最大，面密度最大。 (111)第一章 晶体的结构 122.体心立方 体心立方的晶格常数为a ，则其晶胞的体积为a3，晶胞中含有二个格点，因此面心立方结构体密度为设3a2 = 选取体心晶体结构的固体物理学原胞，其基矢为 ()()()2322aaaijkaaijk=+=+nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull其倒格子基矢为12aijk=+()()()1ba23222jkbikabija= +null nullnu
30、ll= +null nullnull= +null nullnull与晶面族 正交的倒格子矢量为123()hhh( )123hKhbhbhb=+nullnullnull null null null3)则晶面族 的面间距为 123(hhh()()()132 2223 13 122hh hhaKhh hh hh=nullnulld+null 显然，上式中分母越小， d 越大，故面指数最简单的晶面族 ()()()()()()001 , 010 , 100 , 011 , 101 , 110 其面间.13 电位移矢量 与外电场距最大，面密度最大 nullnull的关系为 D E=nullnull n
31、ullnullD Enullnull，式中， 1 为介电常数张量。试用根据晶体的对称性证明，对于简单六角晶体，有/000000， 解：参考王矜奉1.2.17 晶体宏观对称性是用对称操作来描述的，即通过旋转。反演等，晶体自身重合，这个几何变换都是正交变换（保持两点距离不变的变换），所对应的变换矩阵为 11 12 1321 22 2331 32 33A AAA AAAA AA= ，且有null1aa= ，是转置矩阵，1是逆矩阵。 晶体介电常数是二阶张量，表示为11 12 1321 22 2331 32 33 =。 在坐标变换下，二阶张量的变换规律为nullaa = =对称操作后，晶体还原，有 。
32、第一章 晶体的结构 13010001 001 = 得到以六角晶系主轴为c 轴，1a ，2a 轴如图：1anullnull2anullnullnull1anullnull有一个过 轴和c 轴的镜面，所以 1a11 12 13 11 12 1321 22 23 21 22 2331 32 33 31 32 3311 12 1321 22 2331 32 33100 100010 =12 13 210, 0, 0, = 所以11 12 13 11 1321 22 23 2231 32 33 31 330000 =6度轴，所以 六角晶系有一个+=sin0013111232123414343432143
33、43434110006cos6sin06sin6cos023212321232110006cos6sin06sin6cos000010006cos606sin6cos0031311322112211132211221133311322111322113331221311333122所以0011 13 1122 1131 33 33 /00000000000 0 =：三角布赖菲格子的倒格子仍为三角布赖菲格子，并 矢基矢间的夹角和基矢长度b分别满足 1.14证明 且倒格第一章 晶体的结构 14coscos1cos= ()12112coscosba =+式中，a和分别为正格矢的长度和基矢间的夹角。
34、证明：参考王矜奉1.2.18，陈金富8.16 间的夹角也相对于三角晶系，其三个基矢量大小相等，而且它们相互 等，即 123aaaa=nullnull nullnullnullnullnullnull， = 根据正倒格矢的性质 ()212sinanullnullnullnullnullnull232 aabb =null1anullnull2anullnullnull3anullnullnullX Y Z ()231222sinaaabb=nullnullnullnullnullnull()212322sinaaabb=nullnull nullnullnullnull设()null12 12,
35、bb =nullnull nullnullnull，()null23 23,bb =nullnullnullnullnull，()null31 31,bb =nullnull nullnull，则有 24 2s cosbb21 2 1 2 12 12 1224sinco cosab b b nullnull=nullnullnullnullnullnullnullnullii ()()()()() ()()()()223 3112 2 3 3 1222223 31 2313 122422224444cos cosaa aabb a a a aa a a a aa aa aa aa= =null
36、nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullii inullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnulliiii 比较两式得 null()222cos coscos (1 cos ) cossin 1 cos (1 cos12cos=+类似可以证明 =cos(1 cos31c
37、oscos(1 cos=+23cos=+，得12 23 31 = 第一章 晶体的结构 15又因为 123bbbb=nullnullnullnullnull所以三角晶系的倒格子也属于三角晶系。且 nullnullcoscos(1 cos=+2232sin 2sin 2sin 1 2cos cos 1 2cos cosaabaa = =+式中 通过如下计算出，如图， () ( )()231 2 31 32 3 1 22cos cos /2aaa aaaa a a aa += + = = + nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull n
38、ullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnulliii i 而 ()1221 cosaa a += +nullnull nullnullnull，因此 ()()2coscos / 2 sin21 cos = =+()224coscos 1 sin 1 1 2cos cos21 cos = = =+()3331 2sin cos sin 1 2cos cosaaa a a = = = +nullnullnullnullnullnullnullnulli 如图所示 nulls sinaia ja1ainullnulla=co 2=+nu
39、llnullnullnull null3cos cos cosaia ja ka +=+nullnullnullnull null null( )1322cos cos coscos cosia ia ja kaaa += =nullnull null nullnullnull nullnullnull()( )23cos sin cos cos cocos cos cos sin cosia ja ia ja kaaa s += = +nullnull nullnull nullnullnullnullnullnullnull得cos (1 cos )cossin = 2222 22cos
40、(1 cos )cos 1 cos cos 1 cossin = = 因为 1232()baa=nullnull nullnullnullnullnullnull第一章 晶体的结构 16232()ba1a=nullnullnullnullnullnullnullnull312()ba2a=nullnull nullnull nullnullnull所以 分别垂直于正点阵初始晶胞的平面，且有相同的长度，123,bbbnullnullnull123bbbb= =，根据对称性，,bbnullnullnull此间应有123,b彼 相同的夹角，设夹角为 ， 21222sinbaa a =nullnull
41、 nullnullnullsin cos cos cos sin cosaaa ia ia ja ia ja ka a()3123( ) cos = = + + + =nullnull nullnullnullnullnullnullnull null null null null null2222cos (1 cos )cos 1 cossin = 21222 2sincosbaa aa1 = =nullnull nullnullnull=21223 3121212cos ( ) ( )bbaa aabb b= nullnull nullnullnullnullnullnullnullnul
42、lnullnullnullnullnullnull， 因为 ABC BCA C AB=nullnull nullnull nullnull nullnull nullnull nullnull nullnull nullnull nullnull, ()()()( ) ( ) ( )ABC CAB ABC= nullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnull得221223 31 12342 2121 cos cos coscos ( ) ( ) ( )sin sin 1 cosbbaa aa a
43、aabb a = = =+nullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnull21323 122132213 12 13242 212cos ( ) ( )1 cos cos cos()()()sin sin 1 cosbbaa aabb baa aa aaaa = = =+nullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull
44、nullnullnullnullnull22 222122cos (1 cos ) cos (1 cos )cos 1 cos 1 cossin 1 coscos (1 cos ) cos (1 cos )11cos2cos1(1coscos)1cos2 = = + =+= =+212 1222 2121sincos(1 cos cos )baa aaa = = =+nullnull nullnullnull解法（二）设 aaa=nullnull nullnullnull， aaa=nullnullnullnullnullnull，011022033aaa=nullnullnullnullnullnull； 第一章 晶体的结构 17有1cosaa=210 20 20 10 30 1012aaa a aaaa=nullnull nullnullnullnullnullnull null nullnullnull nullnullnull nullnullnullnull nullnullnull nullsin sin22AD OA a =, cos cos22OD OA a =, 2cos 3sin62CD AD a = 22222coscos cos2OD OC CDCODOD O
