1、4.1 中值定理,一、罗尔定理,三、柯西中值定理,二、拉格朗日中值定理,一、罗尔定理,设连续光滑的曲线 y f (x) 在端点 A、B 处的纵坐标相等 f () ?,观察与思考,提示f ()0,函数 y f (x) 满足条件 (1)在闭区间a b上连续 (2)在开区间(a b)内可导 (3) f (a) f (b) 则至少存在一点(a b) 使得 f () 0,费马(fermat)引理,且,存在,证: 设,则,证毕,罗尔（ Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,证:,故在 a ,
2、b 上取得最大值,M 和最小值 m .,若 M = m , 则,因此,若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注意:,1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.,例如,则由费马引理得,解,因此在(1, 2)内至少存在一点1 使 f (1)0 1是 f (x)的一个实根 在(2, 3)内至少存在一点2 使 f (2) 0 2 也是 f (x)的一个实根 f (x)是二次多项式 只能有两个实根 分别在区间(1, 2)及(2, 3)内,例2 不求导数 判断函数 f (x) (x1) (x2) (x3)的导数有几个实根 以及其所在范围,f (1) f
3、(2) f (3) 0,所以 f (x) 在1, 2 2, 3上满足罗尔定理的三个条件,因为 f (x) 是连续且可导的函数 并且,二、拉格朗日中值定理,观察与思考 设连续光滑的曲线y f (x) 在端点 A、B 处的纵坐标不相等,直线AB的斜率k ? f () ?,提示,直线AB的斜率,二、拉格朗日中值定理,(1) 在区间 a , b 上连续,满足:,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,至少存在一点,使,思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然 ,在 a , b 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即
4、定理结论成立 .,证毕,拉格朗日中值定理如果函数 f (x)满足条件 (1)在闭区间a b上连续 (2)在开区间(a b)内可导 则至少存在一点(a b)内 使得,或 f (b) f (a) f () (b a),拉格朗日公式 因为 介于a 与 b 之间 所以 可表示成 a (b a) (0 1) 从而拉格朗日公式也可改写成f (b) f (a) f a (b a) (b a) (01),证,例3 证明不等式 arctan x2arctan x1 x2x1 (x1 x2),设 f (x) arctan x f (x) 在x1, x2上满足拉格朗日定 理的条件 因此有,arctan x2 arc
5、tan x1 x2x1,例4. 证明不等式,证: 设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,推论1 如果函数 f (x)在区间(a, b)内任意一点的导数 f (x)都为零 那么 f (x) 在区间 (a, b) 内是一个常数,这是因为 对于任意 x (a b)及定点 x0(a b) 有,其中 介于 x 与 x0 之间,f (x) f (x0) f () (xx0), f (x0), f (x) 0,推论1 如果函数 f (x) 在区间 (a, b) 内任意一点的导数 f (x) 都为零 那么 f (x) 在区间 (a, b) 内是一个常数,推论2 如果函数 f (x) 与 g (x) 在区间
6、(a, b)内每一点的导数 f (x)与g (x) 都相等 则这两个函数在区间(a, b)内至多相差一个常数,这是因为 在区间(a, b)内任意一点 有f (x) g (x) f (x) g (x) 0 根据推论1 函数f (x) g (x) 在区间(a, b)内是一个常数f (x) g (x) c 或 f (x) g (x) c 其中c为某一常数,例5. 证明等式,证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,(3)在开区间 ( a , b ) 内,至少存在一点,使,满足 :,要证,证: 作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知, 至少存在一点,思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?,两个 不 一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,
