1、山东省寿光现代中学 2018 届高三上学期开学考试数学（文）试题一、选择题1已知集合 ，则 （）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 得 ， 得 ，则 ，故选 C.2已知 ：幂函数 在 上单调递增； ，则 是 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，命题 幂函数 在 上单调递增，则，又 ，故 是 的充分不必要条件，选 A.3已知函数 ，若 ，则 （）A. -1 B. 0 C. 2 D. 3【答案】C【解析】因 ，故 ，即 ，应选答案 C。4函数 的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D. 【答案】A【
2、解析】由题设中的图像可得 ，则 ，将 代入可得 ，所以 ，应选答案 A。5在平面直角坐标系 中， 四边形 是平行四边形， ，则（）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【答案】A【解析】因为 ，所以 ，应选答案 A。6已知实数 满足 ，若 ，则 的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 画出可行域如图所示，平移直线 ，当直线经过点 时目标函数 取得最大值 ，当直线经过点 时目标函数 取得最小值 ，即的取值范围为点睛：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法7已知实数 ，那么它们的大小关系是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析： ，
3、所以.【考点】比较大小.8已知 ，则下列结论中正确的是（）A. 的图象关于点 对称B. 的图象关于直线对称C. 函数 在区间 上单调递增D. 将 的图象向右平移 个单位长度可以得到 的图象【答案】B【解析】由 可得 ，故函数 关于直线 对称，应选答案 B。9下列四个图中，可能是函数 的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令 ，则 是奇函数，且当 时， ，当时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减，又由 ，故依据图像的对称性，应排除答案 B，应选答案 C。点睛：解答本题的关键是先令 进行换元转化，再断定其奇偶性是奇函数，进而借助导数知识断定出其单调性，最后求出函数的零
4、点对所给答案进行筛选，从而获得正确答案。10已知 ，则 的面积为（）A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D【解析】由题设 可得，所以 ，则，又因为，所以，则 ，则即 的面积为 ，应选答案 D。点睛：本题以向量的坐标形式为背景，综合考查的是向量的数量积公式的综合运用。求解时先运用向量的坐标形式的数量积公式进行运算，再运用向量的代数形式的数量积公式计算，进而建立方程 求出 ，然后运用面积公式求出三角形的面积。11在 中，角 的对边分别为 ，且 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由正弦定理可得 、整理得12已知 ，若 在区间（0,1）上有且只有一个极值点，则 的取值范围为（ ）
5、A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：当 时， ，在 上单调递增，没有极值点，故排除 B，D 选项.当 时， ，令 ， ，故函数单调递增，且，所以 上 有零点且左边小于零，右边大于零，即有极值点且仅有 个，故 符合题意，排除 C 选项，选 A.【考点】导数与极值点.【思路点晴】本题主要考查导数与极值点个数的问题.小题可以采用排除法，即观察选项后，代入 两个特殊值，然后利用极值点的概念，用导数来验证和排除选项.通常来说，解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不
6、等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理二、填空题13在 中， ，则 .【答案】【解析】试题分析：根据余弦定理，有 ，同理有 ，故 .【考点】解三角形、正余弦定理14已知向量 的夹角为 45，且 ，则 =_【答案】【解析】因 ，故 ，即，解之得 或 ，应填答案 。15已知函数 的定义域和值域都是 ，则 =_【答案】【解析】若 ，则函数 单调递增，故 ，解之得，这与 矛盾；故 ，则函数 单调递减，故，解之得 ，所以 ，应填答案 。16已知定义在 R 上的奇函数 ，设其导函数为 ，当 时，恒有，令 ，则满足 的实数 的取值
7、集合是_ 【答案】【解析】构造函数 ，则 ，由于 ，因此化为 ，即 ，也即 ，故当时，函数 是单调递减函数；又 ，故函数是偶函数，依据偶函数的对称性可知函数 是 上的单调递增函数，故不等式 可化为 ，应填答案 。点睛：解答本题的关键是构造函数 ，然后再研究并求函数的导数，确定其单调性，进而运用定义断定其奇偶性是偶函数，最后再借助单调性将不等式进行等价转化为 ，从而使得 问题获解。三、解答题17设向量 .（1）求 的最小正周期；（2）求 在区间 上的单调递减区间.【答案】 （1） ;（2） ，【解析】试题分析：（1）由向量运算法则求出函数 的解析式并化简得或 ，可求函数的周期为 ；（2 ）由函数
8、解析式及三角函数的性质，求出函数 的单调递减区间，令 或 或求出函数 在 上的单调递减区间.试题解析：（1）解法 1 （1） ，所以最小正周期为 . （6 分）（2 ）由 ，得 ，kZ.当 时， ;当 时， .又 ，因此 在区间 上的单调递减区间为 ， . （12 分）解法 2 （1 ） ，所以最小正周期为 .（6 分）（2 ）由 ，得 ，kZ. 又 ，因此在区间 上的单调递减区间为 ， .（12 分）【考点】向量运算、三角变换、三角函数图象与性质.18某建筑公司用 8000 万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少 12 层、每层 4000 平方米的楼房，经初步估计得知，如果将楼房建为
9、层，则每平方米的平均建筑费用为 （单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= ）【答案】当 时，最小值为 5000 元.【解析】 【试题分析】先建立楼房每平方米的平均综合费用 函数，再应基本不等式求其最小值及取得极小值时 ：解：设楼房每平方米的平均综合费用 ，当且仅当 时，等号取到.所以，当 时，最小值为 5000 元.19如图，在 中， ，点 在边 上， 为垂足，（1）若 的面积为 ，求 的长；（2）若 ，求角 的大小.【答案】 （I） ；（II） .【解析】试题分析：
10、（I ）由三角形面积公式可求得 ，再由余弦定理可求得边的长为 ；（II） 中用 表示 ,在 用正弦定理得角 的大小为试题解析：（）连接 ，由题意得 ，又 ，得 由余弦定理得 ，所以，边 的长为 （）方法 1：因为 由正弦定理知： ，且 ，得 ，解得 ， 所以角 的大小为 方法 2：由正弦定理得 ，得 又 ，则 ，得 ， 所以角 的大小为 【考点】三角形面积公式、正余弦定理.【易错点睛】解三角形问题的技巧解三角形问题的两重性：作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常
11、见的三角变换方法和原则都是适用的.20已知 是定义在 上的奇函数，且 ，若 时，有成立.（1）判断 在 上的单调性，并证明它；（2）解不等式 .【答案】 （1） 是定义在 上的增函数.（2）【解析】 【试题分析】 （1）运用单调性的定义：任取 ，且 ，则，借助已知可得 ，即 ，由于，所以 ，则 是 上的增函数；（2）借助（1）的结论将不等式不等式 化为 ，通过解不等式使得问题获解：解：（1） 是定义在 上的增函数.理由：任取 ，且 ，则 ， ，即 ， ， ，则 是 上的增函数.（2）由（1）可得 在 递增，可得不等式 ，即为 ，即，解得 .则解集为 .点睛：本题旨在考查函数的奇偶性、单调性等基本性质及综合运用。求解第一问时，先运用单调性的定义任取 ，且 ，求差 ，借助已知可得 ，即确定 ，由于 ，所以 ，则 是 上的增函数；解答第二问时，先借助（1）的结论将不等式不等式化为 ，再通过解不等式组使得问题获解。21设函数 的最小正周期为 .且cos0,2fxw.342f（1）求 和 的值；（2）在给定坐标系中作出函数 在 上的图象；fx0,（3）若 ，求 的取值范围.2fx
