1、营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。,多元函数微分学,在上册中，我们讨论的是一元函数微积分，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数多元函数，也提出了多元微积分问题。,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,重点,多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。,难点,复合函数求
2、导，多元函数极值。,函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上函数则可以类推， 因此这里基本上只讨论二元函数。,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,（1）邻域,（2）区域,一、多元函数的概念,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例如，,即为开集,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例如，,例如，,连通的开集称为区域或开区域,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,有界闭域；,无界开区域,（3）聚点,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,说明：, 内点一定是聚点；, 边界点可能是聚点；,例,(0,0
3、)既是边界点也是聚点, 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0) 是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,（4）n维空间,说明：, n维空间的记号为, n维空间中两点间距离公式,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离, n维空间中邻域、区域等概念,邻域：,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,设两点为,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,（5）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例1
4、求 的定义域,解,所求定义域为,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,（6） 二元函数 的图形,（如右图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,二、多元函数的极限,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,（1）定义中 的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。这是产生本质差异的根本原因。,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似 如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、 等价无穷小代
5、换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。,说明：,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,证,当 时，,原结论成立,例2 求证,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例3 求极限,解,其中,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例4 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,确定极限不存在的方法：,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,利用点函数的形式有,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,三、多元函数的连续性,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,取,当
6、 时,故函数在(0,0)处连续.,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,闭区域上连续函数的性质,（1）最大值和最小值定理,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,（2）介值定理,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元
7、初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,多元函数的定义,多元函数极限的概念,（注意趋近方式的任意性）,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,四、小结,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,思考题,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,不能.,例,取,但是 不存在.,原因为若取,思考题解答,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练 习 题,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群
8、 54356621,练习题答案,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,复合函数求导法则,先回忆一下一元复合函数的微分法则,则复合函数,对 x 的导数为,这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？,这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数,如,由于 f 没有具体给出,一元复合函数的微分法则就无能为力
9、了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,一、链式法则,证,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,链式法则如图示,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,称为标准法则或,这个公式的特征：,函数,有两个自变量 x 和 y,故法则中包含,两个公式；,营口地区成人高等教育 QQ群 5435
10、6621,由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v,故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有,每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，,即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数”,多元复合函数的求导法则简言之即：,“分道相加，连线相乘”,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,特殊地,其中,即,令,两者的区别,区别类似,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,注,此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形,如,则,从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数
11、无关,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,关于多元复合函数求偏导问题,这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式,用图示法表示出函数的复合关系,函数对某个自变量的偏导数的结构,（项数及项的构成）,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,仍是复合函数,且复合结构与原来的 f ( u , v ) 完全相同,即仍是以 u , v 为中间变量，以 x , y 为自变量的复合函数,因此求它们关于 x , y 的偏导数时必须使链式法则,营口地区成人高等教育
12、QQ群 54356621,求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量,注意引用这些公式的条件,外层函数可微（偏导数连续）,内层函数可导,的合并问题,视题设条件,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,解,由链式法则,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,故,同理可得,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,令,记,同理有,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,于是,二、全微分形式不变性,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,全微分形式不变形的实质：无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的
13、全微分形式是一样的.,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理,且作微分运算的结果对自变量的微分,来说是线性的,从而为解题带来很多方便，而且也不易出错,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例5 设,各函数满足求导条件,求,解一,变量间的关系如下图所示,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,这里变量间的关系比较混乱,用全微分来解,由全微分定理,注意到 x , z 是独立自变量,解二,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,由全微分定义,注
14、,解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错,故,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,三、小结,1、链式法则（分三种情况）,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,2、全微分形式不变性,（理解其实质）,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,思考题,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,思考题解答,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练 习 题,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练习题答案,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高
15、等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,偏 导 数,我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,一、偏导数的定义及其计算法,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 543566
16、21,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,偏导数的求法,由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法,求 时把 y 视为常数而对 x 求导,求 时把 x 视为常数而对 y 求导,这仍然是一元函数求导问题,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,如 在 处,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,一般地 设,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,证,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,原结论成立,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,不存在,营口地区成人高等教育 QQ群 543566
17、21,证,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,计算 f x (x0 ,y0 ) 时可先将 y = y0 代入 f (x ,y ),再对 x 求导然后代入 x = x0,计算 f y (x0 ,y0 ) 时同理,解,3、,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,4、,偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱-重要的是区分清函数的类型这是出错的主要原因。,5、,若 f( x , y ) =f( y , x ),则称 f( x , y )
18、 关于 x , y 具有轮换对称性,在求 时,只需将所求的,中的 x , y 互换即可,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,6、偏导数存在与连续的关系,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,7、偏导数的几何意义,如图,几何意义:,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,二、高阶偏导数,纯偏导,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合
19、偏导函数图象间的关系：,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,问题：,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,三、小结,偏导数的定义,（偏增量比的极限）,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,思考题,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,思考题解答,不能.,例如,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练 习 题
20、,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练习题答案,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,全 微 分,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,一、全微分的定义,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,全增量的概念,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,全微分的定义,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,事实上,二
21、、可微的条件,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,证,总成立,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,同理可得,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,例如,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,则,当 时,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，,证,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,（依偏导数的连续性）,同理,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,习惯上，记全微分为,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠
22、加原理,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,所求全微分,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,解,所求全微分,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,证,令,则,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,同理,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,不存在.,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,多元函数连续、可导、可微的关系,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,三、小结,、多元函数全微分的概念；,、多元函数全微分的求法；,、多元函数连续、可导、
23、可微的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,思考题,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练 习 题,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练习题答案,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,隐函数的求导法则,一、一个方程的情形,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,令,则,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,令,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,则,营口地区成人高等教育 QQ群
24、54356621,解,令,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,则,思路：,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,令,则,整理得,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,整理得,整理得,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,二、方程组的情形,1、对于方程组,怎样求偏导数,首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数,当 x 给定以后相当于解含关于 y , z 的方程组,如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了y , z,故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x),营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,若,则,怎样求,两边对 x 求
25、导,注意左边是复合函数（三个中间变量），,同理,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,2、,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解1,直接代入公式；,解2,运用公式推导的方法，,将所给方程的两边对 求导并移项,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得,注,这组公式不太好记，具体做题时应用的是其基本思想,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,关于隐函数求二阶偏导数,以,为例，,主要有三种方法：,公式法,类似地可求得,直接
26、法,方程两边连续求导两次,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解得：,两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,则,这样一次就可求得全部的一阶偏导数。,全微分法,利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接 求全微分,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,三、小结,隐函数的求导法则,（分以下几种情况）,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,思考题,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,思考题解
27、答,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练 习 题,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练习题答案,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,多元函数极值,一、多元函数的极值和最值,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,1、二元函数极值的定义,(1),营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,(2),(3),2、多元函数取得极值的条件,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,证,营口地区成人高等教育
28、 QQ群 54356621,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,注意：,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,3、多元函数的最值,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,求最值的一般方法,设 f ( x , y ) 在D上连续，D内可微且在D内至多有有限个驻点,这时若 f ( x , y ) 在D内取得最值,则这个最值也一定是极值,
29、将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,故一般方法是,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）,解,如图,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,由,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,二、条件极值与拉格朗日乘
30、数法,条件极值：对自变量有附加条件的极值,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的,解决条件极值问题的一般方法是,Lagrange乘数法升元法,求 z = f ( x , y ),其几何意义是,其中点 ( x , y ) 在曲线 L 上,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,假定点P (x0 , y0 ) 为条件极值点,在(x0 , y0 ) 的某个邻域内,且不同时为0,f( x ,
31、 y )可微,确定了一个隐函数y = y(x),故 z= f x , y(x)在P(x0 , y0)处取得极值,故,即,又由隐函数的微分法知,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,代入上式,P (x0 ,y0 )为条件极值点的必要条件为,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例4,解一,设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为( x , y , z ),则长方体的体积为V=8xyz,令,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解得,或,两式相除,同理
32、,即,代入解得,三式相加得,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解二,任意固定 z0 (0 z0 c ),先在所有高为2 z0 的长方体中求体积最大者,因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大,今上底面为内接于椭圆,边平行于 x,y 轴的长方形,当长方形的边长分别为,（一元函数极值问题）,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,长方形面积最大,得到高为 2z0 的长方体中最大体积为,V( z0 ) 最大,这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为,解三,作变换,问题变成在,下求 XYZ 的最大值,易知为立方体,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,解四,即求,的最大值
33、,而此三个正数的和一定（=1）,当,积最大,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,即,可得,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例6,解,令D为平面 x + y + z = m 在第一卦限的部分,由于在D的边界上，总有 u = 0 而在D内有u 0 且u 在D上连续，故必存在 最大值，且一定在D内取得,另一方面,由于 u 和 lnu 在D内有相同的极值点,故问题转化为求lnu 在条件 x + y + z = m 下的极值。,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,令,则
34、,与 x + y + z = m 联立解得,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,注,若一元函数 f(u) 在区间 I 上严格单调增,一般情形,多元函数 g(P) 在区域D上有定义,则 f(u) 与复合函数 f g(P) 有相同的极值点,利用这一结论可将求f g(P) 的驻点转化为f(u) 的驻点,或相反地将求f(u) 的驻点转化为求f g(P) 的驻点,使问题简化,转移大法,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,四、小结,多元函数的极值,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,拉格朗日乘数法,思考题,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,思考题解答,营
35、口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练 习 题,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练习题答案,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,二重积分的概念和性质,在一元函数积分学中，我们已经知道，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题。,营口地区成人高等教育 QQ群 543566
36、21,当人们把定积分解决问题的基本思想“分割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象概括出来，就得到多元函数积分学。,具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。这就是多元函数积分学的内容。,本章将讨论重积分，包括二重积分、三重积分的概念、性质、计算和应用。,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,重点：重积分的计算方法，交换累次积分次序。,难点：选择坐标系，确定积分次序
37、，定积分限。,基本要求,理解重积分概念，了解其基本性质,熟练掌握重积分的计算方法,掌握累次积分的换序法,掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元,理解重积分的实际背景，能用重积分解决立体体积、曲面面积、重心、转动惯量等实际问题。,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,一、问题的提出,曲顶柱体的体积,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,步骤如下：,用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，,先分割
38、曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,二、二重积分的概念,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,积分区域,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,积分和,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,由二重积分的定义可知,若二重
39、积分,存在,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，故可采用一种便于计算的划分方式,在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，,紧靠D的边界的小区域的面积,其中L为D的围长,则面积元素为,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,故二重积分可写为,三、二重积分的性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,性质,性质,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,则有,特殊地,性质,（二重积分估值
40、不等式）,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,性质,（二重积分中值定理）,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,
41、营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,四、小结,二重积分的定义,（和式的极限）,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,二重积分的性质 （与定积分类似）,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,思考题解答,定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练 习 题,营口地区成人高等教育 QQ群 5
42、4356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,如果积分区域为：,X型,其中函数 、 在区间 上连续.,二重积分的计算法(1),一、利用直角坐标系计算二重积分,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,如果积分区域为：,Y型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,若区
43、域如图，,则必须分割.,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,注,）二重积分化累次积分的步骤,画域，选序，定限,）累次积分中积分的上限不小于 下限,）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，画好围成D的几条边界线，,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,若是X型，,就先 y 后 x,若是Y型，就先 x 后 y ，,注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。,解,积分区域如图,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,积分区域如图,例3 计算,D,解一,D：,X型,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解二
44、,D,Y型,例4 计算,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,D,Y型,I =,若先 y 后 x 由于D的下边界曲线在 x 的不同范围内有不同的表达式， 须分片积分，计算较麻烦。,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。,例5 计算,解,D是X型区域,要分部积分，不易计算,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,若
45、先 x 后 y 则须分片,易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,原式,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,曲面围成的立体如图.,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例12 计算,解,根据积分区域的特点,应先对 x 后对 y 积分,但由于,对 x 的积分求不出，无法计算， 须改变积分次序。,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,先 x 后 y 有,奇函数,营口地区成人高等教
46、育 QQ群 54356621,化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来,另外交换累次积分的次序：先由累次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。,以上各例说明,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,二、小结,二重积分在直角坐标下的计算公式,X型,Y型,（在积分中要正确选择积分次序）,思考题,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,思考题解答,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练 习 题,营
47、口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,练习题答案,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,二重积分的计算法（2）,一、利用极坐标系计算二重积分,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图 极点在区域之外,区域特征如图,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图（极点在D的边界上）,注意内下限
48、未必全为0,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图 （极点在D的内部）,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,极坐标系下区域的面积,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,例7 计算,解,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621,思考题,二、小结,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,
