1、教育学科教师辅导教案学员编号： 年 级： 七年级 课 时 数：3学员姓名: 辅导科目： 数学 学科教师：黄琳课程主题： 有理数运算和绝对值专题 授课时间：2017-9-13学习目标 掌握有理数的混合运算技巧和绝对值经典题型教学内容内容回顾有理数的运算及绝对值专题一、有理数基本加、减混合运算有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同 0 相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： 确定和的符号； 求和的绝对值，即确
2、定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律： 两个加数相加，交换加数的位置，和不变. (加法交换律)ab 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. (加法结合()abc律)有理数加法的运算技巧： 分数与小数均有时，应先化为统一形式. 带分数可分为整数与分数两部分参与运算. 多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零. 若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加. 若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. 符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. ()ab有理数减法的运算步骤： 把减号变为加号（改变运算符
3、号） 把减数变为它的相反数（改变性质符号） 把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤： 把算式中的减法转化为加法； 省略加号与括号； 利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和 0 的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.二、有理数基本乘法、除法：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同 0 相乘，都得 0.有理数乘法运算律： 两个数相乘，交换因
4、数的位置，积相等. (乘法交换律)ab 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. (乘法结合律)abc 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. (乘法()abca分配律)有理数乘法法则的推广： 几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数. 几个数相乘，如果有一个因数为 0，则积为 0. 在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对
5、值，有括号的先算括号里的数.三：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数. ，( )1ab0两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.四、有理数的混合运算顺序（1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。五、有理数的乘方：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）。a n中，a 叫做底数（base number），n 叫做指数（ex
6、ponent）。根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。六、绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数 的绝对值就是数轴上表示数 的点与原点的距离.数aaa的绝对值记作 . （距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.注意： 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 的绝对值是 .00 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总
7、是正数或 0. 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如： 符号是负5号，绝对值是 .5【求字母 的绝对值】a (0)a(0)a(0)a利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|0 如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.例如：若 ，则 ， ，abca0bc【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即 ，且 ；aa（2）若 ，则 或 ；bb（3） ； ；aa(0)（4） ；22|（5）|a|-|b| |ab| |a|+|b|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离a的几
8、何意义：在数轴上，表示数 对应数轴上两点间的距离bab【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|a+b|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。一、有理数基本加、减混合运算【例 1】 计算： 313514【例 2】 计算： ； 516(2.39)(1.7)(3)(27.1)(32)(1.57)67
9、6【巩固】 1.计算： 212(738)(.6)(53)(.64)(3)2.计算： 3122.753463.计算： ； 4134.572二、有理数基本乘法、除法及混合运算、乘方【例题精讲】【例题 1】 345826【例题 2】计算： 112462【例题 3】计算： 413(3)55921【例题 4】 计算： 999812512412666【巩固】计算： 计算： .735(1)361246 1136()2469计算： 计算：11325 112035【巩固】 计算： ； 11()(234560【巩固】 计算： .5315()(.25)(3.4()243有理数乘方【例题 1】(2) 6 中指数为 ，
10、底数为 ；4 的底数是 ，指数是 ； 的底数是 523，指数是 ，结果是 ；【例题 2】根据幂的意义，(3) 4 表示 ，4 3 表示 ；【例题 3】平方等于 的数是 ，立方等于 的数是 ；641641【例题 4】一个数的 15 次幂是负数，那么这个数的 2003 次幂是 ；【例题 5】平方等于它本身的数是 ，立方等于它本身的数是 ；【例题 6】 ， ， ；343443【例题 7】计算1. 2. 322 3425143. 4.7213246 332201【思维拓展】1、你能求出 的结果吗?10285.2、若 是最大的负整数，求 的值。a 203201aa3、若 与 互为倒数，那么 与 是否互为
11、倒数？ 与 是否互为倒数？ab2ab3ab4、若 与 互为相反数，那么 与 是否互为相反数？ 与 是否互为相反数？ab2ab3ab数学生活实践如果今天是星期天，你知道再这 天是星期几吗？102大家都知道，一个星期有 7 天，要解决这个问题，我们只需知道 被 7 除的余数是多少，102假设余数是 1，因为今天是星期天，那么再过这么多天就是星期一；假设余数是 2，那么再过这么多天就是星期二；假设余数是 3，那么再过这么多天就是星期三因此，我们就用下面的实践来解决这个问题。首先通过列出左侧的算式，可以得出右侧的结论：（1） 显然 被 7 除的余数为 2；27011（2） 显然 被 7 除的余数为 4
12、；422（3） 显然 被 7 除的余数为 1；33（4） 显然 被 7 除的余数为 ；744（5） = 显然 被 7 除的余数为 ；5252（6） = 显然 被 7 除的余数为 ；6 6（7） = 显然 被 7 除的余数为 ；7然后仔细观察右侧的结果所反映出的规律，我们可以猜想出 被 7 除的余数是 102。所以，再过 天必是星期 。102同理，我们也可以做出下列判断：今天是星期四，再过 天必是星期 。102三、绝对值专题【例题精讲】（一）绝对值的非负性问题1. 非负性：若有几个非负数的和为 0，那么这几个非负数均为 0.2. 绝对值的非负性；若 ，则必有 ， ，abc0ab0c【例题】若 ，
13、则 。315xyzxyz总结：若干非负数之和为 0， 。【巩固】1.若 ，则73210mnp23_pnm2.先化简，再求值： ababba2)3(232 其中 、 满足 .ab0)42(13a（二）绝对值的性质【例 1】若 a0，则 4a+7|a|等于（ ）A11a B-11a C-3a D3a【例 2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A1，0 B正数 C非正数 D非负数【例 3】已知|x|=5，|y|=2，且 xy0，则 x-y 的值等于（ ）A7 或-7 B7 或 3 C3 或-3 D-7 或-3【例 4】若 ，则 x 是（ ）1xA正数 B负数 C非负数 D非正数【例 5】
14、已知：a0，b0，|a|b|1，那么以下判断正确的是（ ）A1-b-b1+aa B1+aa1-b-bC1+a1-ba-b D1-b1+a-ba【例 6】已知 ab 互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ）c ba0-1 1A2 B2 或 3 C4 D2 或 4【例 7】a0，ab0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（ ）A6 B-4 C-2a+2b+6 D2a-2b-6【例 8】已知 a，b，c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|=_【例 9】若 x-2，则|1-|1+x|=_若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= _
15、【思维拓展】【例 1】已知：x0z，xy0，且|y|z|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ）A是正数 B是负数 C是零 D不能确定符号【例 2】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m|m，则 m0；（4）若|a|b|，则 ab，其中正确的有（ ）A（1）（2）（3） B（1）（2）（4） C（1）（3）（4） D（2）（3）（4）【例 3】计算 = 11.232076【例 4】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= _【例 5】已知数 的大小关系
16、如图所示，,abc则下列各式： ； ； ； ；()0bc0)(1cba0a 其中正确的有 （请填写番号）baa2【巩固】已知 是非零整数，且 ，求 的值abc， ， 0abcabca（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）零点分段法的一般步骤：找零点分区间定符号去绝对值符号【例题】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道 ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，0xca0b如化简代数式 时，可令 和 ，分别求得12x10x2（称 分别为 与 的零点值），在有理数范围内，零点12x， ，值 和 可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下 中情况：x 3当 时，原式121xx当 时，原式12x 3当 时，原式 121xx综上讨论，原式321x （1）求出 和 的零点值 （2）化简代数式x4 24x解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为 x=-2 和 x=4 （2）当 x-2 时，|x+2|+|x-4|=-2x+2； 当-2x4 时，|x+2|+|x-4|=6； 当 x4 时，|x+2|+|x-4|=2x-2 【巩固】化简1. 2. 的值12x 12m3. 4. (1) ；523x 12x变式 5.已知 的最小值是 ， 的最大值为 ，求 的值。23xa23xba
