1、四川省成都外国语学校 2015 届高三 12 月月考文科数学试题【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、平面向量、立体几何、圆锥曲线、程序框图、充分、必要条件、复数等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.第卷【题文】一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文
2、】1已知 是虚数单位，则 = （ ） i i31A B C Di43i4i21i213【知识点】复数的代数运算 L4【答案】 【解析】B 解析：因为 ，所以选 B.1331413iii ii【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点之一，熟练掌握复数的除法运算是本题解题的关键.【题文】2已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）xyR1xy4xA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件 A2【答案】 【解析】A 解析：若 x+y=1，当 x,y 异号或有一个为 0 时，显然有 ，当 x,y 同号时，则 x,y 只能都为正数，此14xy时 1=x+y ,
3、得 ，所以对于满足 x+y=1 的任意实数 x,y 都有 ，则充分性成立，若 ，2xy14 14xy14xy不妨取 x=4,y=0.001,此时 x+y=1 不成立，所以必要性不成立，综上可知选 A.【思路点拨】一般判断充分、必要条件时，可先分清命题的条件与结论，若从条件能推出结论，则充分性满足，若从结论能推出条件，则必要性满足.【题文】3. 在区间 -,上随机取一个数 x，则事件：“ cos0x”的概率为（ ）A14B 34C12D23【知识点】几何概型 K3【答案】 【解析】C 解析：对于, ，由 cosx0，得 x ,所以所求的概率为 ，则选 C.212【思路点拨】先判断出是几何概型，归
4、纳为所求概率为长度之比，即可解答.【题文】4已知函数 ，若 是 的导函数，则函数 在原点附近的2()cosfxx()f()fx()fx图象大致是（ ）【知识点】导数的计算，函数的图像 B8 B11【答案】 【解析】A 解析：因为 ，所以函数 在 R 上单调递增，则选 A.2sin,2cos0fxxfx()fx【思路点拨】一般判断函数的图像，可结合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及特殊位置的函数值或函数值的符号等进行判断.【题文】5某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为 （ ）A B 221C D 4（第 5 题）侧 侧
5、侧侧【知识点】三视图 椭圆的性质 G2 H5【答案】 【解析】D 解析：设正视图中正方形的边长为 2b，由三视图可知，俯视图中的矩形一边长为 2b，另一边长为圆锥底面直径，即为正视图中的对角线长，计算得 ，所以2b,则选 D.22,2,ecaab【思路点拨】由三视图解答几何问题，注意三视图与原几何体的长宽高的对应关系，求椭圆的离心率，抓住其定义寻求 a,b,c 关系即可解答.【题文】6在 中，内角 的对边分别为 且 ，则 ABC, ,cba022abc的值为（ ）cbCa)30sin(A B C D 21232123【知识点】解三角形 C8【答案】 【解析】A 解析：由 得 ,又 A 为三角形
6、内角，所以 A=120,则022abc221cosbcaA，所以选3133sincosin222sinsin(30) 1isin60iCCAaCbcBC A.【思路点拨】在解三角形中，若遇到边角混合条件，通常先利用正弦定理或余弦定理转化为单一的角的关系或单一的边的关系，再进行解答.【题文】7设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S10:S51:2，则 ( )5105SA. B. C. D. 2292927【知识点】等比数列 D3【答案】 【解析】B 解析：因为 S10:S51:2，所以 ,由等比数列的性质得 成等1051055,SS515,2SS比数列，所以 ,得 ,所以 ,则选 B.2
7、51541534510551394S【思路点拨】在等比数列中，若遇到等距的和时，可考虑利用等比数列的性质成等比数列进行解答.232,nnnSS【题文】8已知 x，y 满足 则 的取值范围是 ( )y 2 0，x 3 0，x y 1 0， ) 46xyA B C D73,07, 713,76,0【知识点】简单的线性规划 E5【答案】 【解析】C 解析：不等式组 表示的平面区域如图,因为 ，y 2 0，x 3 0，x y 1 0， ) 64214xyyxx而 为区域内的点与点(4，2)连线的斜率，显然斜率的最小值为 0，点(-3,-4)与点(4，2)连线的斜率24yx最大为 ，所以 的取值范围为
8、，则选 C.42637214yx713,【思路点拨】一般遇到由两个变量满足的不等式组求范围问题，通常利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行解答.【题文】9已知椭圆 C: ，点 为其长轴 的 6 等分点，分别过这五点作斜12yx521,M AB率为 的一组平行线，交椭圆 C 于 ，则直线 这 10 条直线的)0(k 1021,P 1021,P斜率乘积为（ ）A B C D16326404【知识点】椭圆的标准方程 椭圆的性质 H5【答案】 【解析】B 解析：由椭圆的性质可得 ，由椭圆的对称性可得 ,同理1210APBAPBkk1101,BPABPAkk可得 ,则直线 这 10 条直线的38567
9、492AP APk2,斜率乘积为 ,所以选 B.23.【思路点拨】抓住椭圆上的点与长轴端点的连线的斜率为定值是本题的关键.【题文】10. 用 表示非空集合 中的元素个数，定义()nAA(),(),nABn当当若 ，设 ，2 2|140,|014|23,xaRBxbbR|1Sb则 等于（ ）()nSA1 B4 C3 D2【知识点】集合的运算 A1【答案】 【解析】B 解析：x 2-ax-14=0 对应的判别式=a 2-4（-14）=a 2+560，n（A）=2，A*B=1，n（B）=1 或n（B）=3由|x 2+bx+2014|=2013，解得 x2+bx+1=0或 x2+bx+4027=0，若
10、集合 B 是单元素集合，则方程有两相等实根，无实数根，b=2 或-2若集合 B 是三元素集合，则方程有两不相等实根，有两个相等且异于的实数根，即=b 2-44027=0，且 b2，解得 ，综上所述 b=2 或2407b，设 S=b|A*B=1= ，n（S）=4故选 B2407b,407,2【思路点拨】根据所给的定义，判断两个集合根的个数，由方程根的个数求 b 值.第卷【题文】二填空题（本大题 5 个小题，每题 5 分，共 25 分，请把答案填在答题卷上）【题文】11. 已知 的值为_.4823,log,2xyx则【知识点】指数与对数的互化 对数的运算 B6 B7【答案】 【解析】3 解析：由
11、得 ，所以4,l3xy24281l3,logl3xy.228ogogy【思路点拨】由已知条件先把 x,y 化成同底的对数，再利用对数的运算法则进行计算 .【题文】12若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 否s输 出否是否?491i0si11i（第 12 题）【知识点】程序框图 L1【答案】 【解析】 13760解析：第一次执行循环体得 s=1,i=2; 第二次执行循环体得 s= ,i=3; 第三次执行循环体得32s= ,i=4; 第四次执行循环体得 s= ,i=5; 第五次执行循环体得 s= ,i=6; 312615642513760第六次执行循环体得 s= 此时不满足判断框跳出循环
12、，所以输出的值为13727900.470【思路点拨】一般遇到循环结构的程序框图问题，当运行次数较少时就能达到目的，可依次执行循环体，直到跳出循环，若运行次数较多时，可结合数列知识进行解答.【题文】13已知函数 的最大值为 1，)32cos(sin)(xaxf则 a【知识点】三角函数的性质 C3【答案】 【解析】0 或 3解析：因为 的最大值为 1，所以31()sin2cos()asin2cosfxaxx，解得 a=0 或 .2314a【思路点拨】研究三角函数的性质，一般先化成一个角的三角函数再进行解答，本意注意应用 asinx+bcosx的最值的结论进行作答.【题文】14过点 作圆 的弦，(1
13、,2)A24160xy其中弦长为整数的共有 条。【知识点】圆的方程 H3【答案】 【解析】32 解析：由题意可知过点 的最短的弦长为 10，最长的弦长为 26,所以共有弦长为整数有(1,2)A2+2(2610 1)=32.【思路点拨】可先求出弦长的范围，弦与点 A 与圆心连线垂直时弦长最短，弦过圆心时弦长为圆的直径，此时长度最大，取得最值的两个位置只有一条，中间的整数值都有两条.15.已知 为线段 上一点， 为直线 外一点， 为 上一点，满足 ，CABPBIPC4|PBA， ，且 ，则 的值为 10|P|C )0(|(A|I【知识点】向量的数量积 F3【答案】 【解析】3解析： ，而 ， ，|
14、PBCA，又 ，即 ，)0(|(APCBI ()|ACPI所以 I 在BAP 的角平分线上，由此得 I 是ABP 的内心，过 I 作 IHAB 于 H，I 为圆心，IH 为半径，作PAB 的内切圆，如图，分别切 PA,PB 于 E、F， ，4|PBA， ，10|PBA11322HBPAPB在直角三角形 BIH 中， ，所以 ,所以选 BcosIIcos|BIIH.【思路点拨】理解向量 是与向量 共线同向的单位向量即可确定 I 的位置，再利用向量的减法及数量积a计算公式进行转化求解.【题文】三解答题（本大题 6 个小题，共 75 分，请把答案填在答题卷上）【题文】16. （本小题满分 12 分）
15、某市规定，高中学生在校期间须参加不少于 80 小时的社区服务才合格某校随机抽取 20 位学生参加社区服务的数据，按时间段 （单位：小时）进行统计，其频率75,80),5,90),5,10分布直方图如图所示（）求抽取的 20 人中，参加社区服务时 间不少于 90 小时的学生人数；（）从参加社区服务时间不少于 90 小时 的学生中任意选取 2 人，求所选学生的参加社区服 务时间在同一时间段内的概率【知识点】用样本估计总体 古典概型 I2 K2【答案】 【解析】 （）6 人；（ ） 715解析：（）由题意可知，组距频率0.010.0775 80 85 90 950.021000.040.06服务时间
16、/小时OO参加社区服务在时间段 的学生人数为 （人） ，90,5)20.45参加社区服务在时间段 的学生人数为 （人） 1 2所以参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 （人） +6（）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件 由（）可知，A参加社区服务在时间段 的学生有 4 人，记为 ；,95)0,abcd参加社区服务在时间段 的学生有 2 人，记为 1 B从这 6 人中任意选取 2 人有 ,abcdAccAdB共 15 种情况事件 包括 共 7 种情况A,abcdB所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率 7()15PA【思路点拨】在频率分布直方图中，注意纵坐标是频率/组距，在求
17、概率时，一般通过列举法寻求所求事件包含的基本事件的个数.【题文】17、 （本小题满分 12 分）已知函数 。231sincos,2fxxxR（1）若 ，求函数 的最大值和最小值，并写出相应的 x 的值；53,24xf（2）设 的内角 的对边分别为 ，满足 且 ，ABC,abc3,()0fCsin2iBA求 的值。,ab【知识点】三角函数性质，解三角形 C3 C8【答案】 【解析】 （1） 时函数得最小值为 ；（2）a=1，b=2 34x31解析：（1） ，因为2 cos1sincossinin212 6xf x x，所以 ，则当 时，函数得最大值为 0，当53,24x4,63x,623时函数得
18、最小值为 ；,6312（2）因为 f（C）=sin（2C- ）-1=0，则 sin（2C- ）=1， 0C，02C2， 2C-666 ，2C- = ，C= ，sinB=2sinA，由正弦定理得 b=2a ，由余弦定理得 c2=a2+b2-6123ab=3 ，由解得：a=1，b=2 【思路点拨】一般研究三角函数的性质，通常先利用公式把函数化成一个角的三角函数再进行解答，在解三角形时，注意利用正弦定理和余弦定理进行边角的转化和求值.【题文】18 （本题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形， ，ABCDPABCPD， 分别为 的中点.120,90CDPAGFE,（）求证:平面 平面
19、;/（）若 ，求三棱锥 的体积.=-CEGFB PADC（第 18 题）【知识点】平行关系 棱锥的体积 G4 G7【答案】 【解析】 （）略；（） 36解析： （）证明：因为 分别为 中点, 所以 ,又因为 是正方形, ,所GE,APBABEG/CDCAB/以 ,所以 平面 .因为 分别为 中点,所以 ,所以 平面CDEG/CDFPF/E.所以平面 平面 . PF（） .11132sin10224436ECDFECBDPCBCPDVV【思路点拨】证明面面平行通常利用其判定定理进行证明，求棱锥体积可结合底面积与高的关系转化为与已知条件相关的棱锥的体积进行求值.【题文】19 （本题满分 12 分）
20、已知数列 的前 项和为 ，且 nanS)2(1na（）求 ； （）设 ，求数列 的前 项和 na )log)(log(1122nnnSb bnT【知识点】数列的通项公式，数列求和 D1 D4【答案】 【解析】 （） ；（） 1)(n 13n解析：（） 时, 22nSaS2,1S所以 n)(21n（） 121)2)(1nnbnn.123131221 nbT nnn 【思路点拨】一般遇到数列求和问题，通常先求出数列的通项公式，再结合通项公式特征确定求和思路.【题文】20 （本题满分 13 分）已知椭圆 ： 的左焦点 ，离心率为 。C)0(12bayx)0,1(F2（）求椭圆 的标准方程；（）设 ，
21、 ，过 的直线 交椭圆 于 两点，求 的值。(1,0)P5(,)4QPlCBA,QB【知识点】椭圆，直线与椭圆位置关系 H5 H8【答案】 【解析】 （） ；（）12yx76解析：（） ,由 得 ,椭圆方程为1c12ba1ba12yx（）若直线 斜率不存在,则 = ，当直线 l 斜率存在时lQBA237()46设直线 ,:(1)ykx12(),yx1255,44QAB1212222211()5()455()46xykxkxk由 得 所以 2(1)xyk22()0kxk2124kx576QAB故【思路点拨】在圆锥曲线与向量的综合应用中，出现向量关系，一般把向量关系转化为坐标关系，再通过联立方程，利用韦达定理转化为系数关系进行解答.
