1、山东省沾化二中 2015 届高三第一次模拟考试数学理试题一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分）1集合 ， ，若 ，则 （ ）3,2aA,Bb2ABABA B C D0130,131,2342.设 是虚数单位，复数 （ ）i i3A. B. C. D. 1i3. 已知 3)6cos(x,则 )3cos(x ( )A 32B 2C 1D 1 4.函 数 的 图 像 关 于 原 点 对 称 ， 是 偶 函 数 ， 则 ba9()xaf()lg0)xbA.1 B. 1 C. 21 D. 215.某产品在某零售摊位的零售价 x（单位：元）与每天的销售量 y（单位：个）的统计资料如下
2、表所示：由上表可得回归直线方程 中的 ，据此模型预测零售价为 15 元时，每天的销售量为yba4A51 个 B50 个 C49 个 D48 个6.下列说法正确的是 A命题“ ， ”的否定是“ ， ”xR0xexR0xeB命题 “已知 ，若 ，则 或 ”是真命题 ,y3y21yC “ 在 上 恒 成 立 ” “ 在 上 恒 成 立 ”2a1,2maxin)()(1,2D命题“若 ，则函数 只有一个零点 ”的逆命题为真命题2fxa7.已知函数 ，且 ，则当 时， 的取值范围()sin()fxxR22(3)(41)0fyfx1yx是 （ ）A B C D13,430,4,4340,38设函数 ，记
3、则 （ ）()ln)fxx(1),(),c(7)afbffA. B.cabaC. D. c9. 在 ABC中， ， ， AD是边 上的高，则 的值等于（ ）360BCBCADCA B C D9 949427410如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为 ，俯视图绕底边1V所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为 ,则 （ ）2V12:A B128C D6411.若曲线 f(x， y)0 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线 f(x， y)0 的“自公切线”下列方程： x2 y21； y x2| x|； y3sin x4cos x；| x|1 对应的曲线中存在“自公切线”的
4、有（ ）4 y2A B C D12.已知 为 R 上的可导函数，当 时， ，则函数 的零点个数为 ()yfx0x()0fxf1()gxfx（ ）A.1 B.2 C.0 D.0 或 2二、填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13.512axx的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为 14.设 满足约束条件 ，则 所在平面区域的面积为 _.,xy20xye(,)Mxy15.若正数 满足 ，则 的最小值为_.,ab114ab16已知 是双曲线 的左、右焦点，若点 关于直线 的对称点 也在21,F)0,(2yx 2FxabyM双曲线上，则该双曲线的离心率为_.三、解答题（共 7
5、0 分）17. 在 ABC中，角 、 、 所对的边分别为 abc、 、 ，已知 sin3coaCA，（）求 的大小；（）若 6a，求 bc的取值范围.18.（12 分）某站针对 2014 年中国好声音歌手 三人进行上网投票，结果如下 CBA,（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取 人，其中有 6 人支持 ，求 的值. nAn（2）若在参加活动的 20 岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取 7 人作为一个总体，从 7 人中任意抽取 3 人，用随机变量 X表示抽取出 3 人中支持 B的人数，写出 X的分布列并计算 )(,XDE.19 （本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥 P -ABC
6、D 的底面为菱形，BCD= 120,AB= PC =2,AP= BP= 2（I）求证：ABPC：（）求二面角 B 一 PCD 的余弦值20.设各项均为正数的数列 na的前 项和为 nS，满足 2141,nnaSN且 2514,a恰好是等比数列 nb的前三项（）求数列 n、 b的通项公式； （）记数列 的前 项和为 nT,若对任意的 *N， 3()62nTk恒成立，求实数 k的取值范围21 （本小题满分 12 分）已知圆 点 B（l，0） 点 A 是圆 C 上的动点，线段 AB 的垂直平分线与线段 AC 交于点2:(1)CxyP（I）求动点 P 的轨迹 C1 的方程；（）设 ，N 为抛物线 上的
7、一动点，过点 N 作抛物线 C2 的切线交曲线 Cl 于 P，Q 两点，(0,)5M2:yx求MPQ 面积的最大值22.（本小题满分 12 分）.已知函数 xfln)(，xeaxg)3()2（a 为实数） () 当 a=5 时，求函数 xgy在 1处的切线方程；() 求 )(xf在区间t ，t+2（t 0）上的最小值；() 若存在两不等实根21ex，使方程 )(2)(xfeg成立，求实数 a 的取值范围24.已知函数 ()fa,（1）当 3a时，求不等式 ()3fx的解集;（2）若 4fx的解集包含 1,2，求 a的取值范围 .观众年龄 支持 支持 支持 C20 岁以下 200 400 800
8、20 岁以上（含 20 岁） 100 100 400数学答案（理科）1.【答案解析】A 解析：由 ，得 =2，所以 , .即 ， ，因此2ABa12b3,A1,2B1,23B2.【答案】 【解析】A 解析：复数 i12311iii3.【答案解析】C cos（x- ）=- ，cosx+cos（x- ）=cosx+cosxcos +sinxsin633= cosx+ sinx= （ cosx+ sinx）= cos（x- ）= （- ）=-1 故选 C3232164.【答案】 【解析】D 解析： 关于原点对称，函数 是奇函数，9()3xaf()fx 是偶函数， 对任意的 都成立，()01fa=，
9、， lg10xbg-=x， ，()lg1lxxb-+()1ll02xxb+ 对一切 恒成立， ， ，故选：D2-=2b=-ab5.【答案】C 解析：由题意知 17.5,39xy，代入回归直线方程得 109,a549，故选 .C6.【答案解析】A、“xR，e x0”的否定是“x 0R，e x0”；命题错误；B、x=2 且 y=1 时，x+y=3 是真命题； 若 x+y3，则 x2 或 y1”是真命题；C、“x 2+2xax 在 x1，2 上恒成立”“ （ ）mina max 在 x1，2 上恒成立”，命题错误；2xD、“若 a=-1，则函数 f（x）=ax 2+2x-1 只有一个零点”的逆命题是
10、：“f （x）=ax 2+2x-1 有一个零点时，a=-1”，f（x）有一个零点时，a=-1 或 a=0；命题错误故选：B 【思路点拨】B. A 中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；B 中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；C、“x 2+2xax 在 x1，2 上恒成立”转化为“ （ ）mina max 在 x1，2 上恒成立”；2xD、写出原命题的逆命题再判定真假7. .设 ，由 得 .结合图形可知， 即 .14PEk:(1)Dykx2|1k23,04k134k314yx选 A.8.【解析】试题分析：已知 ，得 ，()ln1)fxxxf1)(，当 x0 时， ，0，
11、所以 在（0，+ ）上单调递减，()l)fxx，即 ，故选 B.137f137ffabc9.【答案】C 解析：分别以 BC，AD 所在直线为 x 轴，y 轴建立如图所示平面直角坐标系；根据已知条件可求以下几点坐标：A ，D ，C ；30,2,03,2 ， ； 故选 C30,2AD3,2AC274AD【思路点拨】根据已知条件可以分别以 BC，DA 所在直线为 x，y 轴建立平面直角坐标系，而根据已知的边长及角的值可求出向量， 的坐标，根据数量积的坐标运算即可求出 10.【答案】 【解析】D 解析：三视图复原的几何体如图， 它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展
12、为长方体的外接球，外接球的直径是 ，该几何体的外接球的体积 V1= ，V 2=23482，V 1：V 2= ，故选 D21338:423.【思路点拨】判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，由此求出结果11.【答案解析】B x 2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；y=x 2-|x|= ，21()4x在 x= 和 x=- 处的切线都是 y=- ，故有自公切线y=3sinx+4cosx=5sin（x+ ），cos= ，sin= ，此函数是周期1214 354函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此
13、函数有自公切线由于| x|+1= ，即2yx2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线故答案为 B【思路点拨】x 2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；在 x= 和 x=- 处的切线都是 y=- ，故有自公切线此函124数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线结合图象可得，此曲线没有自公切线12.【答案】C13【答案】40解析：令 则有 ，得 ，所以二项式为 所以其常数项为 所以1x2a1512xx2325540C答案为 40.14【答案】 2e【解析】试题分析：画出 对应的平面区域，如图所示.02xye所在平面区域的面
14、积为 .(,)Mxy22202001| 1xxAOBedSeee15.4,16【答案】 518.【答案解析】 （1）40（2 ） 049（1） 利用层抽样的方法抽取 n 个人时，从“ 支持 A 方案” 的人中抽取了 6 人， = ，解得 n=40，6068104（2） X=0，1 ，2X 0 1 2P274717E（X）=1 +2 = ，D（X）= (0- )2+ (1- )2+ (2- )2= 41666049【思路点拨】 （1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于 n 的方程，解方程可得 n 值（2） X=0，1 ，2，求出相应的概率，可得 X 的分布列并计算 E（X） ，D
15、（X） 19. （I）证明：取 的中点 ，连接ABO,PCA，为等腰三角形 2 分PQVB又 四边形 是菱形，CD120是等边三角形 4 分ABA又 ，又OI PCO平 面 PCO平 面6 分P20. 解：() 11()3()32nnnbqT， 13()62nkn对 *N恒成立， 243nk对*N恒成立， -9 分，21（）由已知可得，点 满足P25BCABC所以，动点 的轨迹 是一个椭圆，其中 ， 动点 的轨迹 的方程为 . 1acP12154xy（）设 ，则 的方程为： ，联立方程组 ，消去 整理得：2(,)NtPQ2 2()ytxtytx22154txyy，6 分234(40)50txt
16、有 ， 而2312428()50txt 2422128044,tPQtxt点 到 的高为 由 代入化简得： MPQ21,4th1|2MPQSh即 ；当且仅当 时， 可取最大值 . 25530(10)4PQSt 210tMPQS130522【解析】(I) 43yex (II) 当 et1时 min()()lfxftt emin()()fxfe(III) 42a解析：()当 5a时253xge, (1g. ()3)xgxe，故切线的斜率为 (1)4. 所以切线方程为: 4(1y,即 yex. () ()lnf, 当 et1时,在区间 (,2)t上 (fx为增函数,所以 min()()lfxftt 当0t时,在区间1,te上 ()f为减函数,在区间1,e上 ()f为增函数,所以 min()()fxf() 由 2xge，可得：223lnxax， 3lax, 令()lnhx, 22)1(31)(xxh. 132()hee, 14()h,32()he.1240()hee. 实数 a的取值范围为34a. 24【答案解析】 （1）x （2）-x或 0a（1）当 3时， ()3f2x或 或2x32x1或 4（2）原命题 ()f在 1,上恒成立 4xax在 1,2上恒成立2xa在 1,2上恒成立 30a【思路点拨】利用零点分段求出解集，求出最值求出参数 a。
