1、【解析】四川省成都外国语学校 2015 届高三 12 月月考理科数学试题【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、概率、二项式定理、充分必要条件、复数、程序框图等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.第卷【题文】一、选择题（本大题 10 个小题，每题 5 分，共 50 分,请将答案涂在答题卷上）【题文】1已知 是虚
2、数单位，则 = （ ） i i31A B C Di413i4i21i213【知识点】复数的代数运算 L4【答案】 【解析】B 解析：因为 ，所以选 B.1331413iii ii【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点之一，熟练掌握复数的除法运算是本题解题的关键.【题文】2已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）xyR1xy14xyA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件 A2【答案】 【解析】A 解析：若 x+y=1，当 x,y 异号或有一个为 0 时，显然有 ，当 x,y 同号时，则 x,y 只能都为正数，此14xy时 1=x+y ,得 ，所
3、以对于满足 x+y=1 的任意实数 x,y 都有 ，则充分性成立，若 ，2xy14 14xy14xy不妨取 x=4,y=0.001,此时 x+y=1 不成立，所以必要性不成立，综上可知选 A.【思路点拨】一般判断充分、必要条件时，可先分清命题的条件与结论，若从条件能推出结论，则充分性满足，若从结论能推出条件，则必要性满足.【题文】3. 若 71()xa的展开式中 x项的系数为 280，则 a= （ ）A 2 B 2 C 12 D 12【知识点】二项式定理 J3【答案】 【解析】C 解析：因为 ，由 7-2r=1，得 r=3,所以 ，解得7 72171rrrrTxxaa 371280Caa= ,
4、则选 C.2【思路点拨】一般遇到展开式的项或项的系数问题，通常利用展开式的通项公式解答.【题文】4已知函数 ，若 是 的导函数，则函数 在原点附近的2()cosfxx()f()fx()fx图象大致是（ ）A B C D【知识点】导数的计算，函数的图像 B8 B11【答案】 【解析】A 解析：因为 ，所以函数 在 R 上单调递增，则选 A.2sin,2cos0fxxfx()fx【思路点拨】一般判断函数的图像，可结合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及特殊位置的函数值或函数值的符号等进行判断.【题文】5某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图
5、中椭圆的离心率为 A B 221C D 4（第 5 题）侧 侧侧侧【知识点】三视图 椭圆的性质 G2 H5【答案】 【解析】D 解析：设正视图中正方形的边长为 2b，由三视图可知，俯视图中的矩形一边长为 2b，另一边长为圆锥底面直径，即为正视图中的对角线长，计算得 ，所以2b,则选 D.22,2,ecaab【思路点拨】由三视图解答几何问题，注意三视图与原几何体的长宽高的对应关系，求椭圆的离心率，抓住其定义寻求 a,b,c 关系即可解答.【题文】6在 中，内角 的对边分别为 且 ，则ABC, ,cba022abc的值为（ ）cbCa)30sin(A B C D 21232123【知识点】解三角形
6、 C8【答案】 【解析】A 解析：由 得 ,又 A 为三角形内角，所以 A=120,则022abc221cosbcaA，所以选3133sincosin222sinsin(30) 1isin60iCCAaCbcBC A.【思路点拨】在解三角形中，若遇到边角混合条件，通常先利用正弦定理或余弦定理转化为单一的角的关系或单一的边的关系，再进行解答.【题文】7设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S10:S51:2，则 ( )5105SA. B. C. D. 27292927【知识点】等比数列 D3【答案】 【解析】B 解析：因为 S10:S51:2，所以 ,由等比数列的性质得 成1051055,
7、SS515,2SS等比数列，所以 ,得 ,所以 ,则选 B.25154153451055394S【思路点拨】在等比数列中，若遇到等距的和时，可考虑利用等比数列的性质成等比数列进行解答.232,nnnSS【题文】8已知 x，y 满足 则 的取值范围是 ( )y 2 0，x 3 0，x y 1 0， ) 46xyA B C D73,07, 713,76,0【知识点】简单的线性规划 E5【答案】 【解析】C 解析：不等式组 表示的平面区域如图,因为 ，而y 2 0，x 3 0，x y 1 0， ) 64214xyyxx为区域内的点与点(4，2)连线的斜率，显然斜率的最小值为 0，点(-3,-4)与点
8、(4，2)连线的斜率最24yx大为 ，所以 的取值范围为 ，则选 C.42637214yx713,【思路点拨】一般遇到由两个变量满足的不等式组求范围问题，通常利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行解答.【题文】9已知椭圆 C: ，点 为其长轴 的 6 等分点，分别过这五点作斜12yx521,M AB率为 的一组平行线，交椭圆 C 于 ，则直线 这 10 条直线的)0(k 1021,P 1021,P斜率乘积为 （ ） A B C D16326404【知识点】椭圆的标准方程 椭圆的性质 H5【答案】 【解析】B 解析：由椭圆的性质可得 ，由椭圆的对称性可得 ,同1210APBAPBkk1101,
9、BPABPAkk理可得 ,则直线 这 10 条直线385674921AP APk2,的斜率乘积为 ,所以选 B.23.【思路点拨】抓住椭圆上的点与长轴端点的连线的斜率为定值是本题的关键.【题文】10.已知 为线段 上一点， 为直线 外一点， 为 上一点，满足 ，CABPABIPC4|PBA， ，且 ，则 的值为（ 10|PBA|C )0(|(AI |I）A. B. 3 C. 4 D. 2 5【知识点】向量的数量积 F3【答案】 【解析】B 解析： ，而 ， ，|PBCA，又 ，即 ，)0(|(APCBI ()|AI所以 I 在BAP 的角平分线上，由此得 I 是ABP 的内心，过 I 作 IH
10、AB 于 H，I 为圆心，IH 为半径，作PAB 的内切圆，如图，分别切 PA,PB 于 E、F， ，4|PBA， ，10|PBA11322HBP在直角三角形 BIH 中， ，所以 ,所以选 BcosIIcos|BIAIBH.【思路点拨】理解向量 是与向量 共线同向的单位向量即可确定 I 的位置，再利用向量的减法及数量a积计算公式进行转化求解.第卷【题文】二填空题（本大题 5 个小题，每题 5 分，共 25 分，请把答案填在答题卷上）【题文】11若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 【知识点】程序框图 L1【答案】 【解析】 13760解析：第一次执行循环体得 s=1,i=2; 第二
11、次执行循环体得 s= ,i=3; 第三次执行循环体得 s=32,i=4; 第四次执行循环体得 s= ,i=5; 第五次执行循环体得231564s= ,i=6; 第六次执行循环体得 s= 此时不满足判断框跳出循5176071790604环，所以输出的值为 .14760【思路点拨】一般遇到循环结构的程序框图问题，当运行次数较少时就能达到目的，可依次执行循环体，直到跳出循环，若运行次数较多时，可结合数列知识进行解答. 否s输 出否是否?491i0si11i（第 11 题）【题文】12若非零向量 ，满足 ， ，ba, |b)(ba则 【知识点】向量的模，向量垂直的充要条件 F3【答案】 【解析】2 解
12、析：由 得 ，由 得|ba222,abab)(ba，解得 .2 0 【思路点拨】由向量的模的关系寻求向量的关系，通常利用性质：向量的模的平方等于向量的平方进行转化.【题文】13已知函数 的最大值为 1，)32cos(sin)(xaxf则 a【知识点】三角函数的性质 C3【答案】 【解析】0 或 3解析：因为 的最大值为 1，所以31()sin2cos()asin2cosfxaxx，解得 a=0 或 .2314a【思路点拨】研究三角函数的性质，一般先化成一个角的三角函数再进行解答，本意注意应用asinx+bcosx 的最值的结论进行作答.【题文】14过点 作圆 的弦，(1,2)A24160xy其
13、中弦长为整数的共有 条。【知识点】圆的方程 H3【答案】 【解析】32 解析：由题意可知过点 的最短的弦长为 10，最长的弦长为 26,所以共有弦长为整数有(1,2)A2+2(26101)=32.【思路点拨】可先求出弦长的范围，弦与点 A 与圆心连线垂直时弦长最短，弦过圆心时弦长为圆的直径，此时长度最大，取得最值的两个位置只有一条，中间的整数值都有两条.【题文】15已知两个正数 ，可按规律 推广为一个新数 ，在 三个数中取两个较,abcabc,ab大的数，按上述规则扩充到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作。若，经过五次操作后扩充得到的数为 为正整数） ，则 0pq(1)(
14、,mnqpmn【知识点】归纳推理 M1【答案】 【解析】13 解析：因为 pq0 第一次得：c 1=pq+p+q=（q+1） （p+1）-1，因为 cpq，所以第二次得：c2=（c 1+1） （p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1） 2（q+1）-1，所得新数大于任意旧数，所以第三次可得 c3=（c 2+1） （c 1+1）-1=（p+1） 3（q+1） 2-1，第四次可得：c 4=（c 3+1） （c 2-1）-1=（p+1）5（q+1） 3-1，故经过 5 次扩充，所得数为：（q+1） 8（p+1） 5-1，m=8，n=5，则 13.mn【思路点拨】可通过逐步扩
15、充发现每次扩充得到的数的规律，即可解答.【题文】三解答题（本大题 6 个小题，共 75 分，请把答案填在答题卷上）【题文】16 （本题满分 12 分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个，从中任取 2 个球，记随机变量 为取出 2 球中白球的个数，已知 X125)(XP（）求袋中白球的个数；（）求随机变量 的分布列及其数学期望【知识点】古典概型 离散型随机变量及其分布列 K2 K6【答案】 【解析】 （）6；（） 43EX解析：（）设袋中有白球 n 个，则 ， 解得 n=62951nCP（）因为 ,所以随机变量 X 的分布列如下：236901KCPXkX 0 1 2P得 .1540213
16、EX【思路点拨】一般遇到求随机变量的分布列与数学期望，通常先确定随机变量的取值，再计算各个取值的概率，即可列表得分布列，用公式求期望.【题文】17、 （本小题满分 12 分）已知函数 。231sincos,2fxxxR（1）若 ，求函数 的最大值和最小值，并写出相应的 x 的值；53,24xf（2）设 的内角 的对边分别为 ，满足 且 ，ABC,abc3,()0fCsin2iBA求 的值。,ab【知识点】三角函数性质，解三角形 C3 C8【答案】 【解析】 （1） 时函数得最小值为 ；（2）a=1，b=2 34x31解析：（1） ，因为2 cos1sincossinin212 6xf x x，
17、所以 ，则当 时，函数得最大值为 0，当53,24x4,63x,623时函数得最小值为 ；,6312（2）因为 f（C）=sin（2C- ）-1=0，则 sin（2C- ）=1， 0C，02C2， 2C-666 ，2C- = ，C= ，sinB=2sinA，由正弦定理得 b=2a ，由余弦定理得 c2=a2+b2-6123ab=3 ，由解得：a=1，b=2 【思路点拨】一般研究三角函数的性质，通常先利用公式把函数化成一个角的三角函数再进行解答，在解三角形时，注意利用正弦定理和余弦定理进行边角的转化和求值.【题文】18 （本题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形， ，ABCDPA
18、BCPD， 分别为 的中点.120,90CDPAGFE,（）求证:平面 平面 ;/（）求二面角 的平面角的大小.BEGFB PADC（第 18 题）【知识点】平行关系 二面角 G4 G11【答案】 【解析】 （） 略；（） 43解析：（）因为 分别为 中点,所以 ,GE,APBABEG/又因为 是正方形, ,所以 ,所以 平面 .ABCDCD/PCD因为 分别为 中点,所以 ,所以 平面 .F,PF/所以平面 平面 ./（）法 1.易知 ,又 ,故 平面PA分别以 为 轴和 轴,建立空间直角坐标系(如图)C,xz不妨设 2PDA则 , 所以 )10(),2(FB)0,3()1,23(E)0,2
19、3(),10(EFB设 是平面 的法向量,则,1zyxmB所以 取 ,即0EF02311yx311zx)0,31(m设 是平面 的法向量,则),(2zyxnDEF所以 取0EFD0322yz23zx设二面角 的平面角的大小为 B 231|,cosnm所以 ,二面角 的平面角的大小为 .2cosEFD43EGFB PADC法 2. 取 中点,联结 则 ,又 平面 , ,所以 平面 ,所M,BCE/ADPCBA/CPD以 平面 ,所以 , .EM因为 ,则 ,所以 平面 .DP又因为 ,所以CF/所以 就是二面角 的平面角的补角.F不妨设 ,则2A, , .14E所以二面角 的平面角的大小为 .BD3MEGFB PADC【思路点拨】证明面面平行一般利用面面平行的判定定理进行证明，求二面角可以建立适当坐标系利用平面的法向量求解，也可以寻求二面角的平面角求解.【题文】19 （本题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 ，且 nanS)2(1na（）求 ；na（）设 ，求数列 的前 项和 )log)(log(1122nnnSSb nbnT【知识点】数列的通项公式，数列求和 D1 D4【答案】 【解析】 （） ；（） )(1an 13n解析：（） 时, 221nSS2,1S所以 n)(2an（） 121)2)(1nbnnn
