1、2016-2017 学年福建省莆田八中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合 A=x|x2|2，x R，B=y|y=x 2， 1x2，则 R（A B）等于（ ）AR Bx|xR，x0 C0 D2已知 a，b 都是实数，那么“a 2b 2”是“ab”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3函数 f（x）= x 的图象关于（ ）Ay 轴对称 B直线 y=x 对称 C坐标原点对称 D直线 y=x 对称4已知平面向量 =（1，2） ， =
2、（ 2，m） ，且 ，则 =（ ）A （5， 10） B （ 4，8） C （ 3，6） D （2，4）5已知在ABC 中，a= ，b= ，B=60，那么角 C 等于（ ）A135 B90 C45 D756在下列区间中，函数 f（x ）= （ ） xx 的零点所在的区间为（ ）A （0，1） B （1，2） C （2，3 ） D （3，4）7设等比数列a n的公比 q=2，前 n 项和为 Sn，则 =（ ）A2 B4 C D8设函数 f（x）= 则不等式 f（x）f（1）的解集是（ ）A （3， 1）（3，+） B （ 3，1） （2，+） C （ 1，1） （3，+） D （，3）（1，3）
3、9已知向量| |= ， =10，| + |=5 ，则| |=（ ）A B C5 D2510若将函数 y=tan（x+ ） （0）的图象向右平移 个单位长度后，与函数 y=tan（x+ ）的图象重合，则 的最小值为（ ）A B C D11函数 y= 的图象大致是（ ）A B C D12定义新运算：当 ab 时，ab=a ；当 ab 时，ab=b 2，则函数 f（x）=（1x）x （2x） ，x2， 2的最大值等于（ ）A1 B1 C6 D12二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13i 是虚数单位，化简： = 14把函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位长度，再把所
4、得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得函数图象的解析式为 15若命题“xR，x 22x+m0”是假命题，则 m 的取值范围是 16将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第 n 行（n3）从左向右的第 3 个数为 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数 f（x）=sin2x+ （12sin 2x） （）求 f（x）的单调减区间；（）当 x ， 时，求 f（x）的值域18已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且满足 2bcosC=2ac（）求 B； （）若ABC 的面积为 ，
5、b=2 求 a，c 的值19设a n是公比小于 4 的等比数列，S n 为数列a n的前 n 项和已知 a1=1，且 a1+3，3a 2，a 3+4 构成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）令 bn=lna3n+1，n=12 求数列 bn的前 n 项和 Tn20已知正项数列a n的前 n 项的和为 Sn，满足 4Sn=（a n+1） 2（）求数列a n通项公式；（）设数列b n满足 bn= （n N*） ，求证：b 1+b2+bn 21设函数 f（x）=ax 2+bx+c（a0）为奇函数，其图象在点（1，f（1） ）处的切线与直线 x6y7=0 垂直，导函数f（x）的最小值为 12（1
6、）求 a，b，c 的值；（2）求函数 f（x）的单调递增区间，并求函数 f（x）在 1，3上的最大值和最小值22已知圆的极坐标方程为 24 cos（ ）+6=0 （1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点 P 在该圆上，求线段 OP 的最大值和最小值2016-2017 学年福建省莆田八中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合 A=x|x2|2，x R，B=y|y=x 2， 1x2，则 R（A B）等于（ ）AR Bx|xR，x0 C0 D【考点】交、并、补集
7、的混合运算【分析】集合 A 为绝对值不等式的解集，由绝对值的意义解出，集合 B 为二次函数的值域，求出后进行集合的运算【解答】解：A=0，4，B=4，0，所以 AB=0， R（AB）=x|x R，x0，故选 B2已知 a，b 都是实数，那么“a 2b 2”是“ab”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】首先由于“a 2b 2”不能推出“ab”；反之，由“ab” 也不能推出“a 2b 2”故“a 2b 2”是“ab” 的既不充分也不必要条件【解答】解：“a 2b 2”既不能推出“ab”；反之，由“ab
8、”也不能推出“a 2b 2”“a 2b 2”是“ ab” 的既不充分也不必要条件故选 D3函数 f（x）= x 的图象关于（ ）Ay 轴对称 B直线 y=x 对称 C坐标原点对称 D直线 y=x 对称【考点】奇偶函数图象的对称性【分析】根据函数 f（x）的奇偶性即可得到答案【解答】解：f（x）= +x=f（x） 是奇函数，所以 f（x）的图象关于原点对称故选 C4已知平面向量 =（1，2） ， =（ 2，m） ，且 ，则 =（ ）A （5， 10） B （ 4，8） C （ 3，6） D （2，4）【考点】平面向量坐标表示的应用【分析】向量平行的充要条件的应用一种做法是根据平行求出向量的坐标，
9、然后用向量线性运算得到结果；另一种做法是针对选择题的特殊做法，即排除法【解答】解：排除法：横坐标为 2+（6）=4，故选 B5已知在ABC 中，a= ，b= ，B=60，那么角 C 等于（ ）A135 B90 C45 D75【考点】正弦定理【分析】先根据正弦定理求得 sinA 的值，进而求得 A，最后用内角和减去 A 和 B【解答】解：由正弦定理知 = ，sinA= = = ，ab，AB，A=45 ，C=180 AB=75，故选：D6在下列区间中，函数 f（x ）= （ ） xx 的零点所在的区间为（ ）A （0，1） B （1，2） C （2，3 ） D （3，4）【考点】函数零点的判定定理
10、【分析】直接利用零点判定定理求出函数值，判断即可【解答】解：函数 f（x）=（ ） xx，可得 f（0）=10，f（1）= 0f（2）= 0，函数的零点在（0，1） 故选：A7设等比数列a n的公比 q=2，前 n 项和为 Sn，则 =（ ）A2 B4 C D【考点】等比数列的前 n 项和【分析】根据等比数列的性质，借助公比 q 表示出 S4 和 a1 之间的关系，易得 a2 与 a1 间的关系，然后二者相除进而求得答案【解答】解：由于 q=2， ；故选：C8设函数 f（x）= 则不等式 f（x）f（1）的解集是（ ）A （3， 1）（3，+） B （ 3，1） （2，+） C （ 1，1）
11、（3，+） D （，3）（1，3）【考点】一元二次不等式的解法【分析】先求 f（1） ，依据 x 的范围分类讨论，求出不等式的解集【解答】解：f（1）=3，当不等式 f（x）f（1）即：f （x）3如果 x0 则 x+63 可得 x3，可得 3x0如果 x0 有 x24x+63 可得 x3 或 0x1综上不等式的解集：（3，1 ）（3，+）故选 A9已知向量| |= ， =10，| + |=5 ，则| |=（ ）A B C5 D25【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据条件，对 两边平方，进行数量积运算即可求出 的值，从而得出 的值【解答】解： ；由 得， = ； ； 故选：C10若将函数
12、y=tan（x+ ） （0）的图象向右平移 个单位长度后，与函数 y=tan（x+ ）的图象重合，则 的最小值为（ ）A B C D【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数 y=tan（x+ ）的图象重合，比较系数，求出 =6k+ （kZ） ，然后求出 的最小值【解答】解：y=tan（x+ ） ，向右平移 个单位可得： y=tan（x ）+ =tan（x+ ） +k=k + （kZ） ，又0 min= 故选 D11函数 y= 的图象大致是（ ）A B C D【考点】余弦函数的图象【分析】由函数的解析式可以看出，函数的零点呈周期性出现，且法
13、自变量趋向于正无穷大时，函数值在x 轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在 x 轴上下震荡，幅度越来越大，由此特征对四个选项进行判断，即可得出正确选项【解答】解：函数函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在 x 轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在 x 轴上下震荡，幅度越来越大，A 选项符合题意；B 选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；C 选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确；D 选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对综上，A 选项符合题意故选 A12定义新运算：当 ab 时，ab=
14、a ；当 ab 时，ab=b 2，则函数 f（x）=（1x）x （2x） ，x2， 2的最大值等于（ ）A1 B1 C6 D12【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义【分析】当2 x1 和 1x 2 时，分别求出函数 f（x）的表达式，然后利用函数单调性或导数求出函数f（x）的最大值【解答】解：由题意知当2 x 1 时， f（x）=x 2，当 1x2 时，f（x）=x 32，又f（x）=x 2，f （x）=x 32 在定义域上都为增函数，f（x）的最大值为 f（2）=2 32=6故选 C二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13i 是虚数单位
15、，化简： = 1+2i 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】将分子、分母同时乘以分母的共轭复数 2+i，分子、分母同时乘以分母的共轭复数，将其中的 i2换为1 即可【解答】解： =故答案为：1+ 2i14把函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得函数图象的解析式为 y=cosx 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】按照题目所给条件，先求把函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位长度，函数解析式，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，求出解析式即可【解答】解：把函数
16、y=sin2x 的图象向左平移 个单位长度，得 ，即 y=cos2x 的图象，把 y=cos2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到 y=cosx 的图象；故答案为：y=cosx15若命题“xR，x 22x+m0”是假命题，则 m 的取值范围是 m1 【考点】特称命题【分析】根据特称命题是假命题，则对应的全称命题是真命题，即可得到结论【解答】解：若命题“xR， x22x+m0”是假命题，则命题“xR，x 22x+m0”是真命题，即判别式=44m0，解得 m1，故答案为：m116将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第 n 行（n3）从左向右的第 3
17、个数为 3+ 【考点】归纳推理【分析】观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故 n 行的最后一个数，即为前 n 项数据的个数，故我们要判断第 n 行（n3）从左向右的第 3 个数，可先判断第 n1 行的最后一个数，然后递推出最后一个数据【解答】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前 n1 行共有正整数 1+2+（ n1）个，即 个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 3+ 个，即为 3+ 故答案为：3+ 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数 f（x）=sin2x+ （12sin 2x） （）
18、求 f（x）的单调减区间；（）当 x ， 时，求 f（x）的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】 （）利用二倍角的余弦与“辅助角”公式可化简 f（x）=sin2x+ =2sin（2x+ ） ，再由不等式2k+ 2x+ 2k+ （kZ）即可求得 f（x）的单调减区间；（）x ， （2x+ ）0， 2sin（2x+ ）0，2，可得 f（x）的值域【解答】解：（）f（x）=sin2x+ （12sin 2x）=sin2x+ cos2x=2（ sin2x+ cos2x）=2sin（2x+ ） ，由 2k+ 2x+ 2k+ （kZ）得：k+ xk + （k Z） ，故 f（x）的单调减区间为： k
19、+ ，k+ （kZ） ；（）当 x ， 时， （2x+ ） 0， ，2sin（2x+ ） 0，2，所以，f（x）的值域为0，2 18已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且满足 2bcosC=2ac（）求 B； （）若ABC 的面积为 ，b=2 求 a，c 的值【考点】正弦定理【分析】 （）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出 cosB 的值，即可确定出 B；（）利用三角形面积公式可求 ac=4，利用余弦定理可求 a+c=4，联立即可解得 a，c 的值【解答】解：（）已知等式 2bcosC=2ac，利用正弦定理化简得：2sinBcosC=2sinAsinC=2sin（
20、B+C）sinC=2sinBcosC+2cosBsinCsinC ，整理得：2cosBsinCsinC=0，sinC0，cosB= ，则 B=60；（）ABC 的面积为 = acsinB= ac，解得：ac=4，又b=2，由余弦定理可得：2 2=a2+c2ac=（a+c） 23ac=（a+c） 212，解得：a+c=4，联立解得：a=c=219设a n是公比小于 4 的等比数列，S n 为数列a n的前 n 项和已知 a1=1，且 a1+3，3a 2，a 3+4 构成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）令 bn=lna3n+1，n=12 求数列 bn的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出（2）由（1）可得：a n=2n1 bn=lna3n+1=ln23n=3nln2再利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）设等比数列a n的公比为 q4，a 1+3，3a 2，a 3+4 构成等差数列23a 2=a1+3+a3+4，6q=1+7+q 2，解得 q=2（2）由（1）可得：a n=2n1bn=lna3n+1=ln23n=3nln2数列b n的前 n 项和 Tn=3ln2（1+2+n）= ln2
