1、【解析】四川省成都外国语学校2015届高三12月月考理科数学试题 【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、概率、二项式定理、充分必要条件、复数、程序框图等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.第卷【题文】一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上）【题文】1已知是虚数单位，则= （ ）
2、 A B C D【知识点】复数的代数运算L4【答案】【解析】B 解析：因为，所以选B.【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点之一，熟练掌握复数的除法运算是本题解题的关键.【题文】2已知，则“”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件A2【答案】【解析】A 解析：若x+y=1，当x,y异号或有一个为0时，显然有，当x,y同号时，则x,y只能都为正数，此时1=x+y,得，所以对于满足x+y=1的任意实数x,y都有，则充分性成立，若，不妨取x=4,y=0.001,此时x+y=1不成立，所以必要性不成立，综上可知选A.【思路点拨】一
3、般判断充分、必要条件时，可先分清命题的条件与结论，若从条件能推出结论，则充分性满足，若从结论能推出条件，则必要性满足.【题文】3. 若的展开式中项的系数为280，则= （ ） A B C D【知识点】二项式定理J3【答案】【解析】C 解析：因为，由7-2r=1，得r=3,所以，解得a=,则选C.【思路点拨】一般遇到展开式的项或项的系数问题，通常利用展开式的通项公式解答.【题文】4已知函数 ，若 是 的导函数，则函数 在原点附近的图象大致是（ ） A B C D【知识点】导数的计算，函数的图像B8 B11【答案】【解析】A 解析：因为，所以函数在R上单调递增，则选A.【思路点拨】一般判断函数的图
4、像，可结合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及特殊位置的函数值或函数值的符号等进行判断.【题文】5某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为 A B C D （第5题）【知识点】三视图 椭圆的性质G2 H5【答案】【解析】D 解析：设正视图中正方形的边长为2b，由三视图可知，俯视图中的矩形一边长为2b，另一边长为圆锥底面直径，即为正视图中的对角线长，计算得，所以,则选D.【思路点拨】由三视图解答几何问题，注意三视图与原几何体的长宽高的对应关系，求椭圆的离心率，抓住其定义寻求a,b,c关系即可解答.【题文】6在中，内角的对边分
5、别为且，则的值为（ ）A B C D 【知识点】解三角形C8【答案】【解析】A 解析：由得,又A为三角形内角，所以A=120,则，所以选A.【思路点拨】在解三角形中，若遇到边角混合条件，通常先利用正弦定理或余弦定理转化为单一的角的关系或单一的边的关系，再进行解答.【题文】7设等比数列an的前n项和为Sn，若S10:S51:2，则 ( ) A. B. C. D. 【知识点】等比数列D3【答案】【解析】B 解析：因为S10:S51:2，所以,由等比数列的性质得成等比数列，所以,得,所以,则选B.【思路点拨】在等比数列中，若遇到等距的和时，可考虑利用等比数列的性质成等比数列进行解答.【题文】8已知x
6、，y满足则的取值范围是 ( )A B C D【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】C 解析：不等式组表示的平面区域如图,因为，而为区域内的点与点(4，2)连线的斜率，显然斜率的最小值为0，点(-3,-4)与点(4，2)连线的斜率最大为，所以的取值范围为，则选C.【思路点拨】一般遇到由两个变量满足的不等式组求范围问题，通常利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行解答.【题文】9已知椭圆C:，点为其长轴的6等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆C于，则直线这10条直线的斜率乘积为 （ ） A B C D【知识点】椭圆的标准方程 椭圆的性质H5【答案】【解析】B 解析：由椭圆的性质可
7、得，由椭圆的对称性可得,同理可得,则直线这10条直线的斜率乘积为,所以选B.【思路点拨】抓住椭圆上的点与长轴端点的连线的斜率为定值是本题的关键.【题文】10.已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，满足，且，则的值为（ ）A. B. 3 C. 4 D. 【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】B 解析：，而，又，即，所以I在BAP的角平分线上，由此得I是ABP的内心，过I作IHAB于H，I为圆心，IH为半径，作PAB的内切圆，如图，分别切PA,PB于E、F，在直角三角形BIH中，所以,所以选B.【思路点拨】理解向量是与向量共线同向的单位向量即可确定I的位置，再利用向量的减法及数量积计算公式
8、进行转化求解.第卷【题文】二填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卷上）【题文】11若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为【知识点】程序框图L1【答案】【解析】 解析：第一次执行循环体得s=1,i=2; 第二次执行循环体得s=,i=3; 第三次执行循环体得s=,i=4; 第四次执行循环体得s=,i=5; 第五次执行循环体得s=,i=6; 第六次执行循环体得s= 此时不满足判断框跳出循环，所以输出的值为.【思路点拨】一般遇到循环结构的程序框图问题，当运行次数较少时就能达到目的，可依次执行循环体，直到跳出循环，若运行次数较多时，可结合数列知识进行解答.（第11题）【题
9、文】12若非零向量，满足， 则【知识点】向量的模，向量垂直的充要条件F3【答案】【解析】2 解析：由得，由得，解得.【思路点拨】由向量的模的关系寻求向量的关系，通常利用性质：向量的模的平方等于向量的平方进行转化.【题文】13已知函数的最大值为1， 则【知识点】三角函数的性质C3【答案】【解析】0或 解析：因为的最大值为1，所以，解得a=0或.【思路点拨】研究三角函数的性质，一般先化成一个角的三角函数再进行解答，本意注意应用asinx+bcosx的最值的结论进行作答.【题文】14过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有 条。【知识点】圆的方程H3【答案】【解析】32 解析：由题意可知过点的最短的弦长为
10、10，最长的弦长为26,所以共有弦长为整数有2+2(26101)=32.【思路点拨】可先求出弦长的范围，弦与点A与圆心连线垂直时弦长最短，弦过圆心时弦长为圆的直径，此时长度最大，取得最值的两个位置只有一条，中间的整数值都有两条.【题文】15已知两个正数，可按规律推广为一个新数，在三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作。若，经过五次操作后扩充得到的数为为正整数），则 【知识点】归纳推理M1【答案】【解析】13 解析：因为pq0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1，因为cpq，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）-
11、1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）-1，所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）-1=（p+1）3（q+1）2-1，第四次可得：c4=（c3+1）（c2-1）-1=（p+1）5（q+1）3-1，故经过5次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）5-1，m=8，n=5，则13.【思路点拨】可通过逐步扩充发现每次扩充得到的数的规律，即可解答.【题文】三解答题（本大题6个小题，共75分，请把答案填在答题卷上）【题文】16（本题满分12分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量为取出2球中白球的个数，已知（）求袋中白
12、球的个数；（）求随机变量的分布列及其数学期望【知识点】古典概型 离散型随机变量及其分布列K2 K6【答案】【解析】（）6；（） 解析：（）设袋中有白球n个，则， 解得n=6（）因为,所以随机变量X的分布列如下：X012P得 .【思路点拨】一般遇到求随机变量的分布列与数学期望，通常先确定随机变量的取值，再计算各个取值的概率，即可列表得分布列，用公式求期望.【题文】17、（本小题满分12分）已知函数。 （1）若，求函数的最大值和最小值，并写出相应的x的值； （2）设的内角的对边分别为，满足且，求的值。【知识点】三角函数性质，解三角形C3 C8【答案】【解析】（1）时函数得最小值为；（2）a=1，b
13、=2 解析：（1），因为，所以，则当时，函数得最大值为0，当时函数得最小值为；（2）因为f（C）=sin（2C-）-1=0，则sin（2C-）=1， 0C，02C2，2C-，2C-=，C=，sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a ，由余弦定理得c2=a2+b2-ab=3 ，由解得：a=1，b=2 【思路点拨】一般研究三角函数的性质，通常先利用公式把函数化成一个角的三角函数再进行解答，在解三角形时，注意利用正弦定理和余弦定理进行边角的转化和求值.【题文】18（本题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，分别为的中点.（）求证:平面平面;（）求二面角的平面角的大小.（第18题）【知识点】
14、平行关系 二面角G4 G11【答案】【解析】（） 略；（） 解析：（）因为分别为中点,所以,又因为是正方形,所以,所以平面.因为分别为中点,所以,所以平面.所以平面平面.（）法1.易知,又,故平面分别以为轴和轴,建立空间直角坐标系(如图)不妨设则, 所以 设是平面的法向量,则所以取,即设是平面的法向量,则所以取设二面角的平面角的大小为 所以,二面角的平面角的大小为.法2. 取中点,联结则,又平面,所以平面,所以平面,所以,.因为,则,所以 平面.又因为,所以所以就是二面角的平面角的补角.不妨设,则,.所以二面角的平面角的大小为.【思路点拨】证明面面平行一般利用面面平行的判定定理进行证明，求二面
15、角可以建立适当坐标系利用平面的法向量求解，也可以寻求二面角的平面角求解.【题文】19（本题满分12分）已知数列的前项和为，且（）求；（）设，求数列的前项和【知识点】数列的通项公式，数列求和D1 D4【答案】【解析】（）；（） 解析：（）时, 所以 （） .【思路点拨】一般遇到数列求和问题，通常先求出数列的通项公式，再结合通项公式特征确定求和思路.【题文】20（本题满分13分）已知椭圆：的左焦点，离心率为， （）求椭圆的标准方程；（）设，过的直线交椭圆于两点，求的最小值，并求此时的的值【知识点】椭圆，直线与椭圆位置关系H5 H8【答案】【解析】（）；（）最小值为,此时. 解析：（）,由得,椭圆方
16、程为（）若直线斜率不存在,则=设直线,由得 所以 故的最小值为,此时.【思路点拨】在圆锥曲线与向量的综合应用中，出现向量关系，一般把向量关系转化为坐标关系，再通过联立方程，利用韦达定理转化为系数关系进行解答.【题文】21、（本小题满分14分）已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设。 （1）求的值； （2）如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点。 （3）若，且，求证：。【知识点】一元二次不等式 导数的应用 二项式定理 基本不等式E3 E6 B12 J3【答案】【解析】（1）-2；（2）当m0时，k取任意实数，函数（x）有极小值点x2；当m0时，函数（x）有极小值点x2，有极大值
17、点x1（其中）；（3）略 解析：（1）关于x的不等式f（x）（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），即不等式x2+（a+1-2m）x+m2+m0的解集为（m，m+1），x2+（a+1-2m）x+m2+m=（x-m）（x-m-1）x2+（a+1-2m）x+m2+m=x2-（2m+1）x+m（m+1）a+1-2m=-（2m+1）a=-2（2）由（1）得 （x）=g（x）-kln（x-1）=-kln（x-1）的定义域为（1，+）方程x2-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判别式=（2+k）2-4（k-m+1）=k2+4m， 当m0时，0，方程（*）的两个实根为，则x（1，x2）时，；x（x
18、2，+）时，函数（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增函数（x）有极小值点x2， 当m0时，由0，得或，若，则，故x（1，+）时，函数（x）在（1，+）上单调递增函数（x）没有极值点若时，则x（1，x1）时，；x（x1，x2）时，；x（x2，+）时，函数（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增函数（x）有极小值点x2，有极大值点x1 综上所述，当m0时，k取任意实数，函数（x）有极小值点x2；当m0时，函数（x）有极小值点x2，有极大值点x1（其中）（3）证明：m=1，g（x）= = ,令T=，则T= ,x0，2T=2（2n-2）T2n-2，即g（x+1）n-g（xn+1）2n-2 【思路点拨】本题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、导数的应用、均值不等式等，其中利用导数求函数的极值点应注意在其定义域内解答，对于第三问也可以用数学归纳法证明
