1、安徽省示范高中 2015 届高三 10 月阶段测评数学理试卷 （解析版）一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）1已知集合 A=x|2x1|3， B=x|log0.5xa，且 BA，则实数 a 的取值范围是（ ）A a1 B a1 C a1 D a1考点： 对数函数的单调性与特殊点；指数函数单调性的应用分析： 结合指数的运算性质解绝对值不等式|2 x1|3 可求出集合 A，解对数不等式求出集合B，进而根据集合的真包含的定义构造关于实数 a 的不等式，解不等式可得实数 a 的取值范围解答： 解：集合 A=x|2x1|3=x|32x13=x|22x4=x|x2B=x|log0.
2、5xa=x|0x 2a，BA， 02 a2， a1，a 1，故选：A点评： 本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，指数函数的单调性的应用，绝对值不等式和集合的包含关系，难度中档2sin cos =（ ）A B C D考点： 二倍角的正弦分析： 由诱导公式和二倍角公式化简可得 sin cos =sin cos（ ）= = 解答： 解：sin cos =sin cos（ ）= = = = 故选：C点评： 本题主要考查了诱导公式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查3设 （0，）若 sin+cos= ，则 cos=（ ）A B C D考点： 同角三角函数基本关系的运用专题： 三角函数的求值分析
3、： 把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简求出2sincos 的值，判断出 的具体范围，再利用完全平方公式求出 sincos 的值，联立即可求出 cos 的值解答： 解：把 sin+cos= ，两边平方得：（sin +cos） 2=1+2sincos= ，即 2sincos= ，（0 ，） ，cos0，sin0，（ sincos） 2=12sincos= ，即 sincos= ，联立，解得：cos= ，故选：A点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键4函数 y=sinxtanx 的图象大致是（ ）A B C D考点： 正切函数的图象
4、专题： 三角函数的图像与性质分析： 利用奇偶函数的概念可判断出函数 y=sinxtanx 为奇函数，可排除 A 与 B，再利用导数法判断其单调性，即可得到答案解答： 解：y=sinx 与 y=tanx 均为奇函数，且 f（ x）=sin（x）tan（x） =（sinx tanx）=f（x） ，y=sinxtanx 为奇函数，函数的图象关于原点对称，可排除 A，B ；又 y=cosx 0，y=sinxtanx 在每一个单调区间上均为减函数，可排除 C，故选：D点评： 本题考查三角函数的图象与性质，着重考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题5在ABC 中，若 D 是 BC 边所在直线上一点且满足 =
5、 + ，则（ ）A =2 B =2 C = D =考点： 向量加减混合运算及其几何意义分析： 根据题意，画出图形，结合图形解答问题，求出 与 的关系，即得答案解答： 解：ABC 中，若 D 是 BC 边所在直线上一点且满足 = + ，如图所示； = =（ + ） = + = （ ） = ； = ， = 故选：C点评： 本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据题意，画出图形，结合图形解答问题，是基础题6设ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，拓 a=2，b= ，B= ，则ABC 的面积为（ ）AB C 1 D考点： 正弦定理的应用专题： 计算题；解三角形分析： 由正弦定理及
6、已知可求得 sinA=1，A 为 ABC 的内角，故有 A= ，从而可求 C= ，由三角形面积公式即可求出ABC 的面积解答： 解：由正弦定理知 即 ，解得 sinA=1，A 为ABC 的内角，故有 A= ，从而 C= = 故 SABC= absinC= = 故选：B点评： 本题主要考查了正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查7设 （0， ） ，（ ，） ，若 = ，则下列结论一定正确的是（ ）A sin=sin B sin=cos C sin=cos D sin2=sin2考点： 三角函数中的恒等变换应用专题： 计算题；三角函数的求值分析： 由万能公式化简可得 cos（ ）
7、=0 ，由已知可求得 ，从而+=，故可得 sin=sin（）=sin解答： 解：由已知可得： = = = ，从而有：tan tan =1，得 sin sin =cos cos故有：cos（ ）=0（0 ， ） ，（ ，） ， +=sin=sin（）=sin 故选：A点评： 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查8设 、 为非零向量，已知命题 p：若| |=2sin ，| |=4cos ， =1，则 与 的和；命题 q：若函数 f（x）=（x + ） （ x ）的图象关于 y 轴对称，则 = 下列命题正确的是（ ）A pq B p（q） C （p）q D （p）（q）考点：
8、复合命题的真假分析： 根据向量进行加法运算后仍是一个向量，函数图象关于 y 轴对称时 f（x）=f（x） ，以及向量包括两个量：长度和方向，即可判断出命题 p，q 都错误，所以（p）（q）正确解答： 解：向量的和是一个向量，而不是一个实数，命题 p 错误；f（x）= ；若 f（x）的图象关于 y 轴对称，则： f（x）=f（x） ； ， ；而 得不到 ，命题 q 错误；pq， p（q） ， （p）q 都错误， （p）（q）正确故选 D点评： 考查向量的线性运算：加法和减法运算的结果仍是向量，函数图象关于 y 轴对称时f（ x）=f （x） ，以及向量的概念9设 a=sin（cos2015） ，
9、b=sin（sin2015 ） ，c=cos（sin2015 ） ，d=cos（cos2015） ，则（ ）A dcba B dcab C cdab D cdba考点： 复合三角函数的单调性专题： 三角函数的求值分析： 首先，结合诱导公式进行化简，然后，借助于三角函数的单调性进行比较大小即可解答： 解：a=sin（cos2015）=sin（cos215）=sin（cos35 ）b=sin（sin2015 ）=sin （sin215）=sin（ sin35）c=cos（ sin2015）=cos（sin215）=cos（sin35 ）=cos（sin35 ）d=cos（cos2015）=cos（
10、cos215）=cos（cos35）=cos（cos35 ）因 sin35cos35，所以 0sin35 cos35 10sin（sin35）sin（ cos35） 1因 0sin35 cos351所以 cos（sin35）cos（cos35）0所以 sin（cos35 ）sin（sin35）cos（cos35 ）cos（sin35）即 abdc故选：D点评： 本题重点考查了三角函数诱导公式、三角函数的单调性及其应用，属于中档题10已知向量 =（0，6） ， =（x，y） ， 与 的夹角为 ，则| |的最大值是（ ）A 6 B 4 C 6 D 12考点： 数量积表示两个向量的夹角专题： 平面向
11、量及应用分析： 根据平面向量的几何意义，画出图形，构造出三角形，运用余弦定理表示出关于向量 、 以及 与 的夹角，利用判别式求出 |b|的最大值解答： 解：由向量加减法的几何意义，设 = ， = ，则 = ，如图所示； 与 的夹角为 ，OBA=60 ；在OAB 中， =6，设 =m， =n，根据余弦定理得：6 2=m2+n22mncos60，整理得 n2mn+m236=0，由=（m） 24（m 236） 0，得 m2 ，0 m4 ；|b|的最大值为 4 故选：B点评： 本题考查了平面向量的应用问题，解题时应利用向量的数量积表示两个向量的夹角，利用数形结合思想便于解答问题，是中档题二、填空题（共
12、 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）11若 tan（+ ）= ，则 tan= 考点： 两角和与差的正切函数专题： 计算题；三角函数的求值分析： 由 tan（+ ）= ，可得 ，代入从而解得 tan= 解答： 解：tan（+ ） = ， =解得 tan= 故答案为： 点评： 本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用，属于基本知识的考查12如图，等腰直角ABC 中，AB=2，D 、E 、F 分别在边 AB、BC 、CA 上，且DEAC，EFAB，现沿 DE 折叠，使平面 BDE平面 ADEF，若此时棱锥 BADEF 的体积最大，则 BD 的长为 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 函
13、数的性质及应用；导数的概念及应用；空间位置关系与距离分析： 由已知易得 BD 即为棱锥 BADEF 的高，此时底面 ADEF 为矩形，AD=2x，DE=x，表示出棱锥 BADEF 的体积，利用导数法，可得棱锥 BADEF 的体积最大时，BD 的长解答： 解：设 BD 的长为 x 时，棱锥 BADEF 的体积最大，等腰直角ABC 中，AB=2，DE AC，EF AB，BD 即为棱锥 BADEF 的高，此时底面 ADEF 为矩形，AD=2x，DE=x，故棱锥 BADEF 的体积 V= BDADDF= （2 x）xx= x3+ ，则 V=x2+ x，当 x 时，V0，此时函数为增函数，当 x2 时，
14、V0，此时函数为减函数，故当 BD= 时，棱锥 BADEF 的体积最大，故答案为：点评： 本题考查的知识点是棱锥的体积，导数法研究函数的最值，难度中档13设 x（0， ） ，则函数 y= 的最大值为 考点： 三角函数的最值专题： 三角函数的求值分析： 将解析式变形，得到 y= ，变形为 利用基本不等式，求分母的最小值解答： 解：因为 x（0， ） ，tanx0，函数 y= = = = ，当且仅当 3tanx= ，等号成立；故答案为： 点评： 本题考查了三角函数与基本不等式的应用，关键利用倍角公式以及基本关系式14设函数 f（x）=cos（x+） （0，0 ）满足 f（x+2）=f（2 x） ，
15、且对任意 aR，在区间（a ，a+2上 f（x）有且只有一个最小值，则 f（x）的单调递减区间为 2k ，2k+ （kZ） 考点： 由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式专题： 三角函数的图像与性质分析： 依题意，可知 f（x）=cos（x+）的周期为 T= =2，可求得 =1，再由f（x+2）=f（ 2x）知 f（x）=cos（x+）的图象关于 x=2 对称，继而可确定 的值，利用余弦函数的单调性质即可求得答案解答： 解： 对任意 aR，在区间（a，a+2上 f（x）有且只有一个最小值，f（ x）=cos（ x+）的周期为 T= =2，=1；又 f（x+2）=f（2x） ，f（ x
16、）=cos（x+ ）的图象关于 x=2 对称，2+=k（kZ） ，= （kZ） ，又 0 ，= f（ x）=cos（x+ ）由 2kx+ 2k+（kZ） ，得：2k x2k+ （kZ） ，f（ x）的单调递减区间为2k ，2k+ （kZ ） 故答案为：2k ，2k+ （k Z） 点评： 本题考查由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式，确定 的值是关键，也是难点，属于中档题15设函数 f（x）=sinxsin（x+） ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号） f（x）的周期与 无关 f（x）是偶函数的充分必要条件 =0 无论 取何值，f（x）不可能为奇函数 x= 是 f（x）的
17、图象的一条对称轴 若 f（x）的最大值为 ，则 =2k+ （kZ）考点： 命题的真假判断与应用专题： 三角函数的图像与性质分析： 利用积化和差公式，可将函数 f（x）=sinxsin （x+）化为余弦型函数，进而分析题目中 5 个结论的真假，可得答案解答： 解： f（x）=sinxsin（x+）= cos（x+x+a）cos（xx a）= cos（2x+a）+ cosa；=2，故 f（x）的周期为 ，与 无关，故正确；f（x）是偶函数等价于 a=k，k Z，故错误；当 a= +k，kZ 时，f（x）奇函数，故错误；当 x= 时，2x+a=0，此时函数取最小值，故 x= 是 f（x）的图象的一条对称轴，故正确；若 f（x）的最大值为 ，则 cosa+ = ，此时 cosa= ，此时 =2k ，故错误；故命题正确的是：，故答案为：点评： 本题考查的知识点是余弦型函数的图象和性质，熟练掌握余弦型函数的图象和性质是解答的关键三、解答题（共 6 小题，满分 75 分）16 （12 分）已知函数 f（x） = sin（x+） （ 0，| ）的部分图象如图所示，其中ACB=（）求 与 的值；（）不画图，说明函数 y=f（x）的图象经过怎样的变化可得到 y=sinx 的图象考点： 由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式；函数 y=Asin（ x+）的图象变换专题： 三角函数的图像与性质
