1、山东省寿光现代中学 2018 届高三上学期开学考试数学（理）试题一、选择题1已知集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解析：因 或 ，故 ，所以，应选答案 A。2函数 的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】要使函数有意义则有： .故选 D.3下列函数中为偶函数又在 上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】A,B 为偶函数，C,D 不满足函数为偶函数，排除 C,D.在 上 单调递减，不满足，排除 A；在 上 为增函数，成立，故选 B.4已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）A. B. 4 C. D. 2【答案】C【解析】由 2a
2、b4 ，得 2 4，即 ab2，又 a0，b0 ，所以 ，当且仅当 2ab，即 b2，a1 时， 取得最小值 .故选 C.5函数 的图象大致是（ ）【答案】D【解析】试题分析：函数定义域为 ，且 ，为奇函数，又因为当 时 ，由此两个性质知函数图象可能为 【考点】函数的图象与性质6若 ，则下列不等式错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意得,此题比较适合用特殊值法，令 ，那么对于 A 选项， 正确，B 选项中，可化简为 ，即 成立，C 选项， 成立，而对于 D 选项， ，不等式不成立，故 D 选项错误，综合选 D.【考点】1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性
3、；3.特殊值法 .【思路点晴】本题主要考查的是利用指数函数的单调性和对数函数的单调性比较大小问题，属于难题，此类题目的核心思想就是指数函数比较时，尽量变成同底数幂比较或者是同指数比较，对数函数就是利用换底公式将对数转换成同一个底数下，再利用对数函数的单调性比较大小，但对于具体题目而言，可在其取值范围内，取特殊值（特殊值要方便计算） ，能够有效地化难为易，大大降低了试题的难度，又快以准地得到答案.7已知 ，则“ ”是“指数函数 在 上为减函数 ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由 可得 且 a10，解得 0a0 时，
4、f(x )0，当 x0 时，f(x)0，f(x)在(,0)上是减函数，在 (0,+)上是增函数，当 x=0 时函数 f(x)的最小，最小值为2，k2，即 k 的最大值为2故选 A.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立；（3）若 恒成立，可转化为 .13设函数 是定义在 上的偶函数，且对任意的 恒有 ，已知当时 ，则 2 是函数 的周期； 函数 在 上是减函数，在 上是增函数； 函数 的最大值是 1，最小值是 0； 当 时， .其中所有正确命题的序号是_【答
5、案】 （1） ， （2） ， （4 ） 【解析】试题分析：因为 ，故 是周期函数，且周期是2， （ 1）正确；当 时， 为增函数，因为 是偶函数，故在递减，根据周期性知， 在（1，2 ）上递减，在（2，3 ）上递增， （2）正确；当 时， ，因为 是偶函数，所以 ， ，由于 是周期函数，且周期是 2，故 的最大值是 1，最小值是 ， （3）错误；设 ，则，故 ， （4）正确，综上，证明的命题有（ 1） ， （2） ， （4） 【考点】函数的奇偶性、单调性、周期性评卷人 得分二、填空题14对于命题 ，则 的否定是_【答案】【解析】全称命题的否定为特称，故命题 ，则 的否定是 .15设函数 ，若
6、，则实数 的取值范围是 .【答案】(-， -1)(1，+).【解析】试题分析：由题意知， ，当 时， ，由可得 ，即 ；当 时， ，由 可得 ，即 ；所以实数 的取值范围是（- ， -1）（1，+） 【考点】1、分段函数的应用评卷人 得分三、解答题16设函数 ， 是由 轴和曲线 及该曲线在点 处的切线所围成的封闭区域，则 在 上的最大值为_【答案】2【解析】已知函数 ，则可求得曲线 y=f(x)及该曲线在点 处的切线方程为 xy1=0，则可绘制可行域 D 如下：目标函数 z=x2y 可考虑成直线 x2yz=0 的截距的 ，则可得直线在(0,1)处取得最小截距，即此时 z 在 D 上取得最大值
7、。故 z=x2y 在 D 上的最大值为 2。点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.17已知集合 是函数 的定义域，集合 是不等式的解集， .（1）若 ，求 的取值范围；（2）若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2 ） 【解析】试题分析：1）由题 ， 若 ，则必须满足 解之可得 的取值范围；（2） 或 是 的充分不必要条件， 是 的真子集，即解之可得 的取值范围；试
8、题解析：（1） ， 若 ，则必须满足 解得 ,所以 的取值范围是 （2 ）易得 或 是 的充分不必要条件， 是 的真子集，即 解得 ， 的取值范围是 【考点】简易逻辑，不等式的解法18已知命题 ，命题 ：关于 的方程 的一个根大于 1，另一个根小于 1，如果命题“ 且 ”为假命题， “ 或 ”为真命题，求实数的取值范围.【答案】 或【解析】试题分析：命题 ，解 的值域即可；命题 即为记 ，只需 即可，求解本题只需 和 中有且只有一个为真，分情况求解即可.试题解析：若 真： ， 若 真：记 ， ，即 ，命题“ 且 ”为假命题， “ 或 ”为真命题， 和 中有且只有一个为真， 或 ， 或 .实数
9、的取值范围为 或 .19若奇函数 在定义域 上是减函数.（1）求满足 的集合 M；（2）对（1）中的 ，求函数 的定义域.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）利用函数的奇偶性变形得 ，结合定义域及单调性即可求 的范围；（2）为使 有意义，必须 ，利用指数函数的性质求解即可.试题解析：（1） 是奇函数，又 ， ，又 在 上是减函数， ，即 ，解得： . （2）为使 有意义，必须 ，即 ， ， ， 是增函数， ，解得 ， 的定义域为 .20设函数 .（1）当 时，解不等式（2）若 的解集为 ， ，求 的最小值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）去绝对值表示成分
10、段函数形式，解不等式即可（2）根据不等式的解集求出 ，利用 1 的代换结合基本不等式即可求最值试题解析：（1）当 时，不等式为 ， 或 或，不等式的解集为 .（2）解： 即 ，解得 ，而 的解集是 ，解得 ， ，（当且仅当 时取等号）.即， 时， .点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.21在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为 （米/单位时间） ，每单位时
11、间的用氧量为（升） ，在水底作业 10 个单位时间，每单位时间用氧量为 0.9（升） ，返回水面的平均速度为 （米/单位时间） ，每单位时间用氧量为 1.5（升） ，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 （升）.（1）求 关于 的函数关系式；（2）若 ，求当下潜速度 取什么值时，总用氧量最少.【答案】 （1） ；（2 ） 时，总用氧量最少.【解析】试题分析：（1）由题意，下潜用时用氧量为 ，返回水面用时用氧量为 ，二者求和即可；（2）由（1）知，利用导数研究函数的单调性可得 时总用氧量最少.试题解析：（1）由题意，下潜用时 （单位时间） ，用氧量为（升） ，水底作业时的用氧量为 （升） ，返
12、回水面用时 （单位时间） ，用氧量为 （升） ，总用氧量 .（2 ） ，令 得 ，在 时， ，函数单调递减，在 时， ，函数单调递增，当 时，函数在 上递减，在 上递增，此时， 时总用氧量最少，当 时， 在 上递增，此时 时，总用氧量最少.【考点】1、阅读能力、建模能力及函数的解析式； 2、解决实际问题的能力及利用导数求函数的最值.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、建模能力及函数的解析式、解决实际问题的能力及利用导数求函数的最值，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 构建函数模型时一定要考虑变量的实际意义，以确定函数解析式的定义域，以便准确解答.本题的解答关键是将实际问题转化为函数问题求最值.
